norma matricial

Una norma matricial se denomina unitariamente invariante si para todas las matrices unitarias${\displaystyle U,V}$y matriz${\displaystyle A}$,${\displaystyle \lVert UAV\rVert =\lVert A\rVert }$.

Una función de calibre simétrica es una norma vectorial absoluta.${\displaystyle \phi$ :\mathbb {C} ^{p}\to \mathbb {R} ^{+}} tal que ${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$para cualquier matriz de permutación${\displaystyle P}$. Eso es:

• No negatividad:${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$, y${\displaystyle \phi (x)=0}$si y solo si${\displaystyle x=0}$.
• Homogeneidad positiva:${\displaystyle \phi (\alpha x)=|\alpha |\phi (x)}$para cualquier número real${\displaystyle \alpha }$.
• Desigualdad triangular:${\displaystyle \phi (x+y)\leq \phi (x)+\phi (y)}$.
• Simetría:${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$para cualquier matriz de permutación${\displaystyle P}$.

Una norma es una norma matricial unitariamente invariante si y solo si es una función de calibre simétrica en el vector de valores singulares. ^{[ 4 ]}

Una norma matricial${\displaystyle \|\cdot \|}$en${\displaystyle K^{m\times n}}$se denomina consistente con una norma vectorial${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$en${\displaystyle K^{n}}$y una norma vectorial${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$en${\displaystyle K^{m}}$, si: $${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$ a pesar de${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$y todo${\displaystyle x\in K^{n}}$. En el caso especial de m = n y${\displaystyle \alpha =\beta }$,${\displaystyle \|\cdot \|}$también se denomina compatible con${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$.

Todas las normas matriciales inducidas por normas vectoriales son consistentes por definición. Además, cualquier norma matricial submultiplicativa en${\displaystyle K^{n\times n}}$induce una norma vectorial compatible en${\displaystyle K^{n}}$definiendo${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$.

Una norma matricial${\displaystyle \|\cdot \|}$Se denomina monótona si es monótona con respecto al orden de Loewner . Por lo tanto, una norma matricial es creciente si

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

La norma de Frobenius y la norma espectral son ejemplos de normas monótonas. ^{[ 5 ]}

Si la norma p para vectores (${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) se utiliza para ambos espacios${\displaystyle K^{n}}$y${\displaystyle K^{m},}$entonces la norma del operador correspondiente es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup\{\|Ax\|_{p}:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{p}\leq 1\}.}$$ Estas normas inducidas son diferentes de las normas p "entrada por entrada" y las normas p de Schatten para matrices tratadas a continuación, que también se suelen denotar por${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

Geométricamente hablando, se puede imaginar una bola unitaria de norma p.${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}$en${\displaystyle K^{n}}$, luego aplicar el mapeo lineal${\displaystyle A}$hacia la pelota. Acabaría convirtiéndose en una forma convexa distorsionada.${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$, y${\displaystyle \|A\|_{p}}$mide el "radio" más largo de la forma convexa distorsionada. En otras palabras, debemos tomar una bola unitaria de norma p.${\displaystyle V_{p,m}}$en${\displaystyle K^{m}}$, luego multiplícalo por al menos${\displaystyle \|A\|_{p}}$para que sea lo suficientemente grande como para contener${\displaystyle AV_{p,n}}$.

Podemos generalizar la definición anterior. Supongamos que tenemos normas vectoriales.${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$y${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$para espacios${\displaystyle K^{n}}$y${\displaystyle K^{m}}$respectivamente; la norma del operador correspondiente es $${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$ En particular, el${\displaystyle \|A\|_{p}}$definido anteriormente es el caso especial de${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$.

En los casos especiales de${\displaystyle \alpha =2}$y${\displaystyle \beta =\infty }$, las normas de matriz inducidas se pueden calcular mediante$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$dónde${\displaystyle A_{i:}}$es la i-ésima fila de la matriz${\displaystyle A}$.

En los casos especiales de${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle \beta =2}$, las normas de matriz inducidas se pueden calcular mediante$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$dónde${\displaystyle A_{:j}}$es la j-ésima columna de la matriz${\displaystyle A}$.

Por eso,${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$y${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$son la norma 2 máxima de fila y columna de la matriz, respectivamente.

Cualquier norma de operador es consistente con las normas vectoriales que la inducen, dando como resultado $${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

Suponer${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$;${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$; y${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$son normas de operador inducidas por los respectivos pares de normas vectoriales${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$;${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$; y${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$. Entonces,

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

Esto se deduce de $${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$ y $${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

Suponer${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$es una norma de operador en el espacio de matrices cuadradas${\displaystyle K^{n\times n}}$ inducido por normas vectoriales${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$y${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$Entonces, la norma del operador es una norma matricial submultiplicativa: $${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

Además, cualquier norma de este tipo satisface la desigualdad.

para todos los enteros positivos r , donde ρ ( A ) es el radio espectral de A. Para A simétrica o hermitiana , tenemos igualdad en ( 1 ) para la norma 2, ya que en este caso la norma 2 es precisamente el radio espectral de A. Para una matriz arbitraria, puede que no tengamos igualdad para ninguna norma; un contraejemplo sería $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$ que tiene un radio espectral nulo. En cualquier caso, para cualquier norma matricial, tenemos la fórmula del radio espectral : $${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

Si las normas vectoriales${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$y${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$se dan en términos de normas de energía basadas en matrices simétricas definidas positivas${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$respectivamente, la norma del operador resultante se da como $${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\sup\{\|Ax\|_{Q}:\|x\|_{P}\leq 1\}.}$$

Utilizando las raíces cuadradas de la matriz simétrica de${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$respectivamente, la norma del operador puede expresarse como la norma espectral de una matriz modificada:

$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\|Q^{1/2}AP^{-1/2}\|_{2}.}$$

Dejar${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$sea ​​la dimensión m columnas de la matriz${\displaystyle A}$. Desde la definición original, la matriz${\displaystyle A}$presenta n puntos de datos en un espacio m -dimensional.${\displaystyle L_{2,1}}$La norma ^{[ 7 ]} es la suma de las normas euclidianas de las columnas de la matriz:

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$

El${\displaystyle L_{2,1}}$La norma como función de pérdida es más robusta, ya que el error para cada punto de datos (una columna) no se eleva al cuadrado. Se utiliza en el análisis de datos robusto y la codificación dispersa .

Para p , q ≥ 1 , el${\displaystyle L_{2,1}}$La norma puede generalizarse a la${\displaystyle L_{p,q}}$norma de la siguiente manera:

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Cuando p = q = 2 para el${\displaystyle L_{p,q}}$Esta norma se denomina norma de Frobenius o norma de Hilbert-Schmidt , aunque este último término se utiliza con mayor frecuencia en el contexto de operadores en el espacio de Hilbert (posiblemente de dimensión infinita) . Esta norma puede definirse de diversas maneras:

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

donde la traza es la suma de las entradas diagonales, y${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$son los valores singulares de${\displaystyle A}$La segunda igualdad se demuestra mediante el cálculo explícito de${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$La tercera igualdad se demuestra mediante la descomposición en valores singulares de${\displaystyle A}$y el hecho de que la traza es invariante bajo desplazamientos circulares.

La norma de Frobenius es una extensión de la norma euclidiana a${\displaystyle K^{n\times n}}$y proviene del producto interno de Frobenius en el espacio de todas las matrices.

La norma de Frobenius es submultiplicativa y es muy útil para el álgebra lineal numérica . La submultiplicatividad de la norma de Frobenius se puede demostrar utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz . De hecho, es más que submultiplicativa, ya que$${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{op}\|B\|_{F}}$$donde la norma del operador${\displaystyle \|\cdot \|_{op}\leq \|\cdot \|_{F}}$.

La norma de Frobenius suele ser más fácil de calcular que las normas inducidas, y tiene la útil propiedad de ser invariante bajo rotaciones (y operaciones unitarias en general). Es decir,${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$para cualquier matriz unitaria${\displaystyle U}$. Esta propiedad se deriva de la naturaleza cíclica de la traza (${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}$):

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

y de forma análoga:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

donde hemos utilizado la naturaleza unitaria de${\displaystyle U}$(eso es,${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$).

También satisface

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

y

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

dónde${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$es el producto interno de Frobenius , y Re es la parte real de un número complejo (irrelevante para matrices reales).

La norma máxima es la norma elemento a elemento en el límite cuando p = q tiende a infinito:

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}$

Esta norma no es submultiplicativa ; pero modificando el lado derecho a${\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }$lo hace así.

Tenga en cuenta que en cierta literatura (como la complejidad de la comunicación ), una definición alternativa de norma máxima, también llamada${\displaystyle \gamma _{2}}$-norma, se refiere a la norma de factorización:

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

Dejar${\displaystyle \|A\|_{p}}$Una vez más, refiérase a la norma inducida por la norma p vectorial (como se indicó anteriormente en la sección Norma inducida).

Para matriz${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$de rango${\displaystyle r}$, se cumplen las siguientes desigualdades: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$