Bifurcación transcrítica

En la teoría de bifurcaciones , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación transcrítica es un tipo particular de bifurcación local , lo que significa que se caracteriza por un equilibrio que tiene un valor propio cuya parte real pasa por cero.

Una bifurcación transcrítica es aquella en la que existe un punto fijo para todos los valores de un parámetro y este nunca se destruye. Sin embargo, dicho punto fijo intercambia su estabilidad con otro punto fijo a medida que varía el parámetro. ^{[ 1 ]} En otras palabras, tanto antes como después de la bifurcación, existe un punto fijo inestable y otro estable. No obstante, su estabilidad se intercambia cuando colisionan. Así, el punto fijo inestable se vuelve estable y viceversa.

La forma normal de una bifurcación transcrítica es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{2}.}$

Esta ecuación es similar a la ecuación logística , pero en este caso permitimos${\displaystyle r}$y${\displaystyle x}$ser positivo o negativo (mientras que en la ecuación logística${\displaystyle x}$y${\displaystyle r}$debe ser no negativo). Los dos puntos fijos están en ${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=r}$. Cuando el parámetro${\displaystyle r}$es negativo, el punto fijo en${\displaystyle x=0}$es estable y el punto fijo${\displaystyle x=r}$es inestable. Pero para${\displaystyle r>0}$, el punto en${\displaystyle x=0}$es inestable y el punto en${\displaystyle x=r}$es estable. Por lo tanto, la bifurcación ocurre en${\displaystyle r=0}$.

Un ejemplo típico (en la vida real) podría ser el problema del consumidor-productor, donde el consumo es proporcional a la (cantidad de) recurso.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,}$

dónde

• ${\displaystyle rx(1-x)}$es la ecuación logística del crecimiento de los recursos; y
• ${\displaystyle px}$es el consumo, proporcional al recurso${\displaystyle x}$.