Modelo de creencias transferibles

El modelo de creencias transferibles (TBM) es una elaboración de la teoría de Dempster-Shafer (DST), que es un modelo matemático utilizado para evaluar la probabilidad de que una proposición dada sea verdadera a partir de otras proposiciones a las que se les asignan probabilidades. Fue desarrollado por Philippe Smets, quien propuso su enfoque como respuesta al ejemplo de Zadeh contra la regla de combinación de Dempster . En contraste con la DST original, el TBM propaga el supuesto de mundo abierto que relaja el supuesto de que se conocen todos los resultados posibles. Bajo el supuesto de mundo abierto, la regla de combinación de Dempster se adapta de tal manera que no hay normalización . La idea subyacente es que la masa de probabilidad perteneciente al conjunto vacío se toma para indicar un resultado inesperado, por ejemplo, la creencia en una hipótesis fuera del marco de discernimiento . Esta adaptación viola el carácter probabilístico de la DST original y también la inferencia bayesiana . Por lo tanto, los autores sustituyeron la notación como masas de probabilidad y actualización de probabilidad con términos como grados de creencia y transferencia dando lugar al nombre del método: el modelo de creencias transferibles . ^{[1] [2]}

Lotfi Zadeh describe un problema de fusión de información . ^[3] Un paciente tiene una enfermedad que puede ser causada por tres factores diferentes A , B o C. El doctor 1 dice que es muy probable que la enfermedad del paciente sea causada por A (muy probable, es decir, probabilidad p = 0,95), pero B también es posible pero no probable ( p = 0,05). El doctor 2 dice que la causa es muy probable que sea C ( p = 0,95), pero B también es posible pero no probable ( p = 0,05). ¿Cómo puede uno formarse su propia opinión a partir de esto?

La actualización bayesiana de la primera opinión con la segunda (o al revés) implica la certeza de que la causa es B. La regla de combinación de Dempster conduce al mismo resultado. Esto puede verse como paradójico , ya que aunque los dos médicos señalan causas diferentes, A y C , ambos están de acuerdo en que B no es probable. (Por esta razón, el enfoque bayesiano estándar es adoptar la regla de Cromwell y evitar el uso de 0 o 1 como probabilidades).

El TBM describe las creencias en dos niveles: ^[4]

1. un nivel de creencias donde las creencias se mantienen y se cuantifican mediante funciones de creencias ,
2. un nivel pignístico donde las creencias pueden usarse para tomar decisiones y se cuantifican mediante funciones de probabilidad .

Según la DST, una función de masa de probabilidad se define de manera que: ^[1]${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$

con

${\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1\,\!}$

donde el conjunto de potencias contiene todos los subconjuntos posibles del marco de discernimiento . A diferencia del DST, no se requiere que la masa asignada al conjunto vacío sea cero y, por lo tanto, generalmente es cierta. La idea subyacente es que el marco de discernimiento no es necesariamente exhaustivo y, por lo tanto, la creencia asignada a una proposición , de hecho se asigna a donde es el conjunto de resultados desconocidos. En consecuencia, la regla de combinación subyacente al TBM corresponde a la regla de combinación de Dempster , excepto la normalización que otorga . Por lo tanto, en el TBM cualesquiera dos funciones independientes y se combinan en una sola función mediante: ^[5]${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle 0\leq m(\emptyset )\leq 1.0}$${\displaystyle A\in 2^{X}}$${\displaystyle A\in 2^{X}\cup {e}}$${\displaystyle {e}}$${\displaystyle m(\emptyset )=0}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{1,2}}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\otimes m_{2})(A)=\sum _{B\cap C=A}m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}$

dónde

${\displaystyle A,B,C\in 2^{X}\neq \emptyset .\,\!}$

En el TBM el grado de creencia en una hipótesis se define mediante una función: ^[1]${\displaystyle H\in 2^{X}\neq \emptyset }$

${\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$

con

${\displaystyle \operatorname {bel} (H)=\sum _{\emptyset \neq A\subseteq H}m(A)}$

${\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0.\,\!}$

Cuando se debe tomar una decisión, las creencias credales se transfieren a probabilidades pignísticas mediante: ^[4]

${\displaystyle P_{\text{Bet}}(x)=\sum _{x\in A\subseteq X}{\frac {m(A)}{|A|}}\,\!}$

donde denotan los átomos (también denominados singletons) ^[6] y el número de átomos que aparecen en . Por lo tanto, las masas de probabilidad se distribuyen de manera uniforme entre los átomos de A. Esta estrategia corresponde al principio de razón insuficiente (también denominado principio de máxima entropía ) según el cual una distribución desconocida corresponde muy probablemente a una distribución uniforme . ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m(A)}$

En el modelo TBM, las funciones de probabilidad pignística se describen mediante funciones . Dicha función satisface los axiomas de probabilidad : ^[4]${\displaystyle P_{\text{Bet}}}$

${\displaystyle P_{\text{Bet}}:X\rightarrow [0,1]\,\!}$

con

${\displaystyle \sum _{x\in X}P_{\text{Bet}}(x)=1\,\!}$

${\displaystyle P_{\text{Bet}}(\emptyset )=0\,\!}$

Philip Smets las presentó como pignísticas para enfatizar el hecho de que esas funciones de probabilidad se basan en datos incompletos, cuyo único propósito es una decisión forzada, por ejemplo, hacer una apuesta. Esto contrasta con las creencias credales descritas anteriormente, cuyo propósito es representar la creencia real . ^[1]

Al lanzar una moneda, generalmente se asume que saldrá cara o cruz, de modo que . La suposición de mundo abierto es que la moneda puede ser robada en el aire, desaparecer, romperse o caer de lado de alguna otra manera, de modo que no salga ni cara ni cruz, de modo que se considera el conjunto de potencias de {cara, cruz} y hay una descomposición de la probabilidad general (es decir, 1) de la siguiente forma: ${\displaystyle \Pr({\text{Head}})+\Pr({\text{Tail}})=1}$

${\displaystyle \Pr(\emptyset )+\Pr({\text{Head}})+\Pr({\text{Tail}})+\Pr({\text{Head,Tail}})=1.}$

• Teoría de Dempster-Shafer

• Smets Ph. (1988) "Función de creencias". En: Lógicas no estándar para razonamiento automatizado , ed. Smets Ph., Mamdani A, Dubois D. y Prade H. Academic Press, Londres
• Ph, Smets (1990). "La combinación de evidencia en el modelo de creencia transferible". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 12 (5): 447–458. CiteSeerX  10.1.1.377.5969 . doi :10.1109/34.55104.
• Smets Ph. (1993) "Una justificación axiomática para el uso de la función de creencias para cuantificar creencias", IJCAI'93 (Conferencia conjunta interinstitucional sobre IA), Chambery, 598-603
• Smets, Ph.; Kennes, R. (1994). "El modelo de creencias transferibles". Inteligencia artificial . 66 (2): 191–234. doi :10.1016/0004-3702(94)90026-4.
• Smets Ph. y Kruse R. (1995) "El modelo de creencias transferibles para la representación de creencias" En: Smets y Motro A. (eds.) Gestión de la incertidumbre en los sistemas de información: de las necesidades a las soluciones . Kluwer, Boston
• Haenni, R. (2006). "Descubra dónde se esconde la regla de Dempster" en: Actas de la 9.ª Conferencia Internacional sobre Fusión de la Información (FUSION 2006), Florencia, Italia, 2006.
• Ramasso, E., Rombaut, M., Pellerin D. (2007) "Procedimientos Forward-Backward-Viterbi en el modelo de creencias transferibles para el análisis de secuencias de estados utilizando funciones de creencias", ECSQARU, Hammamet: Túnez (2007) .
• Touil, K.; Zribi, M.; Benjelloun, M. (2007). "Aplicación del modelo de creencias transferibles al sistema de navegación". Ingeniería asistida por computadora integrada . 14 (1): 93–105. doi :10.3233/ICA-2007-14108.
• Dempster, AP (2007). "El cálculo de Dempster-Shafer para estadísticos". Revista Internacional de Razonamiento Aproximado . 48 (2): 365–377. doi : 10.1016/j.ijar.2007.03.004 .

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• Publicaciones sobre TBM
• Software para TBM en Matlab