Número transfinito

En matemáticas , los números transfinitos o infinitos son aquellos que son " infinitos " en el sentido de que son mayores que todos los números finitos . Estos incluyen los cardinales transfinitos , que son números cardinales utilizados para cuantificar el tamaño de conjuntos infinitos, y los ordinales transfinitos , que son números ordinales utilizados para proporcionar un ordenamiento de conjuntos infinitos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El término transfinito fue acuñado en 1895 por Georg Cantor , ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} quien deseaba evitar algunas de las implicaciones de la palabra infinito. En particular, creía que "verdaderamente infinito" es una cualidad perfecta y, por lo tanto, divina, y por ello se negó a atribuir este término a construcciones matemáticas comprensibles para los humanos. ^{[ 7 ]} Pocos autores contemporáneos comparten estas reservas; ahora es un uso aceptado referirse a los cardinales y ordinales transfinitos como números infinitos . Sin embargo, el término transfinito también sigue en uso.

Wacław Sierpiński realizó un trabajo notable sobre números transfinitos , descrito en su libro de 1928 Leçons sur les nombres transfinis , ampliado considerablemente en Cardinal and Ordinal Numbers en 1958, ^{[ 8 ]} con una segunda edición ligeramente revisada en 1965. ^{[ 9 ]} .

Cualquier número natural finito puede utilizarse de al menos dos maneras: como ordinal y como cardinal. Los números cardinales especifican el tamaño de conjuntos (por ejemplo, una bolsa de cinco canicas), mientras que los números ordinales especifican el orden de un elemento dentro de un conjunto ordenado ^{[ 10 ]} (por ejemplo, "el quinto hombre desde la izquierda" o "el veintisiete de enero"). Para los números finitos, estos conceptos tienen una correspondencia biunívoca : cinco ⇔ quinto, pero cuando se extienden a los números transfinitos, los conceptos ya no tienen una correspondencia biunívoca. Un número cardinal transfinito se utiliza para describir el tamaño de un conjunto infinitamente grande, ^{[ 2 ]} mientras que un ordinal transfinito se utiliza para describir la ubicación dentro de un conjunto infinitamente grande que está ordenado. ^{[ 10 ]} Los números ordinales y cardinales más notables son:

• ${\displaystyle \omega }$( omega ): el número ordinal transfinito más bajo. También es el tipo de orden de los números naturales bajo su ordenación lineal habitual.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$( Aleph-nulo ): el primer número cardinal transfinito. Es también la cardinalidad de los números naturales. Si se cumple el axioma de elección , el siguiente número cardinal superior es aleph-uno .${\displaystyle \aleph _{1}.}$De no ser así, puede haber otros cardinales incomparables con aleph-uno y mayores que aleph-nulo. En cualquier caso, no existen cardinales entre aleph-nulo y aleph-uno.

La hipótesis del continuo es la proposición de que no existen números cardinales intermedios entre${\displaystyle \aleph _{0}}$y la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de los números reales ): ^{[ 2 ]} o equivalentemente que${\displaystyle \aleph _{1}}$es la cardinalidad del conjunto de los números reales. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ni la hipótesis del continuo ni su negación pueden probarse.

Algunos autores, entre ellos P. Suppes y J. Rubin, utilizan el término cardinal transfinito para referirse a la cardinalidad de un conjunto infinito de Dedekind en contextos donde esto puede no ser equivalente a "cardinal infinito"; es decir, en contextos donde no se asume o se desconoce que se cumple el axioma de elección numerable . Dada esta definición, los siguientes términos son todos equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es un cardinal transfinito. Es decir, existe un conjunto infinito de Dedekind.${\displaystyle A}$de tal manera que la cardinalidad de${\displaystyle A}$es${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• Hay un cardenal${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$de tal manera que${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

Aunque los ordinales y cardinales transfinitos generalizan únicamente los números naturales, otros sistemas de números, incluidos los números hiperreales y los números surrealistas , proporcionan generalizaciones de los números reales . ^{[ 11 ]}

En la teoría de los números ordinales de Cantor, cada número entero debe tener un sucesor. ^{[ 12 ]} El siguiente entero después de todos los regulares, es decir, el primer entero infinito, se llama${\displaystyle \omega }$. En este contexto,${\displaystyle \omega +1}$es más grande que${\displaystyle \omega }$, y${\displaystyle \omega \cdot 2}$,${\displaystyle \omega ^{2}}$y${\displaystyle \omega ^{\omega }}$son aún más grandes. Expresiones aritméticas que contienen${\displaystyle \omega }$especifica un número ordinal y puede pensarse como el conjunto de todos los enteros hasta ese número. Un número dado generalmente tiene múltiples expresiones que lo representan; sin embargo, existe una forma normal de Cantor única que lo representa, ^{[ 12 ]} esencialmente una secuencia finita de dígitos que dan coeficientes de potencias descendentes de${\displaystyle \omega }$.

Sin embargo, no todos los enteros infinitos pueden representarse mediante una forma normal de Cantor, y el primero que no puede está dado por el límite.${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$y se denomina${\displaystyle \varepsilon _{0}}$. ^{[ 12 ]}${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la solución más pequeña para${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$y las siguientes soluciones${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$dar ordinales aún mayores, y se puede seguir hasta que se alcance el límite.${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$, que es la primera solución a${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$Esto significa que para poder especificar todos los enteros transfinitos, hay que idear una secuencia infinita de nombres: porque si se especificara un único entero mayor, siempre se podría mencionar su sucesor mayor. Pero, como señaló Cantor, incluso esto solo permite alcanzar la clase más baja de números transfinitos: aquellos cuyo tamaño de conjuntos corresponde al número cardinal.${\displaystyle \aleph _{0}}$.

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Teoría básica de conjuntos . Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, JJ y EF Robertson (1998) " Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ," Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• Rubin, Jean E. , 1967. "Teoría de conjuntos para el matemático". San Francisco: Holden-Day. Fundamentada en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .
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• Patrick Suppes , 1972 (1960) " Teoría axiomática de conjuntos ". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Basado en ZFC .