Muestreo de trayectorias de transición

El muestreo de trayectorias de transición ( TPS , por sus siglas en inglés) es un método de muestreo de eventos raros utilizado en simulaciones computacionales de eventos poco frecuentes: transiciones físicas o químicas de un sistema de un estado estable a otro que ocurren con demasiada poca frecuencia para ser observadas en la escala temporal de una computadora. Algunos ejemplos incluyen el plegamiento de proteínas , las reacciones químicas y la nucleación . Las herramientas de simulación estándar, como la dinámica molecular, pueden generar las trayectorias dinámicas de todos los átomos del sistema. Sin embargo, debido a la diferencia en las escalas temporales accesibles entre la simulación y la realidad, incluso las supercomputadoras actuales podrían requerir años de simulaciones para mostrar un evento que ocurre una vez por milisegundo sin algún tipo de aceleración.

TPS se centra en la parte más interesante de la simulación: la transición . Por ejemplo, una proteína inicialmente desplegada vibrará durante un largo tiempo en una configuración de cadena abierta antes de experimentar una transición y plegarse sobre sí misma. El objetivo del método es reproducir con precisión esos momentos de plegamiento.

Consideremos, en general, un sistema con dos estados estables A y B. El sistema permanecerá mucho tiempo en dichos estados y ocasionalmente pasará de uno a otro. Existen muchas maneras en que puede ocurrir la transición. Una vez asignada una probabilidad a cada una de las múltiples trayectorias, se puede construir un paseo aleatorio de Monte Carlo en el espacio de trayectorias de transición, generando así el conjunto de todas las trayectorias de transición. A partir de este conjunto, se puede extraer toda la información relevante, como el mecanismo de reacción , los estados de transición y las constantes de velocidad .

Dado un camino inicial, TPS proporciona algoritmos para perturbarlo y crear uno nuevo. Como en todos los recorridos de Monte Carlo, el nuevo camino se acepta o se rechaza para obtener la probabilidad de camino correcta. El procedimiento se itera y el conjunto se muestrea gradualmente.

Un algoritmo potente y eficiente es el llamado movimiento de disparo . ^{[ 1 ]} Consideremos el caso de un sistema clásico de muchos cuerpos descrito por coordenadas r y momentos p . La dinámica molecular genera una trayectoria como un conjunto de ( r _t , p _t ) en tiempos discretos t en [0, T ] donde T es la longitud de la trayectoria. Para una transición de A a B, ( r ₀ , p ₀ ) está en A, y ( r _T , p _T ) está en B. Se elige aleatoriamente uno de los tiempos de la trayectoria, los momentos p se modifican ligeramente a p  + δp , donde δp es una perturbación aleatoria consistente con las restricciones del sistema, por ejemplo, la conservación de la energía y el momento lineal y angular. Luego se simula una nueva trayectoria desde este punto, tanto hacia atrás como hacia adelante en el tiempo hasta que se alcanza uno de los estados. Al estar en una región de transición, esto no tomará mucho tiempo. Si la nueva trayectoria aún conecta A con B, se acepta; de lo contrario, se rechaza y el procedimiento comienza de nuevo. 

En el procedimiento de Bennett-Chandler, ^{[ 2 ] [ 3 ]} la constante de velocidad k _AB para la transición de A a B se deriva de la función de correlación

${\displaystyle C(t)={\frac {\langle h_{A}(0)h_{B}(t)\rangle }{\langle h_{A}\rangle }}}$,

donde h _X es la función característica del estado X , y h _X ( t ) es 1 si el sistema en el tiempo t está en el estado X o 0 si no lo está. La derivada temporal C'( t ) comienza en el tiempo 0 en el valor de la teoría del estado de transición (TST) k _AB ^TST y alcanza una meseta k _AB ≤ k _AB ^TST para tiempos del orden del tiempo de transición. Por lo tanto, una vez que se conoce la función hasta estos tiempos, también se puede obtener la constante de velocidad.

En el marco TPS, C ( t ) puede reescribirse como un promedio en el conjunto de trayectorias.

${\displaystyle k_{AB}^{TPS}(t)={\frac {d}{dt}}C(t)={\frac {\langle {\dot {h_{B}(t)}}\rangle _{AB}}{\langle h_{B}(t')\rangle _{AB}}}C(t')}$,

donde el subíndice AB denota un promedio en el conjunto de trayectorias que comienzan en A y visitan B al menos una vez. El tiempo t' es un tiempo arbitrario en la región de meseta de C ( t ). El factor C ( t ' ) en este tiempo específico se puede calcular con una combinación de muestreo de trayectorias y muestreo de paraguas .

El cálculo de la constante de velocidad TPS se puede mejorar en una variación del método llamado muestreo de interfaz de transición (TIS). ^{[ 4 ]} En este método, la región de transición se divide en subregiones usando interfaces. La primera interfaz define el estado A y el último el estado B. Las interfaces no son interfaces físicas sino hipersuperficies en el espacio de fases .

La constante de velocidad puede considerarse como un flujo a través de estas interfaces. La tasa k _AB representa el flujo de trayectorias que comienzan antes de la primera interfaz y pasan por la última. Al ser un evento poco frecuente, el flujo es muy pequeño y prácticamente imposible de calcular mediante una simulación directa. Sin embargo, utilizando las demás interfaces entre los estados, se puede reescribir el flujo en términos de probabilidades de transición entre interfaces.

${\displaystyle k_{AB}=\Phi _{1,0}\prod _{i=1}^{n-1}P_{A}(i+1|i)}$,

donde P _A ( i  +  1| i ) es la probabilidad de que las trayectorias, provenientes del estado A y que cruzan la interfaz i, alcancen la interfaz i + 1. Aquí, la interfaz 0 define el estado A y la interfaz n define el estado B. El factor Φ _1,0 es el flujo a través de la interfaz más cercana a A. Al hacer que esta interfaz esté lo suficientemente cerca, la cantidad se puede calcular con una simulación estándar, ya que el evento de cruce a través de esta interfaz ya no es un evento raro.    

Sorprendentemente, en la fórmula anterior no hay ninguna suposición de Markov de probabilidades de transición independientes. Las cantidades P _A ( i  +  1|i) llevan un subíndice A para indicar que las probabilidades dependen del historial de la trayectoria, desde que salió de A. Estas probabilidades se pueden calcular con una simulación de muestreo de trayectorias usando el movimiento de disparo TPS. Una trayectoria que cruza la interfaz i se perturba y se dispara una nueva trayectoria . Si la trayectoria aún comienza desde A y cruza la interfaz i , se acepta. La probabilidad P _A ( i + 1| i ) se obtiene de la razón del número de trayectorias que alcanzan la interfaz i + 1 con respecto al número total de trayectorias en el conjunto.     

Consideraciones teóricas demuestran que los cálculos de TIS son al menos el doble de rápidos que los de TPS, y experimentos computacionales han demostrado que la constante de velocidad de TIS puede converger hasta 10 veces más rápido. Esto se debe, en parte, a que TIS utiliza trayectorias de longitud ajustable y, en promedio, más cortas que las de TPS. Además, TPS se basa en la función de correlación C ( t ), calculada mediante la suma de términos positivos y negativos debidos a recruzamientos. En cambio, TIS calcula la tasa como un flujo positivo efectivo; la cantidad kAB se calcula directamente como un promedio de solo los términos positivos que contribuyen a las probabilidades _de transición de la interfaz.

El método TPS/TIS, tal como se implementa normalmente, puede ser aceptable para cálculos de no equilibrio siempre que los flujos interfaciales sean independientes del tiempo ( estacionarios ). Para tratar sistemas no estacionarios en los que existe dependencia temporal en la dinámica, ya sea debido a la variación de un parámetro externo o a la evolución del propio sistema, pueden ser necesarios otros métodos de eventos raros , como el muestreo de eventos raros de procesos estocásticos . ^{[ 5 ]}

Para una revisión de TPS:

• Dellago, Christoph; Bolhuis, Peter G.; Geissler, Phillip L. (2002). «Muestreo de trayectorias de transición». Advances in Chemical Physics . Vol.  123. pp. 1–84 . doi : 10.1002/0471231509.ch1 . ISBN  978-0-471-21453-3.
• Bolhuis, Peter G.; Chandler, David; Dellago, Christoph; Geissler, Phillip L. (2002). "MUESTREO DE CAMINOS DE TRANSICIÓN: Lanzando cuerdas sobre pasos de montaña accidentados, en la oscuridad". Annual Review of Physical Chemistry . 53 : 291–318 . Bibcode : 2002ARPC...53..291B . doi : 10.1146/annurev.physchem.53.082301.113146 . PMID 11972010 . 

Para una revisión de TIS

• Moroni, D. (2005). "DARE" . Muestreo eficiente de rutas de eventos raros: de modelos simples a la nucleación (tesis doctoral). Universidad de Ámsterdam. hdl : 11245/1.240856 .

• Código fuente en C++ de un programa envoltorio S-PRES , con paralelismo opcional mediante OpenMP .

• http://www.pyretis.org Biblioteca de código abierto de Python para realizar muestreo de rutas de transición, con interfaz para GROMACS , LAMMPS y CP2K .