Conjunto transitivo

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un conjunto${\displaystyle A}$Se denomina transitiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• cuando sea${\displaystyle x\in A}$, y${\displaystyle y\in x}$, entonces${\displaystyle y\in A}$.
• cuando sea${\displaystyle x\in A}$, y${\displaystyle x}$no es un urelement , entonces${\displaystyle x}$es un subconjunto de${\displaystyle A}$.

De manera similar, una clase${\displaystyle M}$es transitivo si cada elemento de${\displaystyle M}$es un subconjunto de${\displaystyle M}$.

Según la definición de números ordinales propuesta por John von Neumann , estos se definen como conjuntos hereditariamente transitivos: un número ordinal es un conjunto transitivo cuyos elementos también son transitivos (y, por lo tanto, ordinales). La clase de todos los ordinales es una clase transitiva.

Cualquiera de las etapas${\displaystyle V_{\alpha }}$y${\displaystyle L_{\alpha }}$lo que condujo a la construcción del universo de von Neumann.${\displaystyle V}$y el universo construible de Gödel${\displaystyle L}$son conjuntos transitivos. Los universos${\displaystyle V}$y${\displaystyle L}$ellas mismas son clases transitivas.

Esta es una lista completa de todos los conjuntos transitivos finitos con hasta 20 pares de corchetes: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \{\},}$
• ${\displaystyle \{\{\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}$

Un conjunto${\displaystyle X}$es transitivo si y solo si${\textstyle \bigcup X\subseteq X}$, dónde${\textstyle \bigcup X}$es la unión de todos los elementos de${\displaystyle X}$que son conjuntos,${\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}$.

Si${\displaystyle X}$es transitivo, entonces${\textstyle \bigcup X}$es transitivo.

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son transitivos, entonces${\displaystyle X\cup Y}$y${\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}$son transitivos. En general, si${\displaystyle Z}$es una clase cuyos elementos son todos conjuntos transitivos, entonces${\textstyle \bigcup Z}$y${\textstyle Z\cup \bigcup Z}$son transitivos. (La primera oración de este párrafo es el caso de${\displaystyle Z=\{X,Y\}}$.)

Un conjunto${\displaystyle X}$que no contiene urelementos es transitivo si y solo si es un subconjunto de su propio conjunto potencia ,${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$El conjunto potencia de un conjunto transitivo sin urelementos es transitivo.

El cierre transitivo de un conjunto${\displaystyle X}$es el conjunto transitivo más pequeño (con respecto a la inclusión) que incluye${\displaystyle X}$(es decir${\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}$). ^{[ 2 ]} Supongamos que se nos da un conjunto${\displaystyle X}$, entonces el cierre transitivo de${\displaystyle X}$es

$${\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}$$

Demostración. Denotemos${\textstyle X_{0}=X}$y${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$Entonces afirmamos que el conjunto

$${\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}$$

es transitivo, y siempre que${\textstyle T_{1}}$es un conjunto transitivo que incluye${\textstyle X}$entonces${\textstyle T\subseteq T_{1}}$.

Asumir${\textstyle y\in x\in T}$. Entonces${\textstyle x\in X_{n}}$para algunos${\textstyle n}$y entonces${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$. Desde${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$,${\textstyle y\in T}$. De este modo${\textstyle T}$es transitivo.

Ahora dejemos${\textstyle T_{1}}$sea ​​como se indicó anteriormente. Demostramos por inducción que${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$a pesar de${\displaystyle n}$, demostrando así que${\textstyle T\subseteq T_{1}}$: El caso base se cumple ya que${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}$Ahora supongamos que...${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$. Entonces${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}$. Pero${\textstyle T_{1}}$es transitivo por lo tanto${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}$, por eso${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}$Esto completa la demostración.

Tenga en cuenta que este es el conjunto de todos los objetos relacionados con${\displaystyle X}$por el cierre transitivo de la relación de pertenencia, ya que la unión de un conjunto puede expresarse en términos del producto relativo de la relación de pertenencia consigo misma.

Las clases transitivas se utilizan a menudo para la construcción de interpretaciones de la teoría de conjuntos en sí misma, generalmente llamadas modelos internos . La razón es que las propiedades definidas por fórmulas acotadas son absolutas para las clases transitivas. ^{[ 3 ]}

Un conjunto (o clase) transitivo que modela un sistema formal de teoría de conjuntos se denomina modelo transitivo del sistema (siempre que la relación de elementos del modelo sea la restricción de la verdadera relación de elementos al universo del modelo). La transitividad es un factor importante para determinar la absolutidad de las fórmulas.

En el enfoque de superestructura para el análisis no estándar , los universos no estándar satisfacen una transitividad fuerte . Aquí, una clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se define como fuertemente transitivo si, para cada conjunto${\displaystyle S\in {\mathcal {C}}}$, existe un superconjunto transitivo${\displaystyle T}$con${\displaystyle S\subseteq T\subseteq {\mathcal {C}}}$Una clase fuertemente transitiva es automáticamente transitiva. Esta suposición de transitividad reforzada permite concluir, por ejemplo, que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$contiene el dominio de cada relación binaria en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 4 ]}

• Extensión final
• Relación transitiva
• Clase supertransitiva

• Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático práctico , London Mathematical Society Student Texts, vol.  39, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59441-3, Zbl 0938.03067 
• Goldblatt, Robert (1998), Lecciones sobre los hiperreales. Una introducción al análisis no estándar , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  188, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98464-X, Zbl 0911.03032 
• Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973], El axioma de la elección , Dover Publications , ISBN 978-0-486-46624-8, Zbl 0259.02051