Transporte de estructura

En matemáticas , particularmente en álgebra universal y teoría de categorías , el transporte de estructura se refiere al proceso por el cual un objeto matemático adquiere una nueva estructura y sus definiciones canónicas , como resultado de ser isomorfo a (o identificado de otro modo con) otro objeto con una estructura preexistente. ^{[ 1 ]} Las definiciones por transporte de estructura se consideran canónicas.

Dado que las estructuras matemáticas a menudo se definen en referencia a un espacio subyacente , muchos ejemplos de transporte de estructura involucran espacios y mapeos entre ellos. Por ejemplo, si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales con${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ser un producto interno en${\displaystyle W}$, de tal manera que exista un isomorfismo${\displaystyle \phi }$de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$Entonces se puede definir un producto interno.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$en${\displaystyle V}$según la siguiente regla:

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

Aunque la ecuación tiene sentido incluso cuando${\displaystyle \phi }$no es un isomorfismo, solo define un producto interno en${\displaystyle V}$cuando${\displaystyle \phi }$es, ya que de lo contrario causará${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ser degenerado . La idea es que${\displaystyle \phi }$permite considerar${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$como "el mismo" espacio vectorial, y siguiendo esta analogía, entonces se puede transportar un producto interno de un espacio a otro.

Un ejemplo más elaborado proviene de la topología diferencial , en la que interviene la noción de variedad diferenciable : si${\displaystyle M}$es tal multiplicidad, y si${\displaystyle X}$es cualquier espacio topológico que es homeomorfo a${\displaystyle M}$, entonces uno puede considerar${\displaystyle X}$como una variedad lisa también. Es decir, dado un homeomorfismo${\displaystyle \phi \colon X\to M}$, se pueden definir cartas de coordenadas en${\displaystyle X}$al "retirar" los gráficos de coordenadas en${\displaystyle M}$a través de${\displaystyle \phi }$. Recuerde que un diagrama de coordenadas en${\displaystyle M}$es un conjunto abierto${\displaystyle U}$junto con un mapa inyectivo

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

para algún número natural${\displaystyle n}$; para obtener un gráfico de este tipo${\displaystyle X}$Se utilizan las siguientes reglas:

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$y${\displaystyle c'=c\circ \phi }$.

Además, se requiere que los gráficos cubran${\displaystyle M}$(el hecho de que los gráficos transportados cubren${\displaystyle X}$Se deduce inmediatamente del hecho de que${\displaystyle \phi }$es una biyección ). Dado que${\displaystyle M}$es una variedad diferenciable , si U y V , con sus mapas${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$, son dos gráficos en${\displaystyle M}$, luego la composición, el "mapa de transición"

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$(un automapa de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)

es suave. Para verificar esto para los gráficos transportados en${\displaystyle X}$, observe que

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$,

y por lo tanto

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, y

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

Por lo tanto, el mapa de transición para${\displaystyle U'}$y${\displaystyle V'}$es lo mismo que para${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$, por lo tanto suave. Es decir,${\displaystyle X}$es una variedad suave mediante transporte de estructura. Este es un caso especial de transporte de estructuras en general. ^{[ 2 ]}

El segundo ejemplo también ilustra por qué el "transporte de estructura" no siempre es deseable. Es decir, se puede tomar${\displaystyle M}$ser el avión, y${\displaystyle X}$ser un cono infinito de una sola cara. Al "aplanar" el cono, se obtiene un homeomorfismo de${\displaystyle X}$y${\displaystyle M}$se puede obtener y, por lo tanto, la estructura de una variedad suave en${\displaystyle X}$, pero el cono no es "naturalmente" una variedad suave. Es decir, se puede considerar${\displaystyle X}$como un subespacio del espacio tridimensional, en cuyo contexto no es suave en el punto del cono.

Un ejemplo más sorprendente es el de las esferas exóticas , descubiertas por John Milnor , que afirma que hay exactamente 28 variedades lisas que son homeomorfas pero no difeomorfas a${\displaystyle S^{7}}$, la esfera de 7 dimensiones en el espacio de 8 dimensiones. Por lo tanto, el transporte de estructura es más productivo cuando existe un isomorfismo canónico entre los dos objetos.

• Lista de jerga matemática
• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas#Transporte de estructuras; isomorfismo