Entero transponible

En matemáticas , los enteros transponibles son enteros que se permutan o desplazan cíclicamente cuando se multiplican por otro entero.${\displaystyle n}$Algunos ejemplos son:

• 142857 × 3 = 428571 (se desplaza cíclicamente un lugar a la izquierda)
• 142857 × 5 = 714285 (se desplaza cíclicamente un lugar a la derecha)
• 128205 × 4 = 512820 (se desplaza cíclicamente un lugar a la derecha)
• 076923 × 9 = 692307 (desplaza cíclicamente dos lugares a la izquierda)

Estos números enteros transponibles pueden ser, pero no siempre son, números cíclicos . La caracterización de dichos números puede realizarse mediante decimales periódicos (y, por lo tanto, las fracciones relacionadas), o directamente.

Para cualquier entero coprimo con 10, su recíproco es un decimal periódico sin dígitos que no se repiten. Por ejemplo , 1/143 = 0,006993 006993 006993 ...

Si bien la expresión de una sola serie con vínculo en la parte superior es adecuada, la intención de la expresión anterior es mostrar que las seis permutaciones cíclicas de 006993 se pueden obtener a partir de este decimal periódico si seleccionamos seis dígitos consecutivos del decimal periódico comenzando desde diferentes dígitos.

Esto demuestra que las permutaciones cíclicas están relacionadas de alguna manera con los decimales periódicos y las fracciones correspondientes.

El máximo común divisor (mcd) entre cualquier permutación cíclica de un entero de m dígitos y 10 ^m − 1 es constante. Expresado como una fórmula,  

${\displaystyle \gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),}$

donde N es un entero de m dígitos; y N _c es cualquier permutación cíclica de N.

Por ejemplo,

 mcd(091575, 999999) = mcd(3 2 ×5 2 ×11×37, 3 3 ×7×11×13×37) = 3663 = mcd(915750, 999999) = mcd(157509, 999999) = mcd(575091, 999999) = mcd(750915, 999999) = mcd(509157, 999999)

Si N es un número entero de m dígitos, el número N _c , obtenido al desplazar N cíclicamente hacia la izquierda, se puede obtener de:

${\displaystyle N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),\,}$

donde d es el primer dígito de N y m es el número de dígitos.

Esto explica el mcd común mencionado anteriormente y el fenómeno es cierto en cualquier base si se reemplaza 10 por b , la base.

Las permutaciones cíclicas están, por lo tanto, relacionadas con decimales periódicos, las fracciones correspondientes y divisores de 10 ^m − 1. Por ejemplo, las fracciones relacionadas con las permutaciones cíclicas anteriores son las siguientes:

• 091575 / 999999 , 915750 / 999999 , 157509 / 999999 , 575091 / 999999 , 750915 / 999999 y 509157 / 999999 .

Reducidas a su mínima expresión utilizando el máximo común divisor, son:

• 25/273 , 250/273 , 43/273 , 157/273 , 205/273 y 139/273 .​​​​​​​​​​​​

Es decir, estas fracciones, cuando se expresan en su mínima expresión , tienen el mismo denominador. Esto se cumple para permutaciones cíclicas de cualquier número entero.

El enfoque algebraico directo para los casos anteriores del multiplicador integral conduce a la siguiente fórmula:

1. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1}},}$

   donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado del extremo inferior de X al extremo superior de n X , satisface D < 10 ^k .

   Si los números no deben tener ceros iniciales, entonces n  10 ^{k − 1}   ≤ D .

2. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},}$

   donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado desde el extremo superior de X hasta el extremo inferior de nX , satisface:

   1. ${\displaystyle D<{\frac {10^{k}}{n}}-1,}$
   2. y la décima parte (el producto de los términos correspondientes a los primos 2 y 5 de la factorización ) de 10 ^k − n divide a D.  

      La décima parte de un número entero t se abrevia a menudo${\displaystyle \operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).}$

   Si los números no deben tener ceros iniciales, entonces 10 ^{k − 1}   ≤ D .

Una división larga de 1 entre 7 da como resultado:

0,142857... 7) 1.000000 .7 3 28 2 14 6 56 4 35 5 49 1

En el último paso, el 1 reaparece como resto. Los restos cíclicos son {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Reescribimos los cocientes con el dividendo/resto correspondiente encima de ellos en todos los pasos:

 Dividendos/Remanentes 1 3 2 6 4 5 Cocientes 1 4 2 8 5 7

y también tenga en cuenta que:

• 1/7 = 0,142857 ...
• 3/7 = 0,428571 ...
• 2/7 = 0,285714 ...
• 6 / 7 = 0,857142...
• 4 / 7 = 0,571428...
• 5 / 7 = 0,714285...

Al observar los restos en cada paso, podemos realizar una permutación cíclica deseada mediante multiplicación. Por ejemplo,

• El número entero 142857, que corresponde a un resto de 1, se permuta a 428571 cuando se multiplica por 3, el resto correspondiente de este último.
• El número entero 142857, que corresponde a un resto de 1, se permuta a 857142 cuando se multiplica por 6, el resto correspondiente de este último.
• El número entero 857142, que corresponde a un resto de 6, se permuta a 571428 cuando se multiplica por 5 / 6 ; es decir, se divide por 6 y se multiplica por 5, el resto correspondiente de este último.

De esta forma, se puede realizar un desplazamiento cíclico hacia la izquierda o hacia la derecha de cualquier número de posiciones.

Menos importante aún, esta técnica se puede aplicar a cualquier número entero para desplazarlo cíclicamente a la derecha o a la izquierda un número determinado de posiciones por la siguiente razón:

• Todo decimal periódico puede expresarse como un número racional (fracción).
• Cada número entero, al sumarse con un punto decimal delante y concatenarse consigo mismo infinitas veces, puede convertirse en una fracción. Por ejemplo, podemos transformar 123456 de esta manera en 0,123456123456..., que a su vez puede convertirse en la fracción 123456 / 999999. Esta fracción puede simplificarse aún más, pero no se hará aquí.
• Para permutar el número entero 123456 a 234561, basta con multiplicar 123456 por 234561 / 123456. Esto puede parecer trampa, pero si 234561 / 123456 es un número entero (en este caso no lo es), la misión está cumplida.

Un número entero X se desplaza cíclicamente a la derecha k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . Demuestra su fórmula.

Prueba

Primero, reconozcamos que X son los dígitos que se repiten en un decimal periódico , que siempre presenta un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n  X tendrán entonces la siguiente relación:

1. El entero X son los dígitos que se repiten de la fracción 1 ⁄ F , digamos d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ , donde d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ y d ₁ representan cada uno un dígito y p es el número de dígitos.
2. El múltiplo n  X es, por lo tanto, los dígitos que se repiten de la fracción n ⁄ F , digamos d _k d _k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _k+2 d _k+1 , que representan los resultados después de un desplazamiento cíclico a la derecha de k posiciones.
3. F debe ser coprimo con 10 para que cuando 1 / F se exprese en decimal no haya dígitos no repetitivos precedentes; de lo contrario, el decimal periódico no poseerá un comportamiento cíclico en la multiplicación.
4. Si se toma el primer resto como n, entonces 1 deberá ser el ( k + 1)-ésimo resto en la división larga para n / F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
5. Para que n × 10 ^k = 1 (mod F ) entonces F será o bien F ₀ = ( n × 10 ^k - 1), o un factor de F ₀ ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que n y cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.

Con esto concluye la demostración.

Un número entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . Demuestre su fórmula.

Prueba

Primero, reconozcamos que X son los dígitos que se repiten en un decimal periódico , que siempre presenta un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n  X tendrán entonces la siguiente relación:

1. El entero X son los dígitos que se repiten de la fracción 1 ⁄ F , digamos d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ .
2. El múltiplo n  X es, por lo tanto, los dígitos que se repiten de la fracción n ⁄ F , digamos d _p-k d _p-k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _p-k+1 ,

lo que representa los resultados después del desplazamiento cíclico a la izquierda de las posiciones k .

1. F debe ser coprimo con 10 para que 1 / F no tenga dígitos no repetitivos precedentes; de lo contrario, el decimal periódico no posee un comportamiento cíclico en la multiplicación.
2. Si se toma el primer resto como 1, entonces n deberá ser el ( k + 1)-ésimo resto en la división larga para 1 / F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
3. Para que 1 × 10 ^k = n (modo F ) entonces F debe ser F ₀ = (10 ^k - n ), o un factor de F ₀ ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que n , y cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.

Con esto concluye la demostración. La demostración para multiplicadores no enteros como n / s se puede obtener de forma similar y no se documenta aquí.

Las permutaciones pueden ser:

• Desplazamiento cíclico a la derecha en una sola posición ( números parásitos );
• Desplazamiento cíclico a la derecha mediante posiciones dobles;
• Desplazamiento cíclico hacia la derecha en cualquier número de posiciones;
• Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición;
• Desplazamiento cíclico a la izquierda por posiciones dobles; y
• Desplazamiento cíclico hacia la izquierda en cualquier número de posiciones.

Cuando un número parásito se multiplica por n, no solo exhibe un comportamiento cíclico, sino que la permutación es tal que el último dígito del número parásito se convierte en el primer dígito del múltiplo. Por ejemplo, 102564 x 4 = 410256. Nótese que 102564 son los dígitos que se repiten de 4/39 y 410256 son los dígitos que se repiten de 16/39 .

Un entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en posiciones dobles cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos que se repiten de 1 / F , donde F = n × 10² - ¹ ; o un factor de este; pero excluyendo los valores para los cuales 1 / F tiene una longitud de período que divide a 2 (o, equivalentemente, es menor que 3); y F debe ser coprimo con 10.

Lo más conveniente suele ser elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.

Problema: Un número entero X se desplaza cíclicamente una posición a la izquierda cuando se multiplica por 3. Halla X.

Solución: Primero, reconozcamos que X son los dígitos que se repiten en un decimal periódico , el cual siempre presenta un comportamiento cíclico interesante en las multiplicaciones. El número entero X y su múltiplo tendrán entonces la siguiente relación:

• El entero X son los dígitos que se repiten de la fracción 1 ⁄ F , digamos ab*** .
• El múltiplo es, por lo tanto, los dígitos que se repiten de la fracción 3 / F , digamos b***a .
• Para que se produzca esta permutación cíclica, el siguiente resto de la división larga de 1 / F debe ser 3. Por lo tanto, F debe ser 7, ya que 1 × 10 ÷ 7 da un resto de 3.

Esto produce los siguientes resultados:

X = los dígitos que se repiten de 1/7

=142857 y

el múltiplo = 142857 × 3 = 428571, los dígitos que se repiten de 3 ⁄ 7

La otra solución está representada por 2 ⁄ 7 x 3 = 6 ⁄ 7 :

• 285714 x 3 = 857142

No hay otras soluciones ^{[ 1 ]} porque:

• El entero n debe ser el resto subsiguiente en una división larga de una fracción 1 / F . Dado que n = 10 - F, y F es coprimo con 10 para que 1 / F sea un decimal periódico, entonces n debe ser menor que 10.
• Para n = 2, F debe ser 10 - 2 = 8. Sin embargo, 1/8 no genera un decimal periódico, de manera similar para n = 5.
• Para n = 7, F debe ser 10 - 7 = 3. Sin embargo, 7 > 3 y 7 / 3 = 2,333 > 1 y no cumple con el propósito.
• De igual modo, no existe solución para ningún otro entero n menor que 10, excepto n = 3.

Sin embargo, si el multiplicador no está restringido a ser un número entero (aunque resulte poco elegante), existen muchas otras soluciones a partir de este método. Por ejemplo, si un número entero X se desplaza cíclicamente a la derecha una posición cuando se multiplica por 3/2 , entonces 3 será el siguiente resto después de 2 en una división larga de una fracción 2 / F . Esto deduce que F = 2 x 10 - 3 = 17, lo que da como resultado que X sea la parte que se repite de 2/17 , es decir , 1176470588235294, y su múltiplo es 1764705882352941.

A continuación se resumen algunos de los resultados obtenidos de esta manera:

Un entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda en posiciones dobles cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos que se repiten de 1 / F , donde F es R = ^10² - n, o un factor de R ; excluyendo los valores de F para los cuales 1 / F tiene una longitud de período que divide a 2 (o, equivalentemente, es menor que 3); y F debe ser coprimo con 10.

Lo más conveniente suele ser elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.

En el sistema duodecimal , los enteros transponibles son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)

Tenga en cuenta que el problema de "Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición" no tiene solución para los multiplicadores menores que 12, excepto 2 y 5; el mismo problema en el sistema decimal no tiene solución para los multiplicadores menores que 10, excepto 3.

• P. Yiu, k-enteros transponibles a la derecha, k-enteros transponibles a la izquierda Cap. 18.1, 18.2 págs.  168/360 en 'Recreational Mathematics', https://web.archive.org/web/20090901180500/http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
• CA Pickover , Maravillas de los números , Capítulo 28, Oxford University Press, Reino Unido, 2000.
• Sloane, N.  J.  A. (ed.). "Secuencia A092697 (Para 1 <= n <= 9, a(n) = el menor número m tal que el producto n*m se obtiene simplemente desplazando el dígito más a la derecha de m hacia la izquierda)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
• Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. Nueva York: The Mathematical Association of America, 1979. pp.  111–122.
• Kalman, Dan; 'Fracciones con patrones de dígitos cíclicos' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (marzo de 1996), pp.  109–115.
• Leslie, John. «La filosofía de la aritmética: una visión progresiva de la teoría y la práctica de...» , Longman, Hurst, Rees, Orme y Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Wells, David ; « El diccionario Penguin de números curiosos e interesantes » , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5