Matriz de transposiciones

La matriz de transposiciones ( matriz Tr ) es una matriz cuadrada , , , cuyos elementos se obtienen a partir de los elementos de un vector n-dimensional dado de la siguiente manera: , donde denota la operación " o exclusiva bit a bit " (XOR). Las filas y columnas de la matriz de transposiciones consisten en permutaciones de elementos del vector X , ya que hay n /2 transposiciones entre cada dos filas o columnas de la matriz ${\displaystyle n\veces n}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$${\displaystyle m\en N}$${\displaystyle X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}}$${\displaystyle Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}}$${\displaystyle \oplus}$

La siguiente figura muestra la matriz de transposiciones de orden 8, creada a partir de un vector arbitrario.$Estilo de visualización Tr(X)$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle Tr(X)=\left[{\begin{array}{cccc|ccccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\\hline x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\end{array}}\right]}$$

• ${\estilo de visualización Tr}$La matriz es una matriz simétrica .
• ${\estilo de visualización Tr}$La matriz es una matriz persimétrica , es decir, también es simétrica con respecto a la diagonal noreste-suroeste.
• Cada fila y columna de una matriz consta de todos los n elementos del vector dado sin repetición.${\estilo de visualización Tr}$${\estilo de visualización X}$
• Cada matriz de dos filas consta de cuatro elementos con los mismos valores que los elementos diagonales. Por ejemplo, si y son dos elementos seleccionados arbitrariamente de la misma columna q de la matriz, entonces, la matriz consta de un cuatro de elementos , para los que se satisfacen las ecuaciones y . Esta propiedad, denominada “propiedad Tr”, es específica de las matrices.${\estilo de visualización Tr}$${\estilo de visualización n/2}$${\displaystyle Tr_{p,q}}$${\displaystyle T_{u,q}}$${\estilo de visualización Tr}$${\estilo de visualización Tr}$${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$${\estilo de visualización Tr}$

La figura de la derecha muestra algunos cuatro elementos de la matriz. ${\estilo de visualización Tr}$

La propiedad de cuatros de matrices da la posibilidad de crear matrices con filas y columnas mutuamente ortogonales ( matriz ) cambiando el signo a un número impar de elementos en cada uno de los cuatros , . En [5] se ofrece un algoritmo para crear matrices usando el producto de Hadamard, (denotado por ) de la matriz Tr y la matriz de Hadamard n-dimensional cuyas filas (excepto la primera) se reorganizan en relación con las filas de la matriz de Sylvester-Hadamard en orden , para lo cual las filas de la matriz Trs resultante son mutuamente ortogonales. ${\estilo de visualización Tr}$${\estilo de visualización Trs}$${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$${\displaystyle p,q,u,v\en [1,n]}$${\estilo de visualización Trs}$${\estilo de visualización \circ}$${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$

$${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$$ $${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$$

dónde:

• " " denota el funcionamiento del producto Hadamard${\displaystyle \circ }$
• ${\displaystyle I_{n}}$es una matriz identidad n-dimensional.
• ${\displaystyle H(R)}$es una matriz de Hadamard n-dimensional , cuyas filas se intercambian con la matriz de Sylvester-Hadamard[4] en un orden dado para el cual las filas de la matriz resultante son mutuamente ortogonales.${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$${\displaystyle Trs}$
• ${\displaystyle X}$es el vector del cual se derivan los elementos de la matriz.${\displaystyle Tr}$

Los ordenamientos R de las filas de la matriz de Hadamard se obtuvieron experimentalmente para matrices de tamaños 2, 4 y 8. Es importante notar que el ordenamiento R de las filas de la matriz de Hadamard (contra la matriz de Sylvester-Hadamard) no depende del vector . Se ha demostrado[5] que, si es un vector unitario (es decir ), entonces la matriz (obtenida como se describió anteriormente) es una matriz de reflexión . ${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$${\displaystyle Trs}$

La matriz de transposiciones con filas mutuamente ortogonales ( matriz) de orden 4 para un vector se obtiene como: ${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\end{pmatrix}}^{T}}$

$${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$$ donde es la matriz, obtenida a partir del vector , y " " denota la operación producto de Hadamard y es la matriz de Hadamard, cuyas filas se intercambian en el orden dado para que las filas de la matriz resultante sean mutuamente ortogonales. Como se puede ver en la figura anterior, la primera fila de la matriz resultante contiene los elementos del vector sin transposiciones ni cambio de signo. Teniendo en cuenta que las filas de la matriz son mutuamente ortogonales, obtenemos ${\displaystyle Tr(X)}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle H(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Trs}$$${\displaystyle Trs(X).X=\left\|X\right\|^{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$$

lo que significa que la matriz rota el vector , del cual se deriva, en la dirección del eje de coordenadas${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1}}$

En [5] se dan como ejemplos códigos de funciones de Matlab que crean matrices para vectores de tamaño n = 2, 4 o 8. Queda abierta la pregunta de si es posible crear matrices de tamaño mayor que 8. ${\displaystyle Tr}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Trs}$

• Matriz simétrica
• Matriz persimétrica
• Matriz ortogonal

1. Argüello, J. (1997).Álgebra matricial desde la perspectiva del estadístico. Tapa blanda.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Análisis matricial (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
3. Mirsky, Leonid (1990), Introducción al álgebra lineal, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
4. Baumert, LD; Hall, Marshall (1965). "Matrices de Hadamard del tipo Williamson". Math. Comp . 19 (91): 442–447. doi : 10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2 . MR  0179093.
5. Zhelezov, OI (2021).Determinación de un caso especial de matrices simétricas y sus aplicacionesTemas actuales de matemáticas y ciencias de la computación, vol. 6, 29-45. ISBN 978-93-91473-89-1.

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html