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Articulo de referencia

isotropía transversal

La isotropía transversal se observa en rocas sedimentarias a longitudes de onda largas. Cada capa presenta propiedades aproximadamente iguales en su plano, pero diferentes a lo ...

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La isotropía transversal se observa en rocas sedimentarias a longitudes de onda largas. Cada capa presenta propiedades aproximadamente iguales en su plano, pero diferentes a lo largo de su espesor. El plano de cada capa es el plano de isotropía y el eje vertical es el eje de simetría.

Un material transversalmente isótropo (también conocido como anisotropía polar ) es aquel cuyas propiedades físicas son simétricas respecto a un eje perpendicular a un plano de isotropía . Este plano transversal posee infinitos planos de simetría y, por lo tanto, dentro de él, las propiedades del material son las mismas en todas las direcciones. En geofísica, la isotropía transversal vertical (ITV) también se conoce como anisotropía radial.

Este tipo de material presenta simetría hexagonal (aunque técnicamente esto deja de ser cierto para tensores de rango 6 y superiores), por lo que el número de constantes independientes en el tensor de elasticidad (de cuarto rango) se reduce a 5 (de un total de 21 constantes independientes en el caso de un sólido totalmente anisotrópico ). Los tensores (de segundo rango) de resistividad eléctrica, permeabilidad, etc., tienen dos constantes independientes.

Ejemplo de materiales transversalmente isótropos

Un material elástico transversalmente isótropo.

Un ejemplo de material transversalmente isótropo es la denominada lámina compuesta de fibra unidireccional en el eje , donde las fibras tienen una sección transversal circular. En un compuesto unidireccional, el plano normal a la dirección de la fibra puede considerarse como el plano isótropo, a longitudes de onda largas (bajas frecuencias) de excitación. En la figura de la derecha, las fibras estarían alineadas con el eje.incógnita2{\displaystyle x_{2}}eje, que es normal al plano de isotropía.

En términos de propiedades efectivas, las capas geológicas de las rocas suelen interpretarse como transversalmente isótropas. El cálculo de las propiedades elásticas efectivas de dichas capas en petrología se conoce como escalamiento de Backus , que se describe a continuación.

matriz de simetría del material

La matriz materialK__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}tiene una simetría con respecto a una transformación ortogonal dada (A{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}) si no cambia al ser sometido a dicha transformación. Para la invariancia de las propiedades del material bajo tal transformación, requerimos

A⋅F=K⋅(A⋅d)⟹F=(A−1⋅K⋅A)⋅d{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}

Por lo tanto, la condición para la simetría del material es (usando la definición de una transformación ortogonal)

K=A−1⋅K⋅A=AT⋅K⋅A{\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}

Las transformaciones ortogonales pueden representarse en coordenadas cartesianas mediante una3×3{\displaystyle 3\times 3}matrizA__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}dado por

A__=[A11A12A13A21A22A23A31A32A33] .{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}

Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como

K__=AT__ K__ A__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}

Para un material transversalmente isótropo, la matrizA__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}tiene la forma

A__=[porque⁡θpecado⁡θ0−pecado⁡θporque⁡θ0001] .{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.}

donde elincógnita3{\displaystyle x_{3}}El eje x es el eje de simetría . La matriz material permanece invariante bajo cualquier rotación de ángulo.θ{\displaystyle \theta }sobre elincógnita3{\displaystyle x_{3}}-eje.

En física

Las relaciones constitutivas lineales de los materiales en física se pueden expresar de la forma

F=K⋅d{\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }

dónded,F{\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }son dos vectores que representan cantidades físicas yK{\displaystyle {\boldsymbol {K}}}es un tensor material de segundo orden. En forma matricial,

F__=K__ d__⟹[F1F2F3]=[K11K12K13K21K22K23K31K32K33][d1d2d3]{\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}

En la tabla siguiente se enumeran ejemplos de problemas físicos que se ajustan a la plantilla anterior. [ 1 ]

Usandoθ=π{\displaystyle \theta =\pi }en elA__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}La matriz implica queK13=K31=K23=K32=0{\displaystyle K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0}. Usandoθ=π2{\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}conduce aK11=K22{\displaystyle K_{11}=K_{22}}yK12=−K21{\displaystyle K_{12}=-K_{21}}Las restricciones energéticas suelen requerirK12,K21≥0{\displaystyle K_{12},K_{21}\geq 0}y por lo tanto debemos tenerK12=K21=0{\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}Por lo tanto, las propiedades del material de un material transversalmente isótropo se describen mediante la matriz

K__=[K11000K11000K33]{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}

En elasticidad lineal

Condición para la simetría del material

En elasticidad lineal , la tensión y la deformación están relacionadas por la ley de Hooke , es decir,

σ__=do__ ε__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}

o, utilizando la notación de Voigt ,

[σ1σ2σ3σ4σ5σ6]=[do11do12do13do14do15do16do12do22do23do24do25do26do13do23do33do34do35do36do14do24do34do44do45do46do15do25do35do45do55do56do16do26do36do46do56do66][ε1ε2ε3ε4ε5ε6]{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}

La condición para la simetría del material en materiales elásticos lineales es. [ 2 ]

do__=Aε__T do__ Aε__{\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}

dónde

Aε__=[A112A122A132A12A13A11A13A11A12A212A222A232A22A23A21A23A21A22A312A322A332A32A33A31A33A31A322A21A312A22A322A23A33A22A33+A23A32A21A33+A23A31A21A32+A22A312A11A312A12A322A13A33A12A33+A13A32A11A33+A13A31A11A32+A12A312A11A212A12A222A13A23A12A23+A13A22A11A23+A13A21A11A22+A12A21]{\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}

Tensor de elasticidad

Utilizando los valores específicos deθ{\displaystyle \theta }en matrizA__{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}, [ 3 ] se puede demostrar que el tensor de rigidez elástica de cuarto rango se puede escribir en notación de Voigt de 2 índices como la matriz

do__=[do11do12do13000do12do11do13000do13do13do33000000do44000000do44000000(do11−do12)/2]=[do11do11−2do66do13000do11−2do66do11do13000do13do13do33000000do44000000do44000000do66].{\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}

La matriz de rigidez elásticadoij{\displaystyle C_{ij}}Tiene 5 constantes independientes, que están relacionadas con módulos elásticos de ingeniería bien conocidos de la siguiente manera. Estos módulos de ingeniería se determinan experimentalmente.

La matriz de compliancia (inversa de la matriz de rigidez elástica) es

do__−1=1Δ[do11do33−do132do132−do12do33(do12−do11)do13000do132−do12do33do11do33−do132(do12−do11)do13000(do12−do11)do13(do12−do11)do13do112−do122000000Δdo44000000Δdo440000002Δ(do11−do12)]{\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}}

dóndeΔ:=(do11−do12)[(do11+do12)do33−2do13do13]{\displaystyle \Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]} . En notación de ingeniería,

do__−1=[1miincógnita−νyincógnitamiincógnita−νzincógnitamiz000−νincógnitaymiincógnita1miincógnita−νzincógnitamiz000−νincógnitazmiincógnita−νincógnitazmiincógnita1miz0000001GRAMOincógnitaz0000001GRAMOincógnitaz0000002(1+νincógnitay)miincógnita]{\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}}

Al comparar estas dos formas de la matriz de cumplimiento, vemos que el módulo de Young longitudinal viene dado por

miL=miz=do33−2do13do13/(do11+do12){\displaystyle E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})}

De manera similar, el módulo de Young transversal es

miT=miincógnita=miy=(do11−do12)(do11do33+do12do33−2do13do13)/(do11do33−do13do13){\displaystyle E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})}

El módulo de corte en el plano es

GRAMOincógnitay=(do11−do12)/2=do66{\displaystyle G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}}

y el coeficiente de Poisson para la carga a lo largo del eje polar es

νLT=νzincógnita=do13/(do11+do12){\displaystyle \nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})}.

Aquí, L representa la dirección longitudinal (polar) y T representa la dirección transversal.

En geofísica

En geofísica, se suele asumir que las formaciones rocosas de la corteza son localmente anisotrópicas polares (transversalmente isótropas); este es el caso más simple de interés geofísico. El escalamiento de Backus [ 4 ] se utiliza a menudo para determinar las constantes elásticas transversalmente isótropas efectivas de medios estratificados para ondas sísmicas de longitud de onda larga.

Las suposiciones que se hacen en la aproximación de Backus son:

  • Todos los materiales son elásticos lineales.
  • No hay fuentes de disipación de energía intrínseca (por ejemplo, fricción).
  • Válido en el límite de longitud de onda infinita, por lo tanto, se obtienen buenos resultados solo si el espesor de la capa es mucho menor que la longitud de onda.
  • Las estadísticas de distribución de las propiedades elásticas de las capas son estacionarias, es decir, no existe una tendencia correlacionada en estas propiedades.

Para longitudes de onda más cortas, el comportamiento de las ondas sísmicas se describe mediante la superposición de ondas planas . Los medios transversalmente isótropos admiten tres tipos de ondas planas elásticas:

  • una onda cuasi-P ( dirección de polarización casi igual a la dirección de propagación)
  • una onda cuasi-S
  • una onda S (polarizada ortogonalmente a la onda cuasi-S, al eje de simetría y a la dirección de propagación).

Las soluciones a los problemas de propagación de ondas en dichos medios pueden construirse a partir de estas ondas planas, utilizando la síntesis de Fourier .

Escalado de Backus (aproximación de longitud de onda larga)

Un modelo estratificado de material homogéneo e isotrópico puede ampliarse a un medio transversalmente isotrópico, propuesto por Backus. [ 4 ]

Backus presentó una teoría de medio equivalente, según la cual un medio heterogéneo puede ser reemplazado por uno homogéneo que predice la propagación de ondas en el medio real. [ 5 ] Backus demostró que la estratificación a una escala mucho más fina que la longitud de onda tiene un impacto y que varias capas isotrópicas pueden ser reemplazadas por un medio homogéneo transversalmente isótropo que se comporta exactamente igual que el medio real bajo carga estática en el límite de longitud de onda infinita.

Si cada capai{\displaystyle i} se describe mediante 5 parámetros transversalmente isótropos(ai,bi,doi,di,mii){\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})}especificando la matriz

doi__=[aiai−2miibi000ai−2miiaibi000bibidoi000000di000000di000000mii]{\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}}

Los módulos elásticos para el medio efectivo serán

domiFF__=[AA−2miB000A−2miAB000BBdo000000D000000D000000mi]{\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}}

dónde

A=⟨a−b2do−1⟩+⟨do−1⟩−1⟨bdo−1⟩2B=⟨do−1⟩−1⟨bdo−1⟩do=⟨do−1⟩−1D=⟨d−1⟩−1mi=⟨mi⟩{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}}

⟨⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot \rangle }denota el promedio ponderado por volumen sobre todas las capas.

Esto incluye capas isotrópicas, ya que la capa es isotrópica sibi=ai−2mii{\displaystyle b_{i}=a_{i}-2e_{i}},ai=doi{\displaystyle a_{i}=c_{i}}ydi=mii{\displaystyle d_{i}=e_{i}}.

aproximación de longitud de onda corta y media

Las soluciones a los problemas de propagación de ondas en medios elásticos lineales transversalmente isótropos pueden construirse superponiendo soluciones para la onda cuasi-P, la onda cuasi-S y una onda S polarizada ortogonalmente a la onda cuasi-S. Sin embargo, las ecuaciones para la variación angular de la velocidad son algebraicamente complejas y las velocidades de las ondas planas son funciones del ángulo de propagación.θ{\displaystyle \theta }son. [ 6 ] Las velocidades de onda dependientes de la dirección para ondas elásticas a través del material se pueden encontrar utilizando la ecuación de Christoffel y están dadas por [ 7 ]

VqPAG(θ)=do11pecado2⁡(θ)+do33porque2⁡(θ)+do44+METRO(θ)2ρVqS(θ)=do11pecado2⁡(θ)+do33porque2⁡(θ)+do44−METRO(θ)2ρVS=do66pecado2⁡(θ)+do44porque2⁡(θ)ρMETRO(θ)=[(do11−do44)pecado2⁡(θ)−(do33−do44)porque2⁡(θ)]2+(do13+do44)2pecado2⁡(2θ){\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}}

dóndeθ{\displaystyle {\begin{aligned}\theta \end{aligned}}}es el ángulo entre el eje de simetría y la dirección de propagación de la onda,ρ{\displaystyle \rho }es la densidad de masa y ladoij{\displaystyle C_{ij}}son elementos de la matriz de rigidez elástica . Los parámetros de Thomsen se utilizan para simplificar estas expresiones y hacerlas más fáciles de entender.

Parámetros de Thomsen

Los parámetros de Thomsen [ 8 ] son ​​combinaciones adimensionales de módulos elásticos que caracterizan materiales transversalmente isótropos, los cuales se encuentran, por ejemplo, en geofísica . En términos de los componentes de la matriz de rigidez elástica , estos parámetros se definen como:

ϵ=do11−do332do33δ=(do13+do44)2−(do33−do44)22do33(do33−do44)γ=do66−do442do44{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}}

donde el índice 3 indica el eje de simetría (mi3{\displaystyle \mathbf {e} _{3}}Estos parámetros, junto con las velocidades de las ondas P y S asociadas , pueden utilizarse para caracterizar la propagación de ondas a través de medios estratificados débilmente anisotrópicos. Empíricamente, los parámetros de Thomsen para la mayoría de las formaciones rocosas estratificadas son mucho menores que 1.

El nombre hace referencia a Leon Thomsen, profesor de geofísica en la Universidad de Houston , quien propuso estos parámetros en su artículo de 1986 titulado "Anisotropía elástica débil".

Expresiones simplificadas para las velocidades de las ondas

En geofísica la anisotropía en las propiedades elásticas suele ser débil, en cuyo casoδ,γ,ϵ≪1{\displaystyle \delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1}Cuando las expresiones exactas para las velocidades de onda anteriores se linealizan en estas pequeñas cantidades, se simplifican a

VqPAG(θ)≈VPAG0(1+δpecado2⁡θporque2⁡θ+ϵpecado4⁡θ)VqS(θ)≈VS0[1+(VPAG0VS0)2(ϵ−δ)pecado2⁡θporque2⁡θ]VS(θ)≈VS0(1+γpecado2⁡θ){\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}}

dónde

VPAG0=do33/ρ ;  VS0=do44/ρ{\displaystyle V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}}

son las velocidades de las ondas P y S en la dirección del eje de simetría (mi3{\displaystyle \mathbf {e} _{3}}) (en geofísica, esta suele ser, pero no siempre, la dirección vertical). Tenga en cuenta queδ{\displaystyle \delta }Puede linealizarse aún más, pero esto no conlleva una mayor simplificación.

Las expresiones aproximadas para las velocidades de onda son lo suficientemente sencillas como para interpretarse físicamente y suficientemente precisas para la mayoría de las aplicaciones geofísicas. Estas expresiones también resultan útiles en algunos contextos donde la anisotropía no es débil.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Milton, GW (2002). La teoría de los compuestos . Cambridge University Press.
  2. ↑ Slawinski, MA (2010). Ondas y rayos en continuos elásticos (PDF) . World Scientific. Archivado del original (PDF) el 10 de febrero de 2009.
  3. ↑ Podemos usar los valoresθ=π{\displaystyle \theta =\pi }yθ=π2{\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}Para la derivación de la matriz de rigidez para materiales transversalmente isótropos. Se eligen valores específicos para facilitar el cálculo.
  4. 1 2 Backus, GE (1962), Anisotropía elástica de onda larga producida por estratificación horizontal, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
  5. ↑ Ikelle, Luc T. y Amundsen, Lasse (2005), Introducción a la sismología del petróleo, SEG Investigations in Geophysics No. 12
  6. ↑ Nye, JF (2000). Propiedades físicas de los cristales: su representación mediante tensores y matrices . Oxford University Press.
  7. ↑ G. Mavko , T. Mukerji, J. Dvorkin. Manual de física de rocas . Cambridge University Press, 2003 (edición de bolsillo). ISBN 0-521-54344-4
  8. ↑ Thomsen, Leon (1986). "Anisotropía elástica débil". Geofísica . 51 (10): 1954– 1966. Bibcode : 1986Geop...51.1954T . doi : 10.1190/1.1442051 .
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