Triacontágono

En geometría , un triacontágono o polígono de 30 lados es un polígono de treinta lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier triacontágono es de 5040 grados.

El triacontágono regular es un polígono construible mediante la bisección de una arista de un pentadecágono regular , y también puede construirse como un pentadecágono truncado , t{15}. Un triacontágono truncado , t{30}, es un hexacontágono , {60}.

Un ángulo interior de un triacóntagonal regular mide 168 grados, lo que significa que un ángulo exterior mide 12°. El triacóntagonal es el polígono regular más grande cuyo ángulo interior es la suma de los ángulos interiores de polígonos más pequeños : 168° es la suma de los ángulos interiores del triángulo equilátero (60°) y del pentágono regular (108°).

El área de un triacontago regular es (con t = longitud del lado ) ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A={\frac {15}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {15}{4}}t^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

El radio interno de un triacontágono regular es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}t\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

El radio de la circunferencia circunscrita a un triacontágono regular es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}t\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

Construcción

Como 30 = 2 × 3 × 5, se puede construir un triacontágono regular usando un compás y una regla . ^{[ 2 ]}

El triacontágono regular tiene simetría diedral Dih ₃₀ , orden 60, representada por 30 líneas de reflexión. Dih ₃₀ tiene 7 subgrupos diedrales: Dih ₁₅ , (Dih ₁₀ , Dih ₅ ), (Dih ₆ , Dih ₃ ) y (Dih ₂ , Dih ₁ ). También tiene ocho simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z ₃₀ , Z ₁₅ ), (Z ₁₀ , Z ₅ ), (Z ₆ , Z ₃ ) y (Z ₂ , Z ₁ ), donde Z _n representa la simetría rotacional de π / n radianes.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. ^{[ 3 ]} Él da d (diagonal) con líneas de simetría que pasan por los vértices, p con líneas de simetría que pasan por las aristas (perpendicular), i con líneas de simetría que pasan por los vértices y las aristas, y g para la simetría rotacional. a1 etiqueta la ausencia de simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de triacontagos irregulares. Solo el subgrupo g30 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Coxeter afirma que todo zonógono (un polígono de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^{[ 4 ]} En particular, esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el triacontago regular , m =15, se puede dividir en 105: 7 conjuntos de 15 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo de 15 .

Un triacontagrama es un polígono estrellado de 30 lados (aunque la palabra es extremadamente rara). Hay 3 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {30/7}, {30/11} y {30/13}, y 11 figuras estrelladas compuestas con la misma configuración de vértices .

También existen triacontagramas isogonales construidos como truncamientos más profundos del pentadecágono regular {15} y del pentadecagrama {15/7}, y pentadecagramas invertidos {15/11} y {15/13}. Otros truncamientos forman recubrimientos dobles: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4} y t{15/2}={30/2}=2{15}. ^{[ 5 ]}

El triacontágono regular es el polígono de Petrie para tres politopos de 8 dimensiones con simetría E ₈ , mostrados en proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E _8. También es el polígono de Petrie para dos politopos de 4 dimensiones, mostrados en el plano de Coxeter H ₄ .

El triacontagrama regular {30/7} es también el polígono de Petrie para el gran gran estrellado de 120 celdas y el gran de 600 celdas .

• Nomenclatura de polígonos y poliedros
• triacontágono