Triacontaedro rómbico

El triacontaedro rómbico , a veces llamado simplemente triacontaedro ya que es el poliedro de treinta caras más común , es un poliedro convexo con 30 caras rómbicas . Tiene 60 aristas y 32 vértices de dos tipos. Es un sólido catalán , y el poliedro dual del icosidodecaedro . Es un zonohedro .

La relación entre la diagonal larga y la diagonal corta de cada cara es exactamente igual a la proporción áurea , φ , de modo que los ángulos agudos de cada cara miden 2 arctan ( ⁠1/φ⁠ ) ​​= arctan(2) , o aproximadamente 63,43°. Un rombo así obtenido se llama rombo áureo .

Al ser el dual de un sólido arquimediano , el triacontaedro rómbico es transitivo en sus caras , es decir, el grupo de simetría del sólido actúa transitivamente sobre el conjunto de caras. Esto significa que para dos caras cualesquiera, A y B , hay una rotación o reflexión del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras se mueve la cara A a la cara B.

El triacontaedro rómbico es algo especial por ser uno de los nueve poliedros convexos transitivos de aristas , siendo los otros los cinco sólidos platónicos , el cuboctaedro , el icosidodecaedro y el dodecaedro rómbico .

El triacontaedro rómbico también es interesante porque sus vértices incluyen la disposición de cuatro sólidos platónicos. Contiene diez tetraedros , cinco cubos , un icosaedro y un dodecaedro . Los centros de las caras contienen cinco octaedros .

Se puede realizar a partir de un octaedro truncado dividiendo las caras hexagonales en tres rombos:

Sea φ la proporción áurea . Los 12 puntos dados por (0, ±1, ± φ ) y permutaciones cíclicas de estas coordenadas son los vértices de un icosaedro regular . Su dodecaedro regular dual , cuyas aristas intersecan las del icosaedro en ángulos rectos, tiene como vértices los 8 puntos (±1, ±1, ±1) junto con los 12 puntos (0, ± φ , ± ⁠1/φ⁠ ) ​​y permutaciones cíclicas de estas coordenadas. Los 32 puntos juntos son los vértices de un triacontaedro rómbico centrado en el origen. La longitud de sus aristas es √ 3 – φ ≈1.175 570 504 58 . Sus caras tienen diagonales con longitudes 2 y ⁠2/φ⁠ .

Si la longitud de la arista de un triacontaedro rómbico es a , el área de la superficie, el volumen, el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del triacontaedro rómbico) y el radio medio, que toca el medio de cada arista son: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\aprox 26,8328a^{2}\\[6px]V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\aprox 12,3107a^{3}\\[6px]r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\aprox 1,37638a\\[6px]r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\derecha)\,a&&\aproximadamente 1,44721a\end{alineado}}}$

donde φ es la proporción áurea .

La esfera interna es tangente a las caras en sus centros de gravedad. Las diagonales cortas pertenecen únicamente a las aristas del dodecaedro regular inscrito, mientras que las diagonales largas están incluidas únicamente en las aristas del icosaedro inscrito.

El triacontaedro rómbico se puede diseccionar en 20 romboedros áureos : 10 agudos y 10 obtusos. ^{[2] [3]}

El triacontaedro rómbico tiene cuatro posiciones de simetría, dos centradas en los vértices, una en la mitad de la cara y otra en la mitad de la arista. En la proyección "10" se encuentran el rombo "grueso" y el rombo "delgado", que se unen para producir la teselación no periódica a la que a menudo se denomina teselación de Penrose .

El triacontaedro rómbico tiene 227 estelaciones totalmente sostenidas. ^{[4] [5]} Otra estelación del triacontaedro rómbico es la compuesta de cinco cubos . El número total de estelaciones del triacontaedro rómbico es358 833 097 .

Este poliedro es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y teselas con simetría de grupo de Coxeter [ n , 3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos también son rectángulos.

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  Triacontaedro rómbico esférico
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  Un triacontaedro rómbico con un tetraedro inscrito (rojo) y un cubo (amarillo).
  (Haga clic aquí para ver el modelo giratorio)
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  Un triacontaedro rómbico con un dodecaedro inscrito (azul) y un icosaedro (violeta).
  (Haga clic aquí para ver el modelo giratorio)
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  Triacontaedro rómbico completamente truncado

El diseñador danés Holger Strøm utilizó el triacontaedro rómbico como base para el diseño de su lámpara construible IQ-light (IQ abreviatura de "cuadriláteros entrelazados").

La carpintera Jane Kostick construye cajas con la forma de un triacontaedro rómbico. ^[6] La construcción simple se basa en la relación menos que obvia entre el triacontaedro rómbico y el cubo.

La "Ball of Whacks" de Roger von Oech tiene la forma de un triacontaedro rómbico.

El triacontaedro rómbico se utiliza como el dado de treinta caras " d30 ", a veces útil en algunos juegos de rol u otros lugares.

• Rombo dorado
• Azulejos de rombos
• Triacontaedro rómbico truncado

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, pág. 22, Triacontaedro rómbico)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y de Catalan, pág. 285, Triacontaedro rómbico) 

• Weisstein, Eric W. , "Triacontaedro rómbico" ("Sólido catalán") en MathWorld .
• Triacontraedro rómbico: modelo poliedro interactivo
• Poliedros de realidad virtual – La enciclopedia de los poliedros
• Estelaciones del triacontaedro rómbico
• Globo EarthStar: proyección cartográfica rómbica triacontaédrica
• IQ-light: lámpara del diseñador danés Holger Strøm
• Hazlo tú mismo Archivado el 17 de julio de 2007 en Wayback Machine.
• Una construcción de madera de una caja de triacontaedro rómbico, por la carpintera Jane Kostick
• 120 triacontaedros rómbicos , 30+12 triacontaedros rómbicos y 12 triacontaedros rómbicos de Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project
• Una víbora dibujada sobre un triacontaedro rómbico.