Triángulo

Cada triángulo tiene muchos puntos especiales en su interior, en sus aristas o asociados a él de alguna otra manera. Se construyen encontrando tres líneas asociadas simétricamente a los tres lados (o vértices) y luego demostrando que las tres líneas se intersecan en un solo punto. Una herramienta importante para demostrar la existencia de estos puntos es el teorema de Ceva , que proporciona un criterio para determinar cuándo tres de dichas líneas son concurrentes . ^{[ 18 ]} De manera similar, las líneas asociadas a un triángulo se construyen a menudo demostrando que tres puntos construidos simétricamente son colineales ; en este caso, el teorema de Menelao proporciona un criterio general útil. ^{[ 19 ]} En esta sección, se explican solo algunas de las construcciones más comunes.

Una mediatriz de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, formando un ángulo recto con él. ^{[ 20 ]} Las tres mediatrices se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo ; este punto es el centro de la circunferencia circunscrita , la circunferencia que pasa por los tres vértices. ^{[ 21 ]} El teorema de Tales implica que si el circuncentro se encuentra en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto a ese lado es un ángulo recto. ^{[ 22 ]} Si el circuncentro se encuentra dentro del triángulo, entonces el triángulo es acutángulo; si el circuncentro se encuentra fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtusángulo. ^{[ 23 ]}

La intersección de las mediatrices es el circuncentro .

La intersección de las bisectrices de los ángulos es el incentro.

La intersección de las medianas es el centroide.

La intersección de las altitudes es el ortocentro.

Una altura de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Este lado opuesto se llama base de la altura, y el punto donde la altura interseca la base (o su prolongación) se llama pie de la altura. ^{[ 24 ]} La longitud de la altura es la distancia entre la base y el vértice. Las tres alturas se intersecan en un único punto, llamado ortocentro del triángulo. ^{[ 25 ]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es acutángulo. ^{[ 26 ]}

El círculo de nueve puntos muestra una simetría en la que seis puntos se encuentran en el borde del triángulo. La recta de Euler es una línea recta que pasa por el ortocentro (azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el baricentro (naranja) y el circuncentro (verde).

La bisectriz de un ángulo de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y divide el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices se intersecan en un único punto, el incentro , que es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo . La circunferencia inscrita es la circunferencia más grande que se encuentra dentro del triángulo; toca los tres lados. Su radio se llama radio interno. Hay otras tres circunferencias importantes, las excircunferencias ; se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado, así como las prolongaciones de los otros dos. Los centros de las circunferencias inscritas y excircunferencias forman un sistema ortocéntrico . ^{[ 27 ]} Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres alturas se encuentran en una sola circunferencia, la circunferencia de nueve puntos del triángulo . ^{[ 28 ]} Los tres puntos restantes que le dan nombre son los puntos medios de la porción de altura entre los vértices y el ortocentro . El radio de la circunferencia de nueve puntos es la mitad del de la circunferencia circunscrita. Toca la circunferencia inscrita (en el punto de Feuerbach ) y las tres circunferencias exinscritas . El ortocentro (punto azul), el centro de la circunferencia de nueve puntos (rojo), el baricentro (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran sobre una misma línea, conocida como la línea de Euler (línea roja). El centro de la circunferencia de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro. ^{[ 28 ]} Generalmente, el centro de la circunferencia inscrita no se encuentra sobre la línea de Euler. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

Una mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se intersecan en un único punto, el centroide o baricentro geométrico del triángulo. El centroide de un objeto triangular rígido (recortado de una lámina delgada de densidad uniforme) es también su centro de masa : el objeto puede mantenerse en equilibrio sobre su centroide en un campo gravitatorio uniforme. ^{[ 31 ]} El centroide corta cada mediana en una proporción de 2:1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto. Si se refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene una simediana . Las tres simedianas se intersecan en un único punto, el punto simediano del triángulo. ^{[ 32 ]}

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre 180 grados. ^{[ 33 ]} Este hecho es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides . Esto permite determinar la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo, dada la medida de dos ángulos. ^{[ 34 ]} Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por lo tanto suplementario ) de un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él; este es el teorema del ángulo exterior . ^{[ 35 ]} La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno por cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados, y de hecho, esto es cierto para cualquier polígono convexo, sin importar cuántos lados tenga. ^{[ 36 ]}

Otra relación entre los ángulos internos y los triángulos crea un nuevo concepto de funciones trigonométricas . Las funciones trigonométricas primarias son el seno y el coseno , además de otras funciones. Se pueden definir como la razón entre dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo . ^{[ 37 ]} En un triángulo escaleno, las funciones trigonométricas se pueden usar para hallar la medida desconocida de un lado o de un ángulo interno; los métodos para hacerlo utilizan la ley de los senos y la ley de los cosenos . ^{[ 38 ]}

Cualquier trío de ángulos que sumen 180° puede ser el ángulo interno de un triángulo. Infinitos triángulos tienen los mismos ángulos, ya que especificar los ángulos de un triángulo no determina su tamaño. Un triángulo degenerado , cuyos vértices son colineales , tiene ángulos internos de 0° y 180°; si dicha figura se considera un triángulo es una cuestión de convención. ^{[ 39 ] [ 40 ]} Las condiciones para tres ángulos${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$, cada uno de ellos entre 0° y 180°, para ser los ángulos de un triángulo también se pueden expresar usando funciones trigonométricas. Por ejemplo, un triángulo con ángulos${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$existe si y solo si ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1.}$$

Se dice que dos triángulos son semejantes si cada ángulo de un triángulo mide lo mismo que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos semejantes tienen longitudes proporcionales, y esta propiedad también es suficiente para establecer la semejanza. ^{[ 42 ]}

Algunos teoremas básicos sobre triángulos semejantes son:

• Si y solo si un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida entre sí, y otro par también tienen la misma medida entre sí, los triángulos son semejantes. ^{[ 43 ]}
• Si y solo si un par de lados correspondientes de dos triángulos guardan la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos comprendidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son semejantes. ^{[ 44 ]} (El ángulo comprendido entre dos lados cualesquiera de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
• Si y solo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos guardan la misma proporción, entonces los triángulos son semejantes. ^{[ b ]}

Dos triángulos congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Todos los pares de triángulos congruentes también son semejantes, pero no todos los pares de triángulos semejantes son congruentes. Dados dos triángulos congruentes, todos los pares de ángulos interiores correspondientes tienen la misma medida, y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. Esto suma un total de seis igualdades, pero a menudo tres son suficientes para demostrar la congruencia. ^{[ 45 ]}

Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sean congruentes son: ^{[ 46 ]}

• Postulado LAL: Dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre ellos tienen la misma medida.
• ASA: Dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esta es la base de la topografía por triangulación ).
• LLL: Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que el lado correspondiente del otro triángulo.
• AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se denomina AAcorrS e incluye ASA más arriba).

En el plano euclidiano, el área se define por comparación con un cuadrado de lado ⁠${\displaystyle 1}$⁠ , que tiene un área de 1. Hay varias maneras de calcular el área de un triángulo arbitrario. Una de las más antiguas y sencillas es tomar la mitad del producto de la longitud de un lado ⁠${\displaystyle b}$( la base) veces la altitud correspondiente${\displaystyle h}$: ^{[ 47 ]}​$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

Esta fórmula se puede comprobar cortando el triángulo y una copia idéntica en pedazos y reorganizando los pedazos para formar un rectángulo de base ⁠${\displaystyle b}$y altura​${\displaystyle h}$.​

Si dos lados${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$y su ángulo incluido${\displaystyle \gamma }$Si se conocen los datos, entonces la altitud se puede calcular utilizando trigonometría .${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$⁠ , por lo tanto, el área del triángulo es: $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

La fórmula de Herón , que recibe su nombre de Herón de Alejandría , es una fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados.${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$Alquiler${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$sea ​​el semiperímetro , ^{[ 48 ]}$${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

Debido a que las proporciones entre las áreas de las figuras en el mismo plano se conservan mediante transformaciones afines , las áreas relativas de los triángulos en cualquier plano afín pueden definirse sin referencia a la noción de distancia o cuadrados. En cualquier espacio afín (incluidos los planos euclidianos), todo triángulo con la misma base y área orientada tiene su vértice (el tercer vértice) sobre una línea paralela a la base, y su área común es la mitad de la de un paralelogramo con la misma base cuyo lado opuesto se encuentra sobre la línea paralela. Este enfoque afín se desarrolló en el Libro 1 de los Elementos de Euclides . ^{[ 49 ]}

Dadas coordenadas afines ( como las coordenadas cartesianas )${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$,​​${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$,​​${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$⁠ para los vértices de un triángulo, su área orientada relativa se puede calcular utilizando la fórmula del cordón de zapato ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A}y_{C}),\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle |\cdot |}$es el determinante de la matriz . ^{[ 50 ]}

La desigualdad triangular establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. ^{[ 51 ]} Por el contrario, existe un triángulo con tres longitudes de lados positivas dadas si y solo si esas longitudes de lados satisfacen la desigualdad triangular. ^{[ 52 ]} La suma de las longitudes de dos lados puede ser igual a la longitud del tercer lado solo en el caso de un triángulo degenerado , es decir, uno con vértices colineales.

A diferencia de un rectángulo, que puede colapsar en un paralelogramo por la presión ejercida sobre uno de sus vértices, ^{[ 53 ]} los triángulos son robustos porque la especificación de las longitudes de sus tres lados determina los ángulos. ^{[ 54 ]} Por lo tanto, un triángulo no cambiará de forma a menos que sus lados se doblen, se extiendan, se rompan o se dañen sus uniones; en esencia, cada uno de los tres lados soporta a los otros dos. Un rectángulo, en cambio, depende más de la resistencia de sus uniones en un sentido estructural. Por esta razón, los cuadriláteros estructurales a menudo se construyen con una unión diagonal para dividirlos en dos triángulos rígidos.

Desde un punto de vista matemático, los triángulos son rígidos en el sentido de que solo existe un triángulo posible a partir de una combinación de tres longitudes de lado , es decir, los ángulos no se pueden ajustar.

Los triángulos son resistentes en términos de rigidez, pero cuando se disponen en una estructura teselada, no son tan resistentes como los hexágonos bajo compresión (de ahí la prevalencia de las formas hexagonales en la naturaleza ). Sin embargo, los triángulos teselados conservan una resistencia superior en voladizo , razón por la cual la ingeniería utiliza estructuras reticulares tetraédricas .

La triangulación significa la partición de cualquier objeto plano en una colección de triángulos. Por ejemplo, en la triangulación de polígonos , un polígono se subdivide en múltiples triángulos que están unidos borde con borde, con la propiedad de que sus vértices coinciden con el conjunto de vértices del polígono. ^{[ 55 ]} En el caso de un polígono simple con${\displaystyle n}$lados, hay${\displaystyle n-2}$triángulos que están separados por${\displaystyle n-3}$diagonales. La triangulación de un polígono simple tiene relación con la oreja , un vértice conectado por otros dos vértices, cuya diagonal se encuentra completamente dentro del polígono. El teorema de las dos orejas establece que todo polígono simple que no sea un triángulo tiene al menos dos orejas. ^{[ 56 ]}

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito único (círculo inscrito) que se encuentra dentro del triángulo y es tangente a sus tres lados. Cada triángulo tiene una elipse de Steiner única que se encuentra dentro del triángulo y es tangente en los puntos medios de sus lados. El teorema de Marden muestra cómo encontrar los focos de esta elipse . ^{[ 59 ]} Esta elipse tiene la mayor área de todas las elipses tangentes a los tres lados del triángulo. La elipse de Mandart de un triángulo es la elipse inscrita dentro del triángulo, tangente a sus lados en los puntos de contacto de sus círculos exinscritos. Para cualquier elipse inscrita en un triángulo${\displaystyle ABC}$, sean los focos${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, entonces: ^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

El triángulo pedal y el triángulo de Gergonne

Desde un punto interior de un triángulo de referencia, los puntos más cercanos de los tres lados sirven como vértices del triángulo pedal de ese punto. Si el punto interior es el circuncentro del triángulo de referencia, los vértices del triángulo pedal son los puntos medios de los lados del triángulo de referencia, por lo que el triángulo pedal se denomina triángulo medio o triángulo medial. El triángulo medio subdivide el triángulo de referencia en cuatro triángulos congruentes que son semejantes al triángulo de referencia. ^{[ 61 ]}

El triángulo intouch de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los tres puntos de tangencia de los lados del triángulo de referencia con su circunferencia inscrita. ^{[ 62 ]} El triángulo extouch de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los puntos de tangencia de las circunferencias exscritas del triángulo de referencia con sus lados (sin extender). ^{[ 63 ]}

Los cuadrados inscritos cuyos vértices son tangentes a los lados del triángulo constituyen un caso especial del problema del cuadrado inscrito , aunque este problema busca un cuadrado cuyos vértices se encuentren sobre una curva cerrada simple . Un ejemplo notable de esta relación de figuras es el triángulo de Calabi , en el que los vértices de cada tres cuadrados son tangentes a todos los lados del triángulo obtusángulo. Todo triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran sobre un lado del triángulo, de modo que dos de ellos se encuentran sobre el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtusángulo tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, un lado común más largo se asocia con un cuadrado inscrito más pequeño. Si un cuadrado inscrito tiene un lado de longitud${\displaystyle q_{a}}$y el triángulo tiene un lado de longitud${\displaystyle a}$, parte de cuyo lado coincide con un lado del cuadrado, entonces${\displaystyle q_{a}}$,${\displaystyle a}$,${\displaystyle h_{a}}$desde el lateral${\displaystyle a}$y el área del triángulo${\displaystyle T}$están relacionados según ^{[ 64 ]}$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$La mayor razón posible entre el área del cuadrado inscrito y el área del triángulo es 1/2, lo que ocurre cuando${\displaystyle a^{2}=2T}$,${\displaystyle q=a/2}$y la altura del triángulo desde la base de longitud${\displaystyle a}$es igual a${\displaystyle a}$. La razón más pequeña posible entre el lado de un cuadrado inscrito y el lado de otro en el mismo triángulo no obtuso es${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3}$. ^{[ 65 ]} Ambos casos extremos ocurren para el triángulo rectángulo isósceles.

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico cuyos vértices están dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo con las tres rectas paralelas a dichos lados que pasan por su punto simediano . Tanto en su forma simple como en su forma autointersecante , el hexágono de Lemoine es interior al triángulo con dos vértices en cada lado del mismo.

Todo polígono convexo con área${\displaystyle T}$puede inscribirse en un triángulo de área como máximo igual a${\displaystyle 2T}$La igualdad se cumple solo si el polígono es un paralelogramo . ^{[ 66 ]}

El círculo circunscrito tangente a un triángulo y la circunelipse de Steiner

El triángulo tangente de un triángulo de referencia (que no sea un triángulo rectángulo) es el triángulo cuyos lados están sobre las líneas tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia en sus vértices. ^{[ 67 ]}

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene una circunferencia circunscrita única, una circunferencia que pasa por sus tres vértices y cuyo centro es la intersección de las mediatrices de sus lados. Además, cada triángulo tiene una elipse circunscrita única , que pasa por sus vértices y cuyo centro se encuentra en su centroide. De todas las elipses que pasan por sus vértices, esta tiene la menor área. ^{[ 68 ]}

La hipérbola de Kiepert es una cónica única que pasa por los tres vértices del triángulo, su centroide y su circuncentro. ^{[ 69 ]}

De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo dado , se puede encontrar en tiempo lineal uno con área máxima; sus vértices pueden elegirse como tres de los vértices del polígono dado. ^{[ 70 ]}

Un triángulo circular es un triángulo con lados de arco circular . Los lados de un triángulo circular pueden ser convexos (curvándose hacia afuera) o cóncavos (curvándose hacia adentro). ^{[ c ]} La intersección de tres discos forma un triángulo circular cuyos lados son todos convexos. Un ejemplo de triángulo circular con tres lados convexos es un triángulo de Reuleaux , que se puede formar intersectando tres círculos de igual tamaño. La construcción se puede realizar solo con un compás, sin necesidad de una regla, según el teorema de Mohr-Mascheroni . Alternativamente, se puede construir redondeando los lados de un triángulo equilátero. ^{[ 71 ]}

Un caso especial de triángulo circular cóncavo se puede observar en un pseudotriángulo . ^{[ 72 ]} Un pseudotriángulo es un subconjunto simplemente conexo del plano que se encuentra entre tres regiones convexas mutuamente tangentes. Estos lados son tres líneas curvas suavizadas que conectan sus puntos extremos llamados puntos de cúspide . Cualquier pseudotriángulo se puede particionar en muchos pseudotriángulos con los límites de discos convexos y líneas bitangentes , un proceso conocido como pseudotriangulación. Para${\displaystyle n}$discos en un pseudotriángulo, la partición da${\displaystyle 2n-2}$pseudotriángulos y${\displaystyle 3n-3}$líneas bitangentes. ^{[ 73 ]} La envoltura convexa de cualquier pseudotriángulo es un triángulo. ^{[ 74 ]}

Triángulo hiperbólico y triángulo esférico

Un triángulo no plano es un triángulo que no está incrustado en un espacio euclidiano , es decir, en términos generales, un espacio plano. Esto significa que también se pueden encontrar triángulos en diversos espacios, como el espacio hiperbólico y la geometría esférica . Un triángulo en el espacio hiperbólico se denomina triángulo hiperbólico y se obtiene dibujándolo sobre una superficie de curvatura negativa, como una superficie de silla de montar . Del mismo modo, un triángulo en la geometría esférica se denomina triángulo esférico y se obtiene dibujándolo sobre una superficie de curvatura positiva, como una esfera . ^{[ 75 ]}

Los triángulos en ambos espacios tienen propiedades diferentes a las de los triángulos en el espacio euclidiano. Por ejemplo, como se mencionó anteriormente, la suma de los ángulos internos de un triángulo en el espacio euclidiano siempre es 180°. Sin embargo, la suma de los ángulos internos de un triángulo hiperbólico es menor que 180°, y para cualquier triángulo esférico, la suma es mayor que 180°. ^{[ 75 ]} En particular, es posible dibujar un triángulo en una esfera de tal manera que la medida de cada uno de sus ángulos internos sea igual a 90°, sumando un total de 270°. Según el teorema de Girard , la suma de los ángulos de un triángulo en una esfera es${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$, dónde${\displaystyle f}$es la fracción del área de la esfera encerrada por el triángulo. ^{[ 76 ] [ 77 ]}

En espacios más generales, existen teoremas de comparación que relacionan las propiedades de un triángulo en el espacio con las propiedades de un triángulo correspondiente en un espacio modelo como el hiperbólico o elíptico. ^{[ 78 ]} Por ejemplo, un espacio CAT(k) se caracteriza por tales comparaciones. ^{[ 79 ]}

Las formas fractales basadas en triángulos incluyen la junta de Sierpiński y el copo de nieve de Koch . ^{[ 80 ]}