Onda triangular

Una onda triangular de período p que abarca el intervalo [0,  1] se define como $${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$ dónde${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$es la función piso . Esto puede verse como el valor absoluto de una onda de diente de sierra desplazada .

Para una onda triangular que abarca el rango [ −1,  1 ] la expresión se convierte en $${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

Una ecuación más general para una onda triangular con amplitud${\displaystyle a}$y período${\displaystyle p}$utilizando la operación módulo y el valor absoluto es $${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

Por ejemplo, para una onda triangular con amplitud 5 y período 4: $${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

Se puede obtener un cambio de fase alterando el valor de la${\displaystyle -p/4}$término, y el desplazamiento vertical se puede ajustar alterando el valor de la${\displaystyle -a}$término.

Dado que solo utiliza la operación de módulo y el valor absoluto, puede emplearse para implementar fácilmente una onda triangular en dispositivos electrónicos de hardware.

Tenga en cuenta que en muchos lenguajes de programación, el %operador es un operador de resto (con resultado del mismo signo que el dividendo), no un operador de módulo ; la operación de módulo se puede obtener utilizando en lugar de . Por ejemplo, en JavaScript, esto da como resultado una ecuación de la forma .((x % p) + p) % px % p4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a

La onda triangular también puede expresarse como la integral de la onda cuadrada : $${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi u}{p}}\right)\,du.}$$

Una onda triangular con período p y amplitud a se puede expresar en términos de seno y arcoseno (cuyo valor varía de − π /2 a π /2): $${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$ La identidad${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$Se puede utilizar para convertir una onda triangular "seno" en una onda triangular "coseno". Esta onda triangular con desfase también se puede expresar con coseno y arcocoseno : $${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

Otra definición de la onda triangular, con un rango de −1 a 1 y un período p , es $${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

Es posible aproximar una onda triangular con síntesis aditiva sumando los armónicos impares de la fundamental mientras se multiplica cada armónico impar por −1 (o, equivalentemente, cambiando su fase por π ) y dividiendo la amplitud de los armónicos por el cuadrado de su número de modo, n (que es equivalente a su frecuencia relativa a la fundamental ).

Lo anterior se puede resumir matemáticamente de la siguiente manera: $${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(-1)^{i}}{n^{2}}}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$ donde N es el número de armónicos a incluir en la aproximación, t es la variable independiente (por ejemplo, el tiempo para las ondas sonoras),${\displaystyle f_{0}}$es la frecuencia fundamental, e i es la etiqueta armónica que está relacionada con su número de modo por${\displaystyle n=2i+1}$.

Esta serie de Fourier infinita converge rápidamente a la onda triangular a medida que N tiende a infinito, como se muestra en la animación.