Matriz triangular

En matemáticas e informática, una matriz triangular de números, polinomios o similares es una secuencia doblemente indexada en la que cada fila tiene la longitud de su propio índice. Es decir, la i- ésima fila contiene solo i elementos.

Algunos ejemplos particulares destacables son los siguientes:

• El triángulo de Bell , cuyos números cuentan las particiones de un conjunto en las que un elemento dado es el singleton más grande ^{[ 1 ]}
• Triángulo de Catalan , que cuenta cadenas de paréntesis coincidentes ^{[ 2 ]}
• Triángulo de Euler , que cuenta permutaciones con un número dado de ascensos ^{[ 3 ]}
• Triángulo de Floyd , cuyas entradas son todos los enteros en orden ^{[ 4 ]}
• Triángulo de Hosoya , basado en los números de Fibonacci ^{[ 5 ]}
• Triángulo de Lozanić , utilizado en las matemáticas de los compuestos químicos ^{[ 6 ]}
• Triángulo de Narayana , conteo de cadenas de paréntesis balanceados con un número dado de anidamientos distintos ^{[ 7 ]}
• Triángulo de Pascal , cuyas entradas son los coeficientes binomiales ^{[ 8 ]}
• Triángulo de Clark ^{[ 9 ]}

Las matrices triangulares de enteros en las que cada fila es simétrica y comienza y termina con 1 se denominan a veces triángulos de Pascal generalizados ; ejemplos de ello son el triángulo de Pascal, los números de Narayana y el triángulo de números eulerianos. ^{[ 10 ]}

Las matrices triangulares pueden contener valores matemáticos distintos de los números; por ejemplo, los polinomios de Bell forman una matriz triangular en la que cada elemento de la matriz es un polinomio. ^{[ 11 ]}

También se han considerado matrices en las que la longitud de cada fila crece como una función lineal del número de fila (en lugar de ser igual al número de fila). ^{[ 12 ]}

El método de Romberg se puede utilizar para estimar el valor de una integral definida completando los valores en un triángulo de números. ^{[ 13 ]}

La transformada de Boustrophedon utiliza una matriz triangular para transformar una secuencia de enteros en otra. ^{[ 14 ]}

En general, se utiliza una matriz triangular para almacenar cualquier tabla indexada por dos números naturales donde j ≤ i .

Almacenar una matriz triangular en una computadora requiere una asignación de las coordenadas bidimensionales ( i , j ) a una dirección de memoria lineal . Si se van a almacenar dos matrices triangulares del mismo tamaño (como en la descomposición LU ), se pueden combinar en una matriz rectangular estándar . Si solo hay una matriz, o si se debe agregar fácilmente, la matriz se puede almacenar donde la fila i comienza en el i -ésimo número triangular T _i . Al igual que con una matriz rectangular, se requiere una multiplicación para encontrar el inicio de la fila, pero esta multiplicación es de dos variables ( ), por lo que algunas optimizaciones, como el uso de una secuencia de desplazamientos y sumas, no están disponibles. i*(i+1)/2

• Número triangular , el número de entradas en dicha matriz hasta una fila en particular.

• Weisstein, Eric W. , "Triángulo numérico" , MathWorld