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Desigualdad triangular

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Tres ejemplos de la desigualdad triangular para triángulos con lados de longitudes x , y , z . El ejemplo superior muestra un caso en el que z es mucho menor que la suma x + y de los otros dos lados, y el ejemplo inferior muestra un caso en el que el lado z es solo ligeramente menor que x + y .

En matemáticas , la desigualdad triangular establece que para cualquier triángulo , la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor o igual que la longitud del lado restante. [ 1 ] [ 2 ] Esta afirmación permite la inclusión de triángulos degenerados , pero algunos autores, especialmente aquellos que escriben sobre geometría elemental, excluyen esta posibilidad, dejando así fuera la posibilidad de igualdad. [ 3 ] Si a , b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces la desigualdad triangular establece que

do≤a+b,{\displaystyle c\leq a+b,}

con igualdad únicamente en el caso degenerado de un triángulo con área cero.

En la geometría euclidiana y algunas otras geometrías, la desigualdad triangular es un teorema sobre vectores y longitudes de vectores ( normas ):

‖tú+v‖≤‖tú‖+‖v‖,{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}

donde la longitud del tercer lado ha sido reemplazada por la longitud de la suma vectorial u + v . Cuando u y v son números reales , pueden verse como vectores enR1{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}y la desigualdad triangular expresa una relación entre valores absolutos .

En geometría euclidiana, para triángulos rectángulos la desigualdad triangular es una consecuencia del teorema de Pitágoras , y para triángulos generales, una consecuencia de la ley de los cosenos , aunque puede demostrarse sin estos teoremas. La desigualdad puede verse intuitivamente en ambosR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}oR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}La figura de la derecha muestra tres ejemplos que comienzan con una clara desigualdad (arriba) y se aproximan a la igualdad (abajo). En el caso euclidiano, la igualdad se da solo si el triángulo tiene un ángulo de 180° y dos ángulos de 0° , lo que hace que los tres vértices sean colineales , como se muestra en el ejemplo inferior. Por lo tanto, en geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

En geometría esférica , la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo , pero la desigualdad triangular se mantiene siempre que se imponga la restricción de que la distancia entre dos puntos en una esfera sea la longitud de un segmento de línea esférica menor (es decir, uno con ángulo central en [ 0, π ] ) con esos extremos. [ 4 ] [ 5 ]

La desigualdad triangular es una propiedad definitoria de las normas y medidas de distancia . Esta propiedad debe establecerse como un teorema para cualquier función propuesta para tales propósitos para cada espacio particular: por ejemplo, espacios como los números reales , los espacios euclidianos , los espacios L p ( p ≥ 1 ) y los espacios con producto interno .

Geometría euclidiana

Construcción de Euclides para la demostración de la desigualdad triangular en geometría plana.

El teorema de la desigualdad triangular se enuncia en los Elementos de Euclides , Libro I, Proposición 20:

[…] en el triángulo ABC la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el lado restante, es decir, la suma de BA y AC es mayor que BC, la suma de AB y BC es mayor que AC, y la suma de BC y CA es mayor que AB. [ 6 ]

Euclides demostró la desigualdad triangular para distancias en geometría plana utilizando la construcción de la figura. [ 7 ] Partiendo del triángulo ABC , se construye un triángulo isósceles tomando un lado como BC y el otro cateto igual BD a lo largo de la prolongación del lado AB . Luego se argumenta que el ángulo β tiene mayor medida que el ángulo α , por lo que el lado AD es más largo que el lado AC . Sin embargo:

AD¯=AB¯+BD¯=AB¯+Bdo¯,{\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},}

Por lo tanto, la suma de las longitudes de los lados AB y BC es mayor que la longitud de AC . Esta demostración aparece en los Elementos de Euclides , Libro I, Proposición 20. [ 6 ]

Expresión matemática de la restricción sobre los lados de un triángulo.

Para un triángulo propio, la desigualdad triangular, tal como se enuncia en palabras, se traduce literalmente en tres desigualdades (dado que un triángulo propio tiene lados de longitudes a , b , c que son todos positivos y excluye el caso degenerado de área cero):

a+b>do,b+do>a,do+a>b.{\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.}

Se puede demostrar que una forma más sucinta de este sistema de desigualdad es:

|a−b|<do<a+b.{\displaystyle |ab|<c<a+b.}

Otra forma de decirlo es

máximo(a,b,do)<a+b+do−máximo(a,b,do){\displaystyle \max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)}

reticente

2máximo(a,b,do)<a+b+do{\displaystyle 2\max(a,b,c)<a+b+c}

y por lo tanto que la longitud del lado más largo es menor que el semiperímetro .

Una formulación matemáticamente equivalente es que el área de un triángulo con lados a , b , c debe ser un número real mayor que cero. La fórmula de Herón para el área es:

4⋅área=(a+b+do)(−a+b+do)(a−b+do)(a+b−do)=−a4−b4−do4+2a2b2+2a2do2+2b2do2.{\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{área}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}}

En términos de cualquiera de las expresiones de área, la desigualdad triangular impuesta en todos los lados es equivalente a la condición de que la expresión bajo el signo de raíz cuadrada sea real y mayor que cero (por lo que la expresión de área es real y mayor que cero).

La desigualdad triangular proporciona dos restricciones más interesantes para triángulos cuyos lados son a , b , c , donde a ≥ b ≥ c yϕ{\displaystyle \phi }es la proporción áurea , como

1<a+dob<3{\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}<3}
1≤min(ab,bdo)<ϕ.{\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .}[ 8 ]

Triángulo rectángulo

Triángulo isósceles con lados iguales AB = AC dividido en dos triángulos rectángulos por una altura trazada desde uno de los dos ángulos de la base.

En el caso de los triángulos rectángulos, la desigualdad triangular se especializa en la afirmación de que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los dos catetos y menor que su suma. [ 9 ]

La segunda parte de este teorema ya se ha establecido anteriormente para cualquier lado de cualquier triángulo. La primera parte se establece utilizando la figura inferior. En la figura, consideremos el triángulo rectángulo ADC . Se construye un triángulo isósceles ABC con lados iguales AB = AC . Según el postulado del triángulo , los ángulos del triángulo rectángulo ADC satisfacen:

α+γ=π/2 .{\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .}

Asimismo, en el triángulo isósceles ABC , los ángulos satisfacen:

2β+γ=π .{\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .}

Por lo tanto,

α=π/2−γ, whilmi β=π/2−γ/2 ,{\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,}

y así, en particular,

α<β .{\displaystyle \alpha <\beta \ .}

Eso significa que el lado AD , que es opuesto al ángulo α , es más corto que el lado AB , que es opuesto al ángulo mayor β . Pero AB = AC . Por lo tanto:

Ado¯>AD¯ .{\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .}

Una construcción similar muestra que CA > CC , estableciendo así el teorema.

Una prueba alternativa (también basada en el postulado del triángulo) procede considerando tres posiciones para el punto B : [ 10 ] (i) como se muestra (lo cual se debe probar), o (ii) B coincidente con D (lo que significaría que el triángulo isósceles tendría dos ángulos rectos como ángulos de la base más el ángulo del vértice γ , lo que violaría el postulado del triángulo ), o por último, (iii) B interior al triángulo rectángulo entre los puntos A y D (en cuyo caso el ángulo ABC es un ángulo exterior de un triángulo rectángulo BDC y por lo tanto mayor que π /2 , lo que significa que el otro ángulo de la base del triángulo isósceles también es mayor que π /2 y su suma excede π en violación del postulado del triángulo).

Este teorema que establece desigualdades se perfecciona con el teorema de Pitágoras, que establece la igualdad de que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.

Ejemplos de uso

Consideremos un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética y sean los lados a , a + d , a + 2d . Entonces la desigualdad triangular requiere que

0<a<2a+3d,0<a+d<2a+2d,0<a+2d<2a+d.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}}

Satisfacer todas estas desigualdades requiere

a>0 y −a3<d<a.{\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.}[ 11 ]

Cuando se elige d de tal manera que d = a /3 , se genera un triángulo rectángulo que siempre es similar a la terna pitagórica con lados 3 , 4 , 5 .

Ahora consideremos un triángulo cuyos lados están en progresión geométrica y sean los lados a , ar , ar² . Entonces la desigualdad triangular requiere que

0<a<ar+ar2,0<ar<a+ar2,0<ar2<a+ar.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}}

La primera desigualdad requiere a > 0 ; por lo tanto, se puede dividir y eliminar. Con a > 0 , la desigualdad del medio solo requiere r > 0. Esto deja ahora la primera y la tercera desigualdades que deben satisfacer

r2+r−1>0r2−r−1<0.{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}}

La primera de estas desigualdades cuadráticas requiere que r varíe en la región más allá del valor de la raíz positiva de la ecuación cuadrática r² + r − 1 = 0 , es decir, r > φ − 1, donde φ es la razón áurea . La segunda desigualdad cuadrática requiere que r varíe entre 0 y la raíz positiva de la ecuación cuadrática r² − r − 1 = 0 , es decir, 0 < r < φ . Los requisitos combinados dan como resultado que r esté confinado al rango

φ−1<r<φ y a>0.{\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.}[ 12 ]

Cuando se elige la razón común r de tal manera que r = √ φ, se genera un triángulo rectángulo que siempre es similar al triángulo de Kepler .

Generalización a cualquier polígono

La desigualdad triangular puede extenderse por inducción matemática a trayectorias poligonales arbitrarias, demostrando que la longitud total de dicha trayectoria no es menor que la longitud de la línea recta que une sus extremos. Por consiguiente, la longitud de cualquier lado de un polígono siempre es menor que la suma de las longitudes de los demás lados.

Ejemplo de la desigualdad generalizada del polígono para un cuadrilátero

Consideremos un cuadrilátero cuyos lados están en progresión geométrica y sean los lados a , ar , ar₂ , ar₃ . Entonces , la desigualdad generalizada del polígono requiere que

0<a<ar+ar2+ar30<ar<a+ar2+ar30<ar2<a+ar+ar30<ar3<a+ar+ar2.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}}

Estas desigualdades para a > 0 se reducen a lo siguiente

r3+r2+r−1>0{\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0}
r3−r2−r−1<0.{\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.}[ 13 ]

Los polinomios del lado izquierdo de estas dos desigualdades tienen raíces que son la constante de Tribonacci y su recíproco. Por consiguiente, r está limitado al intervalo 1/ t < r < t, donde t es la constante de Tribonacci.

Relación con los caminos más cortos

La longitud de arco de una curva se define como el límite superior mínimo de las longitudes de las aproximaciones poligonales.

Esta generalización puede utilizarse para demostrar que la curva más corta entre dos puntos en geometría euclidiana es una línea recta.

Ningún camino poligonal entre dos puntos es más corto que la línea que los une. Esto implica que ninguna curva puede tener una longitud de arco menor que la distancia entre sus extremos. Por definición, la longitud de arco de una curva es el límite superior mínimo de las longitudes de todas las aproximaciones poligonales de la curva. El resultado para caminos poligonales muestra que la línea recta entre los extremos es la más corta de todas las aproximaciones poligonales. Dado que la longitud de arco de la curva es mayor o igual que la longitud de cada aproximación poligonal, la curva misma no puede ser más corta que el camino en línea recta. [ 14 ]

Conversar

El recíproco del teorema de la desigualdad triangular también es cierto: si tres números reales son tales que cada uno es menor que la suma de los otros, entonces existe un triángulo con esos números como longitudes de sus lados y con área positiva; y si un número es igual a la suma de los otros dos, existe un triángulo degenerado (es decir, con área cero) con esos números como longitudes de sus lados.

En ambos casos, si las longitudes de los lados son a , b y c, podemos intentar ubicar un triángulo en el plano euclidiano como se muestra en el diagrama. Necesitamos demostrar que existe un número real h compatible con los valores a , b y c , en cuyo caso dicho triángulo existe.

Triángulo con altura h que corta la base c en d + ( c − d ) .

Según el teorema de Pitágoras, tenemos b² = h² + d² y a² = h² + ( c − d ) ² según la figura de la derecha . Restando estas ecuaciones obtenemos a² − b² = c² − 2cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo :

d=−a2+b2+do22do.{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}

Para la altura del triángulo tenemos que h² = b² − d² . Sustituyendo d por la fórmula dada anteriormente, tenemos

h2=b2−(−a2+b2+do22do)2.{\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.}

Para que un número real h satisfaga esto, h² debe ser no negativo:

0≤b2−(−a2+b2+do22do)20≤(b−−a2+b2+do22do)(b+−a2+b2+do22do)0≤(a2−(b−do)2)((b+do)2−a2)0≤(a+b−do)(a−b+do)(b+do+a)(b+do−a)0≤(a+b−do)(a+do−b)(b+do−a){\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}}

lo cual se cumple si la desigualdad triangular se satisface para todos los lados. Por lo tanto, existe un número realh{\displaystyle h}coherente con los ladosa,b,do{\displaystyle a,b,c}y el triángulo existe. Si cada desigualdad triangular se cumple estrictamente ,h>0{\displaystyle h>0}y el triángulo no es degenerado (tiene área positiva); pero si una de las desigualdades se cumple con igualdad, entoncesh=0{\displaystyle h=0}, el triángulo es degenerado.

Generalización a dimensiones superiores

El área de una cara triangular de un tetraedro es menor o igual que la suma de las áreas de las otras tres caras triangulares. De forma más general, en el espacio euclidiano, el hipervolumen de una faceta (n-1) de un n-símplex es menor o igual que la suma de los hipervolúmenes de las otras n facetas. [ 15 ]

Así como la desigualdad triangular se generaliza a una desigualdad poligonal, la desigualdad para un simplex de cualquier dimensión se generaliza a un politopo de cualquier dimensión: el hipervolumen de cualquier faceta de un politopo es menor o igual que la suma de los hipervolúmenes de las facetas restantes.

En algunos casos, la desigualdad tetraédrica es más fuerte que varias aplicaciones de la desigualdad triangular. Por ejemplo, la desigualdad triangular parece permitir la posibilidad de cuatro puntos A , B , C y Z en el espacio euclidiano tales que las distancias

AB = BC = CA = 26

y

AZ = BZ = CZ = 14 .

Sin embargo, no pueden existir puntos con tales distancias: el área del triángulo equilátero ABC de 26–26–26 es1693{\textstyle 169{\sqrt {3}}}, que es mayor que tres veces393{\textstyle 39{\sqrt {3}}}, el área de un triángulo isósceles 26-14-14 (todo según la fórmula de Herón ), y por lo tanto la disposición está prohibida por la desigualdad tetraédrica.

Espacio vectorial normalizado

Desigualdad triangular para normas de vectores.

En un espacio vectorial normado V , una de las propiedades que definen la norma es la desigualdad triangular:

‖tú+v‖≤‖tú‖+‖v‖∀tú,v∈V{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|\quad \forall \,\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}

Es decir, la norma de la suma de dos vectores es como máximo igual a la suma de las normas de los dos vectores. Esto también se conoce como subaditividad . Para que cualquier función propuesta se comporte como una norma, debe satisfacer este requisito. [ 16 ]

Igualdad triangular

Si el espacio normado es euclidiano , o, más generalmente, estrictamente convexo , entonces la igualdad triangular‖tú+v‖=‖tú‖+‖v‖{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|} se cumple si y solo si el triángulo formado por u , v y u + v es degenerado; es decir, u y v están en el mismo rayo, es decir, u = 0 o v = 0 o u = α v para algún α > 0. [ 17 ]

Esta propiedad caracteriza los espacios normados estrictamente convexos, como los espacios ℓ p con 1 < p < ∞ . Sin embargo, existen espacios normados en los que esto no es cierto. Por ejemplo, consideremos el plano con la norma ℓ 1 (la distancia de Manhattan ) y denotemos u = (1, 0) y v = (0, 1) . Entonces, el triángulo formado por u , v , y u + v , es no degenerado pero

‖tú+v‖=‖(1,1)‖=|1|+|1|=2=‖tú‖+‖v‖.{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}

Normas de ejemplo

El valor absoluto es una norma para la recta real ; como se requiere, el valor absoluto satisface la desigualdad triangular para cualesquiera números reales u y v .

  • Si u y v tienen el mismo signo o alguno de ellos es cero, entonces|tú+v|=|tú|+|v|.{\displaystyle |u+v|=|u|+|v|.}
  • Si u y v tienen signos opuestos, entonces sin pérdida de generalidad supongamos|tú|>|v|.{\displaystyle |u|>|v|.}Entonces|tú+v|=|tú|−|v|<|tú|+|v|.{\displaystyle |u+v|=|u|-|v|<|u|+|v|.}

Combinando estos casos: [ 18 ]

|tú+v|≤|tú|+|v|.{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}

La desigualdad triangular es útil en el análisis matemático para determinar la mejor estimación superior del tamaño de la suma de dos números, en términos de los tamaños de los números individuales. También hay una estimación inferior, que se puede encontrar utilizando la desigualdad triangular inversa que establece que para cualesquiera números reales u y v , |tú−v|≥||tú|−|v||.{\displaystyle |u-v|\geq {\bigl |}|u|-|v|{\bigr |}.}

La norma del taxi o norma 1 es una generalización del valor absoluto a dimensiones superiores. Para hallar la norma de un vectorv=(v1,v2,…vnorte),{\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}simplemente suma el valor absoluto de cada componente por separado,‖v‖1=|v1|+|v2|+⋯+|vnorte|.{\displaystyle \|v\|_{1}=|v_{1}|+|v_{2}|+\dotsb +|v_{n}|.}

La norma euclidiana o norma 2 define la longitud de los vectores de traslación en un espacio euclidiano n -dimensional en términos de un sistema de coordenadas cartesianas . Para un vectorv=(v1,v2,…vnorte),{\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}Su longitud se define utilizando el teorema de Pitágoras n -dimensional : ‖v‖2=|v1|2+|v2|2+⋯+|vnorte|2.{\displaystyle \|v\|_{2}={\sqrt {|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dotsb +|v_{n}|^{2}}}.}

El producto interno es la norma en cualquier espacio con producto interno , una generalización de los espacios vectoriales euclidianos que incluye ejemplos de dimensión infinita. La desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz de la siguiente manera: Dados los vectores u y v , y denotando el producto interno como⟨tú,v⟩{\displaystyle \langle u,v\rangle }: [ 19 ]

‖tú+v‖2=⟨tú+v,tú+v⟩=‖tú‖2+⟨tú,v⟩+⟨v,tú⟩+‖v‖2≤‖tú‖2+2|⟨tú,v⟩|+‖v‖2≤‖tú‖2+2‖tú‖‖v‖+‖v‖2(por desigualdad de Cauchy-Schwarz)=(‖tú‖+‖v‖)2{\displaystyle {\begin{aligned}\|u+v\|^{2}&=\langle u+v,u+v\rangle \\&=\|u\|^{2}+\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\|v\|^{2}\\&\leq \|u\|^{2}+2|\langle u,v\rangle |+\|v\|^{2}\\&\leq \|u\|^{2}+2\|u\|\|v\|+\|v\|^{2}\quad {\text{(by Cauchy–Schwarz inequality)}}\\&=\left(\|u\|+\|v\|\right)^{2}\end{aligned}}}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en una igualdad si y solo si u y v son linealmente dependientes. La desigualdad⟨tú,v⟩+⟨v,tú⟩≤2|⟨tú,v⟩|{\displaystyle \langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle \leq 2\left|\left\langle u,v\right\rangle \right|}Se convierte en una igualdad para vectores u y v linealmente dependientes si y solo si uno de los vectores u o v es un escalar no negativo del otro. Al tomar la raíz cuadrada del resultado final se obtiene la desigualdad triangular.

La norma p es una generalización de las normas de taxicab y euclidiana, utilizando un exponente entero positivo arbitrario, ‖v‖pag=(|v1|pag+|v2|pag+⋯+|vnorte|pag)1/pag,{\displaystyle \|v\|_{p}={\bigl (}|v_{1}|^{p}+|v_{2}|^{p}+\dotsb +|v_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p},} donde v i son los componentes del vector v .

Excepto en el caso p = 2 , la norma p no es una norma de producto interno, porque no satisface la ley del paralelogramo . La desigualdad triangular para valores generales de p se denomina desigualdad de Minkowski . [ 20 ] Tiene la siguiente forma: ‖tú+v‖pag≤‖tú‖pag+‖v‖pag .{\displaystyle \|u+v\|_{p}\leq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}\ .}

Espacio métrico

En un espacio métrico M con métrica d , la desigualdad triangular es un requisito sobre la distancia : d(A, do)≤d(A, B)+d(B, do) ,{\displaystyle d(A,\ C)\leq d(A,\ B)+d(B,\ C)\ ,}

para todos los puntos A , B y C en M. Es decir, la distancia de A a C es como máximo tan grande como la suma de la distancia de A a B y la distancia de B a C.

La desigualdad triangular es responsable de la mayor parte de la estructura interesante en un espacio métrico, a saber, la convergencia. Esto se debe a que los requisitos restantes para una métrica son bastante simples en comparación. Por ejemplo, el hecho de que cualquier sucesión convergente en un espacio métrico sea una sucesión de Cauchy es una consecuencia directa de la desigualdad triangular, porque si elegimos cualesquiera x n y x m tales que d(incógnitanorte,incógnita)<ε2,d(incógnitametro,incógnita)<ε2,{\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}},\quad d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}},} donde ε > 0 es dado y arbitrario (como en la definición de un límite en un espacio métrico), entonces por la desigualdad triangular,

d(incógnitanorte,incógnitametro)≤d(incógnitanorte,incógnita)+d(incógnitametro,incógnita)<ε2+ε2=ε,{\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,}

de modo que la secuencia { x n } es una secuencia de Cauchy, por definición.

Esta versión de la desigualdad triangular se reduce a la enunciada anteriormente en el caso de espacios vectoriales normados donde se induce una métrica mediante d(tú,v):=‖tú−v‖,{\displaystyle d(u,v):=\|u-v\|,} donde u − v es el vector que apunta del punto v al punto u .

Desigualdad triangular inversa

La desigualdad triangular inversa es una formulación alternativa equivalente de la desigualdad triangular que proporciona cotas inferiores en lugar de cotas superiores. Para geometría plana, la afirmación es: [ 21 ]

Cualquier lado de un triángulo es mayor o igual que la diferencia entre los otros dos lados .

En el caso de un espacio vectorial normado, la afirmación es: |‖tú‖−‖v‖|≤‖tú−v‖,{\displaystyle {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|,} o, para espacios métricos: |d(A,do)−d(B,do)|≤d(A,B).{\displaystyle |d(A,C)-d(B,C)|\leq d(A,B).} Esto implica que la norma‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}así como la función de distancia desde z d ( z , · ) son Lipschitz continuas con constante de Lipschitz 1 , y por lo tanto son en particular uniformemente continuas .

La demostración de la desigualdad triangular inversa a partir de la usual utiliza ‖v−tú‖=‖−1(tú−v)‖=|−1|⋅‖tú−v‖=‖tú−v‖{\displaystyle {\begin{aligned}\|v-u\|&=\|{-}1(u-v)\|\\[2pt]&=|{-}1|\cdot \|u-v\|\\[2pt]&=\|u-v\|\end{aligned}}} encontrar: ‖tú‖=‖(tú−v)+v‖≤‖tú−v‖+‖v‖⇒‖tú‖−‖v‖≤‖tú−v‖,‖v‖=‖(v−tú)+tú‖≤‖v−tú‖+‖tú‖⇒‖tú‖−‖v‖≥−‖tú−v‖,{\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|=\|(u-v)+v\|&\leq \|u-v\|+\|v\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\leq \|u-v\|,\\[10pt]\|v\|=\|(v-u)+u\|&\leq \|v-u\|+\|u\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\geq -\|u-v\|,\end{aligned}}}

Al combinar estas dos afirmaciones se obtiene: −‖tú−v‖≤‖tú‖−‖v‖≤‖tú−v‖⇒|‖tú‖−‖v‖|≤‖tú−v‖.{\displaystyle {\begin{aligned}&-\|u-v\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|.\end{aligned}}}

En el sentido recíproco, la demostración de la desigualdad triangular a partir de la desigualdad triangular inversa funciona en dos casos:

  • Si‖tú+v‖−‖tú‖≥0,{\displaystyle \|u+v\|-\|u\|\geq 0,}luego por la desigualdad triangular inversa,‖tú+v‖−‖tú‖=|‖tú+v‖−‖tú‖|≤‖(tú+v)−tú‖=‖v‖⇒‖tú+v‖≤‖tú‖+‖v‖{\displaystyle {\begin{aligned}&\|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|\end{aligned}}}
  • Y si‖tú+v‖−‖tú‖<0,{\displaystyle \|u+v\|-\|u\|<0,}entonces trivialmente‖tú‖+‖v‖≥‖tú‖>‖tú+v‖{\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u\|>\|u+v\|}por la no negatividad de la norma.

Por lo tanto, en ambos casos, encontramos que ‖tú‖+‖v‖≥‖tú+v‖.{\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u+v\|.}

Para espacios métricos, la demostración de la desigualdad triangular inversa se obtiene de manera similar mediante: d(A,B)+d(B,do)≥d(A,do)⇒d(A,B)≥d(A,do)−d(B,do)d(do,A)+d(A,B)≥d(do,B)⇒d(A,B)≥d(B,do)−d(A,do){\displaystyle {\begin{aligned}d(A,B)+d(B,C)&\geq d(A,C)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(A,C)-d(B,C)\\[10pt]d(C,A)+d(A,B)&\geq d(C,B)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(B,C)-d(A,C)\end{aligned}}} Al combinar estas ecuaciones, obtenemos: d(A,B)≥|d(A,do)−d(B,do)|{\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|}

Y a la inversa, partiendo de la desigualdad triangular inversa, podemos usar de nuevo dos casos:

  • Sid(A,do)−d(B,do)≥0{\displaystyle d(A,C)-d(B,C)\geq 0}, entoncesd(A,B)≥|d(A,do)−d(B,do)|=d(A,do)−d(B,do)⇒d(A,B)+d(B,do)≥d(A,do){\displaystyle {\begin{aligned}&d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\\[4pt]&\Rightarrow \quad d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\end{aligned}}}
  • Y sid(A,do)−d(B,do)<0,{\displaystyle d(A,C)-d(B,C)<0,}entoncesd(A,B)+d(B,do)≥d(B,do)>d(A,do){\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(B,C)>d(A,C)}nuevamente por la no negatividad de la métrica.

Por lo tanto, en ambos casos, encontramos que d(A,B)+d(B,do)≥d(A,do).{\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C).}

Desigualdad triangular para la semejanza del coseno

Al aplicar la función coseno a la desigualdad triangular y a la desigualdad triangular inversa para longitudes de arco y emplear las fórmulas de suma y resta de ángulos para cosenos, se deduce inmediatamente que [ 22 ]

sim⁡(tú,w)≥sim⁡(tú,v)⋅sim⁡(v,w)−(1−sim⁡(tú,v)2)⋅(1−sim⁡(v,w)2){\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\geq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}}

y

sim⁡(tú,w)≤sim⁡(tú,v)⋅sim⁡(v,w)+(1−sim⁡(tú,v)2)⋅(1−sim⁡(v,w)2).{\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\leq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}\,.}

Con estas fórmulas, es necesario calcular una raíz cuadrada para cada triplete de vectores { u , v , w } que se examina, en lugar de arccos(sim( u , v )) para cada par de vectores { u , v } examinados, y podría suponer una mejora del rendimiento cuando el número de tripletes examinados es menor que el número de pares examinados.

Inversión en el espacio de Minkowski

La métrica del espacio de Minkowskiημν{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}no es definida positiva, lo que significa que‖tú‖2=ημνtúμtúν{\displaystyle \|u\|^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }} can have either sign or vanish, even if the vector u is non-zero. Moreover, if u and v are both timelike vectors lying in the future light cone, the triangle inequality is reversed:

‖u+v‖≥‖u‖+‖v‖.{\displaystyle \|u+v\|\geq \|u\|+\|v\|.}

A physical example of this inequality is the twin paradox in special relativity. The same reversed form of the inequality holds if both vectors lie in the past light cone, and if one or both are null vectors. The result holds in n+1{\displaystyle n+1} dimensions for any n≥1{\displaystyle n\geq 1}. If the plane defined by u{\displaystyle u} and v{\displaystyle v} is space-like (and therefore a Euclidean subspace) then the usual triangle inequality holds.

See also

Notes

  1. ↑Wolfram MathWorld – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html
  2. ↑Mohamed A. Khamsi; William A. Kirk (2001). "§1.4 The triangle inequality in Rn". An introduction to metric spaces and fixed point theory. Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.
  3. ↑for instance, Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman & Co., p. 246, ISBN 0-7167-0456-0
  4. ↑Oliver Brock; Jeff Trinkle; Fabio Ramos (2009). Robotics: Science and Systems IV. MIT Press. p. 195. ISBN 978-0-262-51309-8.
  5. ↑Arlan Ramsay; Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to hyperbolic geometry. Springer. p. 17. ISBN 0-387-94339-0.
  6. 12David E. Joyce (1997). "Euclid's Elements, Book I, Proposition 20". Euclid's Elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. Retrieved 2010-06-25.
  7. ↑Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd ed.). Macmillan. p. 201. ISBN 0-7167-4361-2.
  8. ↑American Mathematical Monthly, pp. 49-50, 1954.
  9. ↑Claude Irwin Palmer (1919). Practical mathematics for home study: being the essentials of arithmetic, geometry, algebra and trigonometry. McGraw-Hill. p. 422.
  10. ↑Alexander Zawaira; Gavin Hitchcock (2009). "Lemma 1: In a right-angled triangle the hypotenuse is greater than either of the other two sides". A primer for mathematics competitions. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-953988-8.
  11. ↑ Wolfram|Alpha. "entrada: resolver 0<a<2a+3d, 0<a+d<2a+2d, 0<a+2d<2a+d, " . Wolfram Research . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .
  12. ↑ Wolfram|Alpha. "entrada: resolver 0<a<ar+ar 2 , 0<ar<a+ar 2 , 0<ar 2 <a+ar " . Wolfram Research . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .
  13. ↑ Wolfram|Alpha. "entrada: resolver 0<a<ar+ar 2 +ar 3 , 0<ar 3 <a+ar+ar 2 " . Wolfram Research . Consultado el 29-07-2012 .
  14. ↑ John Stillwell (1997). Números y geometría . Springer. ISBN 978-0-387-98289-2.pág. 95.
  15. ↑ Izumi, Shuzo (2016). "Suficiencia de las desigualdades simplex" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 144 (3): 1299– 1307. doi : 10.1090/proc12756 . ISSN 0002-9939 . 
  16. ↑ Rainer Kress (1988). "§3.1: Espacios normados" . Análisis numérico . Springer. pág. 26. ISBN  0-387-98408-9.
  17. ↑ "Sobre la igualdad triangular - Grzegorz Łysik" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 21 de julio de 2018.
  18. ↑ Una demostración que no requiere casos separados es la siguiente: Cualquier número es siempre menor o igual que su propio valor absoluto, por lo tanto,−|tú|≤tú≤|tú|{\displaystyle -|u|\leq u\leq |u|}y−|v|≤v≤|v|.{\displaystyle -|v|\leq v\leq |v|.}Sumando estas desigualdades,−(|tú|+|v|)≤tú+v≤|tú|+|v|,{\displaystyle -{\bigl (}|u|+|v|{\bigr )}\leq u+v\leq |u|+|v|,}La suma tiene la forma−a≤b≤a{\displaystyle -a\leq b\leq a}paraa=|tú|+|v|{\displaystyle a=|u|+|v|}yb=tú+v.{\displaystyle b=u+v.}Pero esto siempre implica|b|≤a{\displaystyle |b|\leq a}, o, ampliado,|tú+v|≤|tú|+|v|.{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}
    James Stewart (2008). Cálculo esencial . Thomson Brooks/Cole. pág.  A10. ISBN 978-0-495-10860-3.
  19. ↑ John Stillwell (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Springer. pág . 80. ISBN  0-387-25530-3.
  20. ↑ Karen Saxe (2002). Introducción al análisis funcional . Springer. pág. 61. ISBN  0-387-95224-1.
  21. ↑ Anónimo (1854). «Ejercicio I a la proposición XIX» . El educador popular; cuarto volumen . Ludgate Hill, Londres: John Cassell. pág. 196. 
  22. ↑ Schubert, Erich (2021). Una desigualdad triangular para la similitud del coseno . Conferencia internacional sobre búsqueda de similitud y aplicaciones. Dortmund: Springer. arXiv : 2107.04071 . doi : 10.1007/978-3-030-89657-7_3 .

Referencias