número triangular cuadrado

En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número triangular cuadrado ) es un número que es a la vez un número triangular y un número cuadrado , en otras palabras, la suma de todos los enteros desde${\displaystyle 1}$a${\displaystyle n}$tiene una raíz cuadrada que es un número entero. Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:

Escribir${\displaystyle N_{k}}$para el${\displaystyle k}$el número triangular cuadrado, y escribe${\displaystyle s_{k}}$y${\displaystyle t_{k}}$para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Define la raíz triangular de un número triangular.${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ser${\displaystyle n}$. En forma de ecuación cuadrática,${\displaystyle n^{2}+n-2N=0}$. A partir de la fórmula cuadrática,

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Por lo tanto,${\displaystyle N}$es triangular (${\displaystyle n}$es un número entero) si y solo si${\displaystyle 8N+1}$es cuadrado. Por consiguiente, un número cuadrado${\displaystyle M^{2}}$también es triangular si y solo si${\displaystyle 8M^{2}+1}$es cuadrado, es decir, hay números${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$Este es un ejemplo de la ecuación de Pell .${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$con${\displaystyle n=8}$Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial.${\displaystyle x=1,y=0}$para cualquier${\displaystyle n}$; esta se denomina solución cero y se indexa como${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$. Si${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$denota el${\displaystyle k}$la solución no trivial a cualquier ecuación de Pell para un caso particular${\displaystyle n}$, se puede demostrar mediante el método de descenso que la siguiente solución es

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, existen infinitas soluciones para cualquier ecuación de Pell para la cual existe una solución no trivial, lo cual es cierto siempre que${\displaystyle n}$no es un cuadrado. La primera solución no trivial cuando${\displaystyle n=8}$es fácil de encontrar: es${\displaystyle (3,1)}$Una solución${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$a la ecuación de Pell para${\displaystyle n=8}$produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares de la siguiente manera:

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de${\displaystyle (3,1)}$, es${\displaystyle 1}$y el siguiente, derivado de${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)=(17,6)}$, es${\displaystyle 36}$.

Las secuencias${\displaystyle N_{k}}$,${\displaystyle s_{k}}$y${\displaystyle t_{k}}$son las secuencias OEIS OEIS : A001110  , OEIS : A001109  y OEIS : A001108  respectivamente.

En 1778, Leonhard Euler determinó la fórmula explícita ^{[ 1 ] [ 2 ] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden resultar convenientes incluyen:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Las fórmulas explícitas correspondientes para${\displaystyle s_{k}}$y${\displaystyle t_{k}}$son: ^{[ 2 ] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

La solución de la ecuación de Pell puede expresarse como una relación de recurrencia para las soluciones de la ecuación. Esto puede traducirse en ecuaciones de recurrencia que expresan directamente los números triangulares cuadrados, así como los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos ^{[ 3 ] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Tenemos ^{[ 1 ] [ 2 ] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma${\displaystyle b^{2}c^{2}}$, dónde${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$es una convergencia a la expansión fraccionaria continua de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, la raíz cuadrada de 2 . ^{[ 4 ]}

AV Sylwester dio una breve demostración de que existen infinitos números triangulares cuadrados: Si el${\displaystyle n}$número triangular${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$Si es cuadrado, entonces también lo es el más grande.${\displaystyle 4n(n+1)}$el enésimo número triangular, ya que:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación tiene la forma de un número triangular, y como producto de tres cuadrados, el lado derecho es un cuadrado. ^{[ 5 ]}

La función generadora para los números triangulares cuadrados es: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

• Problema de la bala de cañón , sobre números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados.
• Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos.

• Números triangulares que también son cuadrados en el punto de corte del nudo.
• Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado" . MathWorld .
• La solución de Michael Dummett