Generalizaciones de los números de Fibonacci

Una variación de la secuencia numérica de Fibonacci es la secuencia numérica de Tribonacci , donde cada número es la suma de los tres números anteriores. Comenzando con los valores iniciales${\displaystyle T_{0}=T_{1}=0}$, y${\displaystyle T_{2}=1}$, la recurrencia $${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},\qquad \qquad (1)}$$ da esta secuencia de números como $${\displaystyle 0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,\ldots .}$$ Se pueden encontrar otros términos bajo el número de secuencia A000073 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros ( OEIS ).

La secuencia de Tribonacci tiene una larga e interesante historia. ^{[ 7 ]} La aparición histórica más notable de la secuencia está relacionada con Charles Darwin (1809–1882) y su libro fundamental El origen de las especies , donde la procreación y el crecimiento poblacional de los elefantes se consideran un ejemplo ilustrativo. ^{[ 8 ]} En 1892, la secuencia de números apareció en la solución de un problema recreativo, relativo a un granjero y la cría de ovejas, que fue planteado por el matemático estadounidense Artemas Martin (1835–1918). ^{[ 9 ] : 107–108} El primer tratamiento matemático de la secuencia de Tribonacci y una investigación de sus propiedades se realizó en 1914 y se debe a Agronomof. ^{[ 10 ]} El apodo tribonacci apareció mucho más tarde, no hasta 1963, y se debe a Mark Feinberg, por aquel entonces un estudiante de secundaria de catorce años, que introdujo el término en un artículo en el Fibonacci Quarterly . ^{[ 11 ]}

La identidad de Agronomof. La nota de Agronomof de 1914 es una pequeña joya que fue ignorada, no tuvo impacto en su momento y acumuló polvo durante más de medio siglo. ^{[ 7 ] : 709-710} Aunque es una nota muy breve (la réplica moderna cabe fácilmente en una sola página ^{[ 7 ] : 719} ), contiene la poderosa identidad $${\displaystyle T_{n+k}=T_{k+1}T_{n+1}+\left(T_{k}+T_{k-1}\right)T_{n}+T_{k}T_{n-1}.\qquad \qquad (2)}$$ Nótese que la identidad de Agronomof es simétrica en${\displaystyle n}$y${\displaystyle k}$y eso, para${\displaystyle k=2}$, se recupera la recurrencia de Tribonacci original. Agronomof realizó su derivación bajo el supuesto de que ambos parámetros${\displaystyle n}$y${\displaystyle k}$son enteros no negativos. Sin embargo, se puede demostrar que la identidad es más general y que en realidad se cumple para enteros arbitrarios.${\displaystyle n}$y${\displaystyle k}$extendiendo la recurrencia definitoria (1) para incluir números de Tribonacci con índices negativos. ^{[ 7 ] : 712} Agronomof termina su nota mostrando las siguientes propiedades notables de los números de Tribonacci, $${\displaystyle T_{2n}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n-1}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.\qquad \qquad (3)}$$ Estos se derivan fácilmente de su identidad tomando${\displaystyle k=n}$y${\displaystyle k=n-1}$. A su vez, estas dos identidades pueden aprovecharse para derivar una expresión simple para la suma de los cuadrados de los números de Tribonacci. ^{[ 7 ] : Ecuación (9)}

Fórmula de reflexión. Al igual que con los números de Fibonacci, se puede aplicar la recurrencia a los números de Tribonacci en sentido inverso. Desde${\displaystyle T_{2},T_{1}}$, y${\displaystyle T_{0}}$uno puede determinar${\displaystyle T_{-1}=1}$. De${\displaystyle T_{1},T_{0}}$, y${\displaystyle T_{-1}}$uno puede determinar${\displaystyle T_{-2}=-1}$y así sucesivamente. Por lo tanto, los valores de los números de Tribonacci en índices negativos están bien definidos. Comenzando con${\displaystyle T_{0}=0}$,${\displaystyle T_{-1}=1}$, y${\displaystyle T_{-2}=-1}$y, al invertir la recurrencia de Tribonacci (1), se obtiene la secuencia de números de Tribonacci con índice negativo como $${\displaystyle 0,1,-1,0,2,-3,1,4,-8,5,7,-20,18,9,-47,56,0,-103,159,-56,-206,421,-271,-356,1048,\ldots .}$$ Se pueden encontrar otros términos bajo el número de secuencia A057597 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros ( OEIS ). La extensión a índices negativos significa que se puede ver la secuencia de Tribonacci como una secuencia doblemente infinita: $${\displaystyle \ldots ,-47,9,18,-20,7,5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,\mathbf {0} ,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,\ldots }$$ donde el valor en el índice cero se muestra en negrita. Recorriendo la secuencia de izquierda a derecha, se utiliza la recurrencia (1). Recorriendo la secuencia de derecha a izquierda, se utiliza la recurrencia ${\displaystyle T_{n}=T_{n+3}-T_{n+2}-T_{n+1}}$La relación entre los segmentos indexados negativos y positivos de la secuencia de Tribonacci viene dada por $${\displaystyle T_{-n}=T_{n+1}^{2}-T_{n}T_{n+2}.\qquad \qquad (4)}$$ Esta identidad se cumple para todos los números enteros.${\displaystyle n}$y se conoce como la fórmula de reflexión para los números de Tribonacci. Se puede derivar utilizando la identidad de Agronomof. ^{[ 7 ] : 714}

La constante de Tribonacci es la razón límite entre números de Tribonacci consecutivos. Se suele denotar como ⁠${\displaystyle \tau }$y es particularmente importante en el estudio del cubo truncado .

Tres cantidades a > b > c > 0 están en la razón de Tribonacci si $${\displaystyle {\frac {a+b+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}=\tau }$$

Sustituyendo​${\displaystyle b=\tau c}$y​​${\displaystyle a=\tau b=\tau ^{2}c}$en la primera fracción da $${\displaystyle \tau ={\frac {c(\tau ^{2}+\tau +1)}{\tau ^{2}c}}.}$$De ello se deduce que la constante de Tribonacci es la única solución real de la ecuación cúbica.${\displaystyle \tau ^{3}=\tau ^{2}+\tau +1}$, aproximadamente1.839 286 755 214 161 ... (secuencia A058265 en el OEIS ) .

Expresiones de forma cerrada para ⁠${\displaystyle \tau }$Se obtienen resolviendo la ecuación cúbica deprimida .${\displaystyle y^{3}-{\tfrac {4}{3}}y-{\tfrac {38}{27}}}$⁠ , que tiene cero real ⁠${\displaystyle \tau -{\tfrac {1}{3}}}$⁠ . ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {19}{8}}\right)\right)\right).\end{aligned}}}$$

La iteración${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+x}}}$con punto fijo${\displaystyle {\frac {1}{\tau -1}}}$⁠ da como resultado la continua radicalización$${\displaystyle \tau =1+1/{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+\cdots }}}}}}}$$ Dado que la iteración se deriva de ⁠${\displaystyle 2x^{3}=2x+1}$⁠ , ^{[ 13 ]} expresiones alternativas para ⁠${\displaystyle \tau }$son​ $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {11}{3}}}\right)/4\\\tau &=1+({\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}})^{-1}\\&=1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\operatorname {sech} \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

La constante de Tribonacci se puede escribir en términos de sí misma como fracciones. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {\tau ^{2}+1}{\tau ^{2}-1}}\\\tau ^{2}&={\frac {\tau +1}{\tau -1}}\\\tau ^{3}&={\frac {\tau ^{4}+1}{2}}.\end{aligned}}}$$

De forma similar a la serie geométrica infinita$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tau ^{2}+1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-n}\\{\frac {\tau +1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-2n}\\{\frac {1}{\tau -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-3n}.\end{aligned}}}$$

Para cada número entero${\displaystyle n}$uno tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{n}&=\tau ^{n-1}+\tau ^{n-2}+\tau ^{n-3}\\&=2\tau ^{n-2}+2\tau ^{n-3}+\tau ^{n-4}\\&=3\tau ^{n-2}+\tau ^{n-4}+\tau ^{n-6}\end{aligned}}}$$ A partir de esto se puede encontrar un número infinito de relaciones adicionales. Un ejemplo notable es :${\displaystyle \tau +\tau ^{-3}=2}$.​

Patrón de fracción continua de algunas potencias bajas ^{[ 14 ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{-1}&=[0;1,1,5,4,2,305,1,8,2,...]\approx 0.5437\;({\tfrac {31}{57}})\\\tau ^{0}&=[1]\\\tau ^{1}&=[1;1,5,4,2,305,1,8,2,1,...]\approx 1.8393\;({\tfrac {103}{56}})\\\tau ^{2}&=[3;2,1,1,1,1,2,1,152,2,...]\approx 3.3830\;({\tfrac {159}{47}})\\\tau ^{3}&=[6;4,2,305,1,8,2,1,4,6,...]\approx 6.2223\;({\tfrac {56}{9}})\\\tau ^{4}&=[11;2,4,152,1,17,1,2,2,...]\approx 11.4445\;({\tfrac {103}{9}})\end{aligned}}}$$

Dejemos​${\displaystyle \tau }$y par conjugado complejo​${\displaystyle \beta }$y​​${\displaystyle \gamma }$⁠ sean las raíces del polinomio ⁠${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$con discriminante ​​${\displaystyle -44}$Los números de Tribonacci se obtienen entonces mediante la fórmula de Binet .$${\displaystyle T_{n+1}=a\tau ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ con real${\displaystyle a}$y conjugados​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle c}$las raíces de${\displaystyle 44y^{3}-2y-1=0.}$

Desde${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <{\tfrac {2}{5}}}$, el número${\displaystyle T_{n}}$es el entero más cercano a${\displaystyle \,a\,\tau ^{n-1}}$⁠ , con ⁠${\displaystyle n>0}$y coeficiente${\displaystyle a=\tau ^{2}/(\tau ^{3}+\tau +2)=}$0,336 228 116 994 941 ... ^{[ a ]} 

Las potencias de la constante de Tribonacci se pueden escribir con los números de Tribonacci como coeficientes cuadráticos.$${\displaystyle \tau ^{n}=\tau ^{2}T_{n}+\tau (T_{n-1}+T_{n-2})+T_{n-1},}$$lo cual se demuestra por inducción matemática en${\displaystyle n.}$Esta relación también se cumple para${\displaystyle n<0.}$⁠

Los números de Tribonacci se obtienen como potencias enteras .${\displaystyle n\geq 2}$de una matriz con valor propio real${\displaystyle \tau }$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+2}&T_{n+1}+T_{n}&T_{n+1}\\T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\end{pmatrix}}}$$

El rastro de​${\displaystyle Q^{n}}$⁠ da los números de Tribonacci-Lucas 3, 1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131, 241, 443, 815, 1499, 2757,... que satisfacen la misma relación de recurrencia. De diversas maneras,${\displaystyle L_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil {\text{ for }}n\geq 4.}$(secuencia A001644 en el OEIS )

Estos números de Lucas tienen la propiedad de Fermat : si p es primo,${\displaystyle L_{p}\equiv L_{1}{\bmod {p}}.}$Lo contrario no se cumple, pero el pequeño número de pseudoprimos de Tribonacci${\displaystyle \,n\mid (L_{n}-1)}$Esto hace que la secuencia sea especial. Los únicos números compuestos menores de ^10⁷ que pasan la prueba son n = 182, 25201, 233² ^, 63618, 194390, 750890, 804055, 1889041, 2487941, 3542533, 3761251, 6829689. (secuencia A371805 en la OEIS )

Otras propiedades. La primera mención implícita de la constante de Tribonacci data del siglo XI, cuando el poeta y polímata persa Omar Khayyam encontró la solución .${\displaystyle 10{\tfrac {\tau +1}{\tau }}}$del cúbico${\displaystyle x^{3}+200x=20x^{2}+2000}$al considerar la intersección de un círculo y una hipérbola rectangular . ^{[ 16 ]}

${\displaystyle W_{11}(x)=x^{3}-2x^{2}+2x-2,}$con cero real${\displaystyle \omega ={\tfrac {\tau +1}{\tau }}=\tau (\tau -1),}$es el polinomio de clase de Weber asociado con el discriminante ⁠${\displaystyle \Delta =-11}$⁠ . Las propiedades del resultado j-invariante de Klein relacionado dan como resultado una casi identidad.${\displaystyle \omega \approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24}.}$

Argumento${\displaystyle \theta =\arccos({\tfrac {1}{2}}\tau )\,}$Satisface${\displaystyle \,4\sin(3\theta )-\tan(\theta )={\sqrt {11}}}$, un resultado que está relacionado a través del parámetro de distancia${\displaystyle \,z=\tau (1-\tau )\cdot 2\cos({\tfrac {2\pi }{11}})}$a la construcción de neusis 'milagrosa' del endecágono , hallada por Benjamin y Snyder. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

El recíproco${\displaystyle {\tfrac {1}{\tau }}}$La constante de Tribonacci resuelve la ecuación.${\displaystyle \,2\arctan(x)=\arccos(x)}$. ^{[ 19 ]} El ángulo es cercano a 1 radián . Su complemento${\displaystyle \,\arccos(\tau -1)=\arcsin({\tfrac {1}{\tau }})\,}$figuras en la construcción geométrica de la constante de Tribonacci hallada por el biólogo Xerardo Neira. ^{[ 20 ]}

Los números tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, siendo cada término subsiguiente la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números tetranacci son:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208 , 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (secuencia A000078 en el OEIS )

Feinberg también acuñó el término tetranacci . ^{[ 11 ] : 73}

La constante de tetranacci es la razón hacia la cual tienden los números de tetranacci adyacentes. Es la única raíz real positiva del polinomio .${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$aproximadamente​1,927 561 975 482 925 ... (secuencia A086088 en el OEIS ) , y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-4}=2}$.​

La constante de tetranacci se puede expresar en términos de radicales mediante la siguiente expresión: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

dónde,

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

y${\displaystyle u}$es la raíz real de la ecuación cúbica${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169}$.​

Correspondientes a los números de Lucas para la secuencia de Fibonacci, si en cambio se comienza con${\displaystyle L_{0}=4}$,${\displaystyle L_{1}=1}$,${\displaystyle L_{2}=3}$, y${\displaystyle L_{3}=7}$y aplica la recursión de tetranacci entonces${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$para​${\displaystyle n\geq 6}$( secuencia A073817 en el OEIS )

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (secuencia A001591 en el OEIS )

La constante de pentanacci es la razón hacia la cual tienden los números de pentanacci adyacentes. Es la única raíz real del polinomio .${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$aproximadamente​1,965 948 236 645 485 ... (secuencia A103814 en el OEIS ) , y también satisface la ecuación${\displaystyle x+x^{-5}=2}$.​

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (secuencia A001592 en el OEIS )

La constante hexanacci es la razón hacia la cual tienden los números hexanacci adyacentes. Es la única raíz real positiva del polinomio .${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$aproximadamente​1,983 582 843 424 326 ... (secuencia A118427 en el OEIS ) , y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-6}=2}$.​

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (secuencia A122189 en el OEIS )

La constante de heptanacci es la razón hacia la cual tienden los números de heptanacci adyacentes. Es la única raíz real del polinomio .${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$aproximadamente​1.991 964 196 605 035 ... (secuencia A118428 en el OEIS ) , y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-7}=2}$.​

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (secuencia A079262 en el OEIS )

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (secuencia A104144 en el OEIS )

Una secuencia "infinacci", si se pudiera describir, después de un número infinito de ceros, produciría la secuencia

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

que son simplemente potencias de dos .

El límite de la razón de términos sucesivos de una${\displaystyle k}$La serie de Nacci tiende a una raíz de la ecuación.${\displaystyle x+x^{-k}=2}$( OEIS : A103814  , OEIS : A118427  , OEIS : A118428  ).

El límite de la razón para cualquier${\displaystyle k\geq 2}$es la única raíz positiva de la ecuación característica ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle x^{k}-\sum _{i=0}^{k-1}x^{i}=0}$.​

El caso especial${\displaystyle k=2}$es la serie tradicional de Fibonacci que produce la sección áurea${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$.​

Las fórmulas anteriores para la razón se mantienen incluso para${\displaystyle k}$-serie de nacci generada a partir de números iniciales arbitrarios. La razón se aproxima a 2 en el límite que${\displaystyle k}$aumenta hasta el infinito.

La raíz${\displaystyle x}$está en el intervalo${\displaystyle 2(1-2^{-k})<x<2}$⁠ . La raíz negativa de la ecuación característica está en el intervalo (−1, 0) cuando${\displaystyle k}$es par. Esta raíz y cada raíz compleja de la ecuación característica tienen módulo ⁠${\displaystyle 3^{-k}<}$⁠ . ^{[ 21 ]}

Una serie para la raíz positiva${\displaystyle x}$para cualquier${\displaystyle k>0}$es ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(k+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(k+1)i}}}}$.​

No existe solución de la ecuación característica en términos de radicales cuando 5 ≤ k ≤ 11. ^{[ 21 ]}

El n -ésimo elemento de la secuencia k -nacci viene dado por

${\displaystyle F_{n}^{(k)}=\left\lfloor {\frac {x^{n-1}(x-1)}{(k+1)x-2k}}\right\rceil \!,}$

dónde${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$denota la función entera más cercana y${\displaystyle x}$es el${\displaystyle k}$-constante de nacci, que es la raíz de${\displaystyle x+x^{-k}=2}$más cercano a 2.

Correspondientes a los números de Lucas para la secuencia de Fibonacci, si en cambio se comienza con${\displaystyle L_{0}=k}$y${\displaystyle L_{n}=2^{n}-1}$para​${\displaystyle 0<n<k}$y aplica el${\displaystyle k}$⁠ -nacci recursividad para calcular ⁠${\displaystyle L_{n}}$para​​${\displaystyle n\geq k}$entonces​${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$para todos los valores suficientemente grandes de ⁠${\displaystyle n}$, donde​${\displaystyle x}$es el​${\displaystyle k}$-constante de nacci. De forma equivalente, se podría empezar con${\displaystyle L_{0}=k}$y${\displaystyle L_{n}=-1}$para​${\displaystyle -k<n<0}$⁠ , y luego aplicar el ⁠${\displaystyle k}$⁠ -nacci recursividad para calcular ⁠${\displaystyle L_{n}}$para​​${\displaystyle n>0}$.​

Un problema de lanzamiento de moneda está relacionado con el${\displaystyle k}$-secuencia nacci. La probabilidad de que no${\displaystyle k}$Las colas consecutivas ocurrirán en${\displaystyle m}$lanzamientos de una moneda idealizada es${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(k)}}$⁠ . ^{[ 22 ]}