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Fractal de Rauzy

Fractal de Rauzy En matemáticas, el fractal de Rauzy es un conjunto fractal asociado con la sustitución de Tribonacci. s ( 1 ) = 12 , s ( 2 ) = 13 , s ( 3 ) = 1 . {\displays...

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Fractal de Rauzy

En matemáticas, el fractal de Rauzy es un conjunto fractal asociado con la sustitución de Tribonacci.

s(1)=12, s(2)=13, s(3)=1.{\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}

Fue estudiado en 1981 por Gérard Rauzy, [ 1 ] con la idea de generalizar las propiedades dinámicas del morfismo de Fibonacci . Ese conjunto fractal puede generalizarse a otros mapas sobre un alfabeto de 3 letras, generando otros conjuntos fractales con propiedades interesantes, como el teselado periódico del plano y la autosimilitud en tres partes homotéticas .

Definiciones

Palabra de Tribonacci

La palabra tribonacci infinita es una palabra construida aplicando iterativamente el mapa de Tribonacci o de Rauzy : s(1)=12{\displaystyle s(1)=12},s(2)=13{\displaystyle s(2)=13},s(3)=1{\displaystyle s(3)=1}. [ 2 ] [ 3 ] Es un ejemplo de palabra morfológica . A partir de 1, las palabras de Tribonacci son: [ 4 ]

  • t0=1{\displaystyle t_{0}=1}
  • t1=12{\displaystyle t_{1}=12}
  • t2=1213{\displaystyle t_{2}=1213}
  • t3=1213121{\displaystyle t_{3}=1213121}
  • t4=1213121121312{\displaystyle t_{4}=1213121121312}

Podemos demostrar que, paranorte>2{\displaystyle n>2},tnorte=tnorte−1tnorte−2tnorte−3{\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}; de ahí el nombre " Tribonacci ".

Construcción fractal

Construcción

Consideremos ahora el espacioR3{\displaystyle R^{3}}con coordenadas cartesianas (x,y,z). El fractal de Rauzy se construye de esta manera: [ 5 ]

1) Interprete la secuencia de letras de la palabra infinita de Tribonacci como una secuencia de vectores unitarios del espacio, con las siguientes reglas (1 = dirección x, 2 = dirección y, 3 = dirección z).

2) A continuación, construya una "escalera" trazando los puntos alcanzados por esta secuencia de vectores (véase la figura). Por ejemplo, los primeros puntos son:

  • 1⇒(1,0,0){\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}
  • 2⇒(1,1,0){\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}
  • 1⇒(2,1,0){\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}
  • 3⇒(2,1,1){\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}
  • 1⇒(3,1,1){\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}

etc...Cada punto puede colorearse según la letra correspondiente, para enfatizar la propiedad de autosimilitud.

3) Luego, proyecte esos puntos en el plano contractivo (plano ortogonal a la dirección principal de propagación de los puntos, ninguno de esos puntos proyectados escapa al infinito).

Propiedades

  • Puede ser recubierto por tres copias de sí mismo, con un área reducida por factores.k{\displaystyle k},k2{\displaystyle k^{2}}yk3{\displaystyle k^{3}}conk{\displaystyle k}solución dek3+k2+k−1=0{\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}:k=13(−1−217+3333+17+3333)=0,543689...{\displaystyle k={\frac {1}{3}}\left(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}\right)=0.543689...}.
  • Es estable al intercambiar las piezas. Podemos obtener el mismo conjunto cambiando la posición de las piezas.
  • Conectado y simplemente conectado. No tiene agujeros.
  • Los mosaicos recorren el plano periódicamente, mediante traslación.
  • La matriz del mapa de Tribonacci tieneincógnita3−incógnita2−incógnita−1{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}como su polinomio característico . Sus valores propios son un número real. β=1.839286...{\displaystyle \beta =1.839286...}, llamada constante de Tribonacci , un número de Pisot y dos conjugados complejosα{\displaystyle \alpha }yα¯{\displaystyle {\bar {\alpha }}}conαα¯=1/β{\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }.
  • Su límite es fractal, y la dimensión de Hausdorff de este límite es igual a 1,093364... (secuencia A272408 en el OEIS ) , la solución de2|α|3s+|α|4s=1{\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}. [ 6 ]

Variantes y generalización

Para cualquier sustitución unimodular de tipo Pisot que verifique una condición de coincidencia (aparentemente siempre verificada), se puede construir un conjunto similar llamado "fractal de Rauzy del mapa". Todos ellos presentan autosimilitud y generan, para los ejemplos que se muestran a continuación, un teselado periódico del plano.

Véase también

Referencias

  1. ^ Rauzy, Gerard (1982). "Nombres algébriques et sustituciones" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. P. (en francés). 110 : 147– 178. Zbl 0522.10032 . 
  2. ↑ Lothaire (2005) pág. 525
  3. ↑ Pytheas Fogg (2002) pág. 232
  4. ↑ Lothaire (2005) pág. 546
  5. ↑ Pytheas Fogg (2002) pág. 233
  6. ^ Messaoudi, Ali (2000). "Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (Límite del fractal de Rauzy y sistema de numeración complejo)" (PDF) . Acta Arith. (en francés). 95 (3): 195– 224. Zbl 0968.28005 . 
  • Arnoux, Pierre; Harriss, Edmund (agosto de 2014). "¿QUÉ ES... un fractal de Rauzy?" . Notices of the American Mathematical Society . 61 (7): 768– 770. doi : 10.1090/noti1144 .
  • Berthé, Valérie ; Siegel, Anne; Thuswaldner, Jörg (2010). «Sustituciones, fractales de Rauzy y teselaciones». En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  135. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 248–323 . ISBN  978-0-521-51597-9. Zbl 1247.37015 . 
  • Lothaire, M. (2005). Combinatoria aplicada a las palabras . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  105. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84802-2. SEÑOR 2165687 . Zbl 1133.68067 .  
  • Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol.  1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015 . 
  • Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy
  • Sustituciones, fractales de Rauzy y teselaciones, Anne Siegel, 2009
  • Fractales de Rauzy para automorfismos de grupo libre, 2006
  • Sustituciones de Pisot y fractales de Rauzy
  • Fractales de Rauzy
  • Vídeo de Numberphile sobre fractales de Rauzy y números de Tribonacci.