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Trigonometría

La trigonometría ( del griego antiguo τρίγωνον ( trígōnon ) ' triángulo ' y μέτρον ( métron ) ' medida ' ) [ 1 ] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones en...

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La trigonometría ( del griego antiguo τρίγωνον ( trígōnon ) ' triángulo ' y μέτρον ( métron ) ' medida ' ) [ 1 ] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos . En particular, las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las razones de las longitudes de sus lados. Este campo surgió en el mundo helenístico durante el siglo III a. C. a partir de aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos . [ 2 ] Los griegos se centraron en el cálculo de cuerdas , mientras que los matemáticos de la India crearon las primeras tablas conocidas de valores para razones trigonométricas (también llamadas funciones trigonométricas ), como el seno . [ 3 ]  

A lo largo de la historia, la trigonometría se ha aplicado en áreas como la geodesia , la topografía , la mecánica celeste y la navegación . [ 4 ]

La trigonometría es conocida por sus numerosas identidades . Estas identidades trigonométricas [ 5 ] se utilizan comúnmente para reescribir expresiones trigonométricas con el fin de simplificar una expresión, encontrar una forma más útil de una expresión o resolver una ecuación . [ 6 ]

Historia

Hiparco , a quien se le atribuye la compilación de la primera tabla trigonométrica , ha sido descrito como "el padre de la trigonometría". [ 7 ]

Los astrónomos sumerios estudiaron la medición de ángulos, utilizando la división de círculos en 360 grados. [ 8 ] Ellos, y posteriormente los babilonios , estudiaron las proporciones de los lados de triángulos semejantes y descubrieron algunas propiedades de estas proporciones, pero no las convirtieron en un método sistemático para hallar lados y ángulos de triángulos. Los antiguos nubios utilizaron un método similar. [ 9 ]

En el siglo III a. C., matemáticos helenísticos como Euclides y Arquímedes estudiaron las propiedades de las cuerdas y los ángulos inscritos en círculos, y demostraron teoremas equivalentes a fórmulas trigonométricas modernas, aunque los presentaron geométricamente en lugar de algebraicamente. En el 140 a. C., Hiparco (de Nicea , Asia Menor) dio las primeras tablas de cuerdas, análogas a las tablas modernas de valores de seno , y las usó para resolver problemas de trigonometría y trigonometría esférica . [ 10 ] En el siglo II d. C., el astrónomo greco-egipcio Ptolomeo (de Alejandría, Egipto) construyó tablas trigonométricas detalladas ( tabla de cuerdas de Ptolomeo ) en el Libro 1, capítulo 11 de su Almagesto . [ 11 ] Ptolomeo usó la longitud de la cuerda para definir sus funciones trigonométricas, una diferencia menor de la convención del seno que usamos hoy. [ 12 ] (El valor que llamamos sen(θ) se puede encontrar buscando la longitud de la cuerda para el doble del ángulo de interés (2θ) en la tabla de Ptolomeo y luego dividiendo ese valor por dos). Pasaron siglos antes de que se produjeran tablas más detalladas, y el tratado de Ptolomeo siguió utilizándose para realizar cálculos trigonométricos en astronomía durante los siguientes 1200 años en el mundo bizantino medieval , islámico y, posteriormente, en el mundo de Europa occidental.

La definición moderna del seno se atestigua por primera vez en el Surya Siddhanta , y sus propiedades fueron documentadas posteriormente en el siglo V (d. C.) por el matemático y astrónomo indio Aryabhata . [ 13 ] Estas obras griegas e indias fueron traducidas y ampliadas por matemáticos islámicos medievales . En el año 830 d. C., el matemático persa Habash al-Hasib al-Marwazi produjo la primera tabla de cotangentes. [ 14 ] [ 15 ] Para el siglo X d. C., en la obra del matemático persa Abū al-Wafā' al-Būzjānī , se utilizaron las seis funciones trigonométricas . [ 16 ] Abu al-Wafa tenía tablas de senos en incrementos de 0,25°, con una precisión de 8 decimales, y tablas precisas de valores de tangente. [ 16 ] También hizo importantes innovaciones en trigonometría esférica [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] El polímata persa Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] Fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica hasta su forma actual. [ 15 ] Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su Sobre la figura del sector , enunció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para triángulos esféricos y proporcionó demostraciones para ambas leyes. [ 23 ] El conocimiento de las funciones y métodos trigonométricos llegó a Europa Occidental a través de traducciones latinas del Almagesto griego de Ptolomeo, así como de las obras de astrónomos persas y árabes como Al Battani y Nasir al-Din al-Tusi . [ 24 ] Una de las primeras obras sobre trigonometría de un matemático del norte de Europa es De Triangulis del matemático alemán del siglo XV Regiomontanus , quien fue animado a escribir y se le proporcionó una copia del Almagesto por elEl cardenal bizantino griego Basilios Bessarion, con quien vivió durante varios años. [ 25 ] Al mismo tiempo, el cretense Jorge de Trebisonda completó otra traducción del Almagesto del griego al latín . [ 26 ] La trigonometría era todavía tan poco conocida en el norte de Europa del siglo XVI que Nicolás Copérnico dedicó dos capítulos de De revolutionibus orbium coelestium a explicar sus conceptos básicos.

Impulsada por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas geográficas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. [ 27 ] Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en usar el término, publicando su Trigonometria en 1595. [ 28 ] Gemma Frisius describió por primera vez el método de triangulación que todavía se usa hoy en día en topografía. Fue Leonhard Euler quien incorporó completamente los números complejos a la trigonometría. Las obras de los matemáticos escoceses James Gregory en el siglo XVII y Colin Maclaurin en el siglo XVIII fueron influyentes en el desarrollo de las series trigonométricas . [ 29 ] También en el siglo XVIII, Brook Taylor definió la serie general de Taylor . [ 30 ]

Relaciones trigonométricas

En este triángulo rectángulo: sen A = a / h ; cos A = b / h ; tan A = a / b .

Las razones trigonométricas son las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Estas razones dependen únicamente de un ángulo agudo del triángulo rectángulo, ya que dos triángulos rectángulos cualesquiera con el mismo ángulo agudo son semejantes . [ 31 ]

Así pues, estas razones definen funciones de este ángulo que se denominan funciones trigonométricas . Explícitamente, se definen a continuación como funciones del ángulo conocido A , donde a , b y h se refieren a las longitudes de los lados en la figura adjunta.

En las siguientes definiciones, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados en un triángulo rectángulo; es el lado más largo del triángulo y uno de los dos lados adyacentes al ángulo A. El cateto adyacente es el otro lado adyacente al ángulo A. El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo A. Los términos perpendicular y base se utilizan a veces para referirse a los lados opuesto y adyacente, respectivamente. Véase más abajo en la sección de Mnemotecnia .

  • El seno (denominado sen), se define como la razón entre el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa.
pecado⁡A=opuestohipotenusa=ah.{\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opuesto}}{\textrm {hipotenusa}}}={\frac {a}{h}}.}
  • El coseno (denotado cos), se define como la razón entre el cateto adyacente (el lado del triángulo que une el ángulo con el ángulo recto) y la hipotenusa.
porque⁡A=adyacentehipotenusa=bh.{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adyacente}}{\textrm {hipotenusa}}}={\frac {b}{h}}.}
  • Tangente (denotada como tan), definida como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
broncearse⁡A=opuestoadyacente=ab=a/hb/h=pecado⁡Aporque⁡A.{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opuesto}}{\textrm {adyacente}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}

Los recíprocos de estas razones se denominan cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot), respectivamente:

csc⁡A=1pecado⁡A=hipotenusaopuesto=ha,{\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hipotenusa}}{\textrm {opuesta}}}={\frac {h}{a}},}
segundo⁡A=1porque⁡A=hipotenusaadyacente=hb,{\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hipotenusa}}{\textrm {adyacente}}}={\frac {h}{b}},}
cuna⁡A=1broncearse⁡A=adyacenteopuesto=porque⁡Apecado⁡A=ba.{\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adyacente}}{\textrm {opuesto}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}

El coseno, la cotangente y la cosecante reciben ese nombre porque son, respectivamente, el seno, la tangente y la secante del ángulo complementario, abreviado como "co-". [ 32 ]

Con estas funciones, se pueden responder prácticamente todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios utilizando la ley de los senos y la ley de los cosenos . [ 33 ] Estas leyes se pueden utilizar para calcular los ángulos y lados restantes de cualquier triángulo tan pronto como se conozcan dos lados y su ángulo comprendido, o dos ángulos y un lado, o tres lados.

Mnemotécnica

Un uso común de las mnemotecnias es recordar hechos y relaciones en trigonometría. Por ejemplo, las razones seno , coseno y tangente en un triángulo rectángulo se pueden recordar representándolas junto con sus lados correspondientes como cadenas de letras. Por ejemplo, una mnemotecnia es SOH-CAH-TOA: [ 34 ]

Seno = Opuesto ÷ Hipotenusa​
Coseno = Cateto adyacente ÷ Hipotenusa
Tangente = Opuesto ÷ Adyacente​

Una forma de recordar las letras es pronunciarlas fonéticamente (es decir, /ˌsoʊkəˈtoʊə/ SOH - kə - TOH - ə , similar a Krakatoa ) . [ 35 ] Otro método es expandir las letras en una oración , como " Un viejo hippie pilló a otro hippie tropezando con ácido " . [ 36 ]

El círculo unitario y los valores trigonométricos comunes

Figura 1a – Seno y coseno de un ángulo θ definido mediante el círculo unitario.
Indicación del signo y la magnitud de los ángulos clave según la dirección de rotación.

Las razones trigonométricas también se pueden representar utilizando el círculo unitario , que es el círculo de radio 1 centrado en el origen en el plano. [ 37 ] En este contexto, el lado terminal de un ángulo A colocado en posición estándar intersecará el círculo unitario en un punto (x,y), dondeincógnita=porque⁡A{\displaystyle x=\cos A}yy=pecado⁡A{\displaystyle y=\sin A}. [ 37 ] Esta representación permite el cálculo de valores trigonométricos comunes, como los de la siguiente tabla: [ 38 ]

Funciones trigonométricas de variables reales o complejas

Utilizando el círculo unitario , se pueden extender las definiciones de razones trigonométricas a todos los argumentos positivos y negativos [ 39 ] (ver función trigonométrica ).

Gráficas de funciones trigonométricas

La siguiente tabla resume las propiedades de las gráficas de las seis funciones trigonométricas principales: [ 40 ] [ 41 ]

Funciones trigonométricas inversas

Debido a que las seis funciones trigonométricas principales son periódicas, no son inyectivas (o biyectivas) y, por lo tanto, no son invertibles. Sin embargo, al restringir el dominio de una función trigonométrica, se pueden hacer invertibles. [ 42 ] : 48 y ss.

Los nombres de las funciones trigonométricas inversas, junto con sus dominios y rango, se pueden encontrar en la siguiente tabla: [ 42 ] : 48 y siguientes [ 43 ] : 521 y siguientes

Representaciones de series de potencias

Cuando se consideran como funciones de una variable real, las razones trigonométricas pueden representarse mediante series de Maclaurin . Por ejemplo, el seno y el coseno tienen las siguientes representaciones [ 44 ].

pecado⁡incógnita=incógnita−incógnita33¡+incógnita55¡−incógnita77¡+⋯=∑norte=0∞(−1)norteincógnita2norte+1(2norte+1)¡porque⁡incógnita=1−incógnita22¡+incógnita44¡−incógnita66¡+⋯=∑norte=0∞(−1)norteincógnita2norte(2norte)¡{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}

Con estas definiciones se pueden definir las funciones trigonométricas para números complejos . [ 45 ] Cuando se extienden como funciones de variables reales o complejas, la siguiente fórmula se cumple para la exponencial compleja:

miincógnita+iy=miincógnita(porque⁡y+ipecado⁡y).{\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}

Esta función exponencial compleja, escrita en términos de funciones trigonométricas, es particularmente útil. [ 46 ] [ 47 ]

Cálculo de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas fueron de los primeros usos de las tablas matemáticas . [ 48 ] Dichas tablas se incorporaron a los libros de texto de matemáticas y se enseñó a los estudiantes a buscar valores y a interpolar entre los valores listados para obtener mayor precisión. [ 49 ] Las reglas de cálculo tenían escalas especiales para funciones trigonométricas. [ 50 ]

Las calculadoras científicas tienen botones para calcular las principales funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente y, a veces, cis y sus inversas). [ 51 ] La mayoría permite elegir entre diferentes métodos de medición de ángulos: grados , radianes y, a veces, gradianes . La mayoría de los lenguajes de programación informática proporcionan bibliotecas de funciones que incluyen las funciones trigonométricas. [ 52 ] La unidad de punto flotante integrada en los chips de microprocesador utilizados en la mayoría de los ordenadores personales tiene instrucciones integradas para calcular funciones trigonométricas. [ 53 ]

Otras funciones trigonométricas

Además de las seis razones enumeradas anteriormente, hay funciones trigonométricas adicionales que fueron históricamente importantes, aunque rara vez se usan hoy en día. Estas incluyen la cuerda ( crd θ = 2 sin ⁠ θ / 2 ⁠ ), el versino ( vers θ = 1 − cos θ = 2 sin 2 ⁠ θ / 2 ⁠ ) (que apareció en las tablas más antiguas [ 54 ] ), el coversino ( covers θ = 1 − sin θ = vers ⁠ π / 2 ⁠ − θ ), el haversino ( hav θ = ⁠ 1 / 2 ⁠ vers θ = sin 2 ⁠ θ / 2 ⁠ ), [ 55 ] la exsecante ( exsec θ = sec θ − 1 ). Consulte la Lista de identidades trigonométricas para obtener más información sobre las relaciones entre estas funciones.

Aplicaciones

Astronomía

Durante siglos, la trigonometría esférica se ha utilizado para localizar las posiciones solares, lunares y estelares, [ 56 ] predecir eclipses y describir las órbitas de los planetas. [ 57 ]

En la época moderna, la técnica de triangulación se utiliza en astronomía para medir la distancia a las estrellas cercanas, [ 58 ] así como en los sistemas de navegación por satélite . [ 19 ]

Los sextantes se utilizan para medir el ángulo del sol o de las estrellas con respecto al horizonte. Mediante trigonometría y un cronómetro marino , se puede determinar la posición del barco a partir de dichas mediciones.

Históricamente, la trigonometría se ha utilizado para localizar latitudes y longitudes de embarcaciones de vela, trazar rumbos y calcular distancias durante la navegación. [ 59 ]

La trigonometría todavía se utiliza en la navegación a través de medios como el Sistema de Posicionamiento Global y la inteligencia artificial para vehículos autónomos . [ 60 ]

Topografía

En topografía , la trigonometría se utiliza en el cálculo de longitudes, áreas y ángulos relativos entre objetos. [ 61 ]

A mayor escala, la trigonometría se utiliza en geografía para medir distancias entre puntos de referencia. [ 62 ]

Funciones periódicas

Funcións(incógnita){\displaystyle s(x)}(en rojo) es una suma de seis funciones seno de diferentes amplitudes y frecuencias relacionadas armónicamente. Su suma se llama serie de Fourier. La transformada de Fourier,S(F){\displaystyle S(f)}(en azul), que representa la amplitud frente a la frecuencia , revela las 6 frecuencias ( en armónicos impares ) y sus amplitudes ( 1/número impar ).

Las funciones seno y coseno son fundamentales para la teoría de las funciones periódicas , [ 63 ] como las que describen las ondas sonoras y luminosas . Fourier descubrió que toda función periódica continua podía describirse como una suma infinita de funciones trigonométricas.

Incluso las funciones no periódicas pueden representarse como una integral de senos y cosenos mediante la transformada de Fourier . Esto tiene aplicaciones en mecánica cuántica [ 64 ] y comunicaciones [ 65 ] , entre otros campos.

Óptica y acústica

La trigonometría es útil en muchas ciencias físicas , [ 66 ] incluyendo la acústica , [ 67 ] y la óptica . [ 67 ] En estas áreas, se utiliza para describir ondas sonoras y luminosas , y para resolver problemas relacionados con límites y transmisión. [ 68 ]

Otras aplicaciones

Otros campos que utilizan trigonometría o funciones trigonométricas incluyen la teoría musical , [ 69 ] la geodesia , la síntesis de audio , [ 70 ] la arquitectura , [ 71 ] la electrónica , [ 69 ] la biología , [ 72 ] las imágenes médicas ( tomografías computarizadas y ultrasonidos ), [ 73 ] la química , [ 74 ] la teoría de números (y por lo tanto la criptología ), [ 75 ] la sismología , [ 67 ] la meteorología , [ 76 ] la oceanografía , [ 77 ] la compresión de imágenes , [ 78 ] la fonética , [ 79 ] la economía , [ 80 ] la ingeniería eléctrica , la ingeniería mecánica , la ingeniería civil , [ 69 ] los gráficos por computadora , [ 81 ] la cartografía , [ 69 ] la cristalografía [ 82 ] y el desarrollo de juegos . [ 81 ]

Identidades

Triángulo con lados a , b , c y ángulos opuestos respectivamente A , B , C.

La trigonometría se ha destacado por sus numerosas identidades, es decir, ecuaciones que son verdaderas para todas las entradas posibles. [ 83 ]

Las identidades que involucran solo ángulos se conocen como identidades trigonométricas . Otras ecuaciones, conocidas como identidades triangulares , [ 84 ] relacionan tanto los lados como los ángulos de un triángulo dado.

identidades triangulares

En las siguientes identidades, A , B y C son los ángulos de un triángulo y a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo opuestos a los ángulos respectivos (como se muestra en el diagrama).

Ley de los senos

La ley de los senos (también conocida como la "regla del seno") para un triángulo arbitrario establece: [ 85 ]

apecado⁡A=bpecado⁡B=dopecado⁡do=2R=abdo2Δ,{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}

dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el área del triángulo y R es el radio del círculo circunscrito al triángulo:

R=abdo(a+b+do)(a−b+do)(a+b−do)(b+do−a).{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+bc)(b+ca)}}}.}

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos (conocida como fórmula del coseno o "regla del cos") es una extensión del teorema de Pitágoras a triángulos arbitrarios: [ 85 ]

do2=a2+b2−2abporque⁡do,{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}

o equivalentemente:

porque⁡do=a2+b2−do22ab.{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}

Ley de las tangentes

La ley de las tangentes , desarrollada por François Viète , es una alternativa a la ley de los cosenos para calcular los lados desconocidos de un triángulo, lo que facilita los cálculos al usar tablas trigonométricas. [ 86 ] Se expresa como:

a−ba+b=broncearse⁡[12(A−B)]broncearse⁡[12(A+B)]{\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(AB)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}

Área

Dados dos lados a y b y el ángulo entre los lados C , el área del triángulo viene dada por la mitad del producto de las longitudes de los dos lados y el seno del ángulo entre los dos lados: [ 85 ]

Área=Δ=12abpecado⁡do{\displaystyle {\mbox{Área}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}

Identidades trigonométricas

identidades pitagóricas

Las siguientes identidades trigonométricas están relacionadas con el teorema de Pitágoras y se cumplen para cualquier valor: [ 87 ]

pecado2⁡A+porque2⁡A=1 {\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }
broncearse2⁡A+1=segundo2⁡A {\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }
cuna2⁡A+1=csc2⁡A {\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }

La segunda y la tercera ecuación se derivan de dividir la primera ecuación porporque2⁡A{\displaystyle \cos ^{2}{A}}ypecado2⁡A{\displaystyle \sin ^{2}{A}}, respectivamente.

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler , que establece quemiiincógnita=porque⁡incógnita+ipecado⁡incógnita{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}, produce las siguientes identidades analíticas para el seno, el coseno y la tangente en términos de e y la unidad imaginaria i :

pecado⁡incógnita=miiincógnita−mi−iincógnita2i,porque⁡incógnita=miiincógnita+mi−iincógnita2,broncearse⁡incógnita=i(mi−iincógnita−miiincógnita)miiincógnita+mi−iincógnita.{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}

Otras identidades trigonométricas

Otras identidades trigonométricas de uso común incluyen las identidades de ángulo medio, las identidades de suma y diferencia de ángulos, y las identidades de producto a suma. [ 31 ]

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Khan Academy: Trigonometría, microclases gratuitas en línea
  • Trigonometría, de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, texto completo.
  • El rompecabezas trigonométrico de Benjamin Banneker en Convergence
  • Curso breve de trigonometría de Dave, impartido por David Joyce de la Universidad de Clark.
  • Trigonometría, por Michael Corral, Cubre trigonometría elemental, Distribuido bajo la Licencia de Documentación Libre de GNU
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