Número automorfo

En matemáticas , un número automorfo (a veces denominado número circular ) es un número natural en una base numérica dada.${\displaystyle b}$cuyo cuadrado "termina" en los mismos dígitos que el número mismo.

Dada una base numérica${\displaystyle b}$, un número natural${\displaystyle n}$con${\displaystyle k}$dígitos es un número automorfo si${\displaystyle n}$es un punto fijo de la función polinómica${\displaystyle f(x)=x^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$, el anillo de enteros módulo${\displaystyle b^{k}}$. Como el límite inverso de${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$es${\displaystyle \mathbb {Z} _ {b}}$, el anillo de${\displaystyle b}$Los enteros -ádicos y los números automorfos se utilizan para encontrar las representaciones numéricas de los puntos fijos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {Z} _ {b}}$.

Por ejemplo, con${\displaystyle b=10}$, hay cuatro puntos fijos 10-ádicos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$cuyos últimos 10 dígitos son:

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0000000001}$

${\displaystyle \ldots 8212890625}$(secuencia A018247 en el OEIS )

${\displaystyle \ldots 1787109376}$(secuencia A018248 en el OEIS )

Así, los números automorfos en base 10 son 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (secuencia A003226 en el OEIS ) .

Un punto fijo de${\displaystyle f(x)}$es un cero de la función${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$. En el anillo de enteros módulo${\displaystyle b}$, hay${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ceros a${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$donde la función omega prima${\displaystyle \omega (b)}$es el número de factores primos distintos en${\displaystyle b}$. Un elemento${\displaystyle x}$en${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$es un cero de${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$si y solo si${\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$o${\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$a pesar de${\displaystyle p|b}$. Dado que hay dos valores posibles en${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$y hay${\displaystyle \omega (b)}$semejante${\displaystyle p|b}$, hay${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ceros de${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$y por lo tanto hay${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$puntos fijos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Según el lema de Hensel , si hay${\displaystyle k}$ceros o puntos fijos de una función polinómica módulo${\displaystyle b}$, entonces hay${\displaystyle k}$ceros o puntos fijos correspondientes de la misma función módulo cualquier potencia de${\displaystyle b}$y esto sigue siendo cierto en el límite inverso . Por lo tanto, en cualquier base dada${\displaystyle b}$hay${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$${\displaystyle b}$Puntos fijos -ádicos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.

Como 0 siempre es un divisor de cero , 0 y 1 siempre son puntos fijos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$y 0 y 1 son números automorfos en cada base. Estas soluciones se denominan números automorfos triviales . Si${\displaystyle b}$es un poder primordial , entonces el anillo de${\displaystyle b}$Los números -ádicos no tienen divisores de cero distintos de 0, por lo que los únicos puntos fijos de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$son 0 y 1. Como resultado, los números automorfos no triviales , aquellos distintos de 0 y 1, solo existen cuando la base${\displaystyle b}$tiene al menos dos factores primos distintos.

Los números automorfos pueden extenderse a cualquier función polinómica de grado de este tipo.${\displaystyle n}$${\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$con coeficientes b -ádicos${\displaystyle a_{i}}$Estos números automorfos generalizados forman un árbol .

• Dinámica aritmética
• Número de Kaprekar
• número p -ádico
• análisis p -ádico
• Divisor de cero

• Ejemplos de números 1-automorfos en PlanetMath .

• Weisstein, Eric W. "Número automorfo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Número trimórfico" . MathWorld .