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Multiplicar un número perfecto

Demostración, con regletas de Cuisenaire , de la 2-perfección del número 6. En matemáticas , un número multiplicativamente perfecto (también llamado número multiperfecto o númer...

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Demostración, con regletas de Cuisenaire , de la 2-perfección del número 6.

En matemáticas , un número multiplicativamente perfecto (también llamado número multiperfecto o número pluperfecto ) es una generalización de un número perfecto .

Para un número natural k dado , un número n se denomina k -perfecto (o k - perfecto) si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisora ​​, σ ( n )) es igual a kn ; por lo tanto, un número es perfecto si y solo si es 2-perfecto . Un número que es k -perfecto para un k determinado se denomina número multiplicativamente perfecto. Hasta 2014, se conocían números k -perfectos para cada valor de k hasta 11. [ 1 ]

Se desconoce si existen otros números perfectos multiplicativos impares además del 1. Los primeros números perfectos multiplicativos son:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, 14182439040, 4364925090, 8589869056 ... (secuencia A007691 en el OEIS ) .

Ejemplo

La suma de los divisores de 120 es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

que es 3 × 120. Por lo tanto, 120 es un número 3-perfecto .

Números k -perfectos más pequeños conocidos

La siguiente tabla ofrece una visión general de los números k -perfectos más pequeños conocidos para k ≤ 11 (secuencia A007539 en la OEIS ) :

Propiedades

Se puede demostrar que:

  • Para un número primo dado p , si n es p -perfecto y p no divide a n , entonces pn es ( p  + 1)-perfecto . Esto implica que un entero n es un número 3-perfecto divisible por 2 pero no por 4, si y solo si n /2 es un número perfecto impar , de los cuales no se conoce ninguno.
  • Si 3 n es 4 k -perfecto y 3 no divide a n , entonces n es 3 k -perfecto .

Multiplicar números impares por números perfectos

Problema sin resolver en matemáticas
¿Existen números perfectos multiplicados por números impares?
Más problemas sin resolver en matemáticas

Se desconoce si existen otros números impares multiplicativamente perfectos distintos de 1. Sin embargo, si existe un número impar k -perfecto n donde k > 2, entonces debe satisfacer las siguientes condiciones: [ 2 ]

  • El factor primo más grande es ≥ 100129
  • El segundo factor primo más grande es ≥ 1009.
  • El tercer factor primo más grande es ≥ 101

Si existe un número triperfecto impar, debe ser mayor que 10 128 . [ 3 ]

Tóth encontró varios números que serían impares multiperfectos si uno de sus factores fuera un cuadrado. Un ejemplo es 8999757, que sería un número impar multiperfecto si solo uno de sus factores primos, 61, fuera un cuadrado. [ 4 ] Esto está estrechamente relacionado con el concepto de números de Descartes .

Límites

En notación de o minúscula , el número de números perfectos multiplicados menores que x eso(incógnitaε){\displaystyle o(x^{\varepsilon })}para todo ε > 0. [ 2 ]

El número de números k -perfectos n para n ≤ x es menor quedoincógnitado′registro⁡registro⁡registro⁡incógnita/registro⁡registro⁡incógnita{\displaystyle cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}}, donde c y c' son constantes independientes de k . [ 2 ]

Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la siguiente desigualdad es verdadera para todos los números k -perfectos n , donde k > 3.

registro⁡registro⁡norte>k⋅mi−γ{\displaystyle \log \log n>k\cdot e^{-\gamma }}

dóndeγ{\displaystyle \gamma }es la constante gamma de Euler . Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Robin .

El número de divisores τ( n ) de un número k -perfecto n , donde k > 2, satisface la desigualdad [ 5 ].

τ(norte)>mik−γ.{\displaystyle \tau (n)>e^{k-\gamma }.}

El número de factores primos distintos ω( n ) de n satisface [ 6 ]

ω(norte)≥k2−1,  si norte es extraño{\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}-1,~~{\text{si }}n{\text{ es impar}}}
ω(norte)≥k2/4,  si norte es incluso{\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}/4,~~{\text{si }}n{\text{ es par}}}

Si los factores primos distintos de n sonpag1,pag2,…,pagr{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}, entonces: [ 7 ]

r(3/2r−1)<∑i=1r1pagi<r(1−6/(kπ2)r),  si norte es incluso{\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es par}}}
r(k23r−1)<∑i=1r1pagi<r(1−8/(kπ2)r),  si norte es extraño{\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es impar}}}

Valores específicos de k

Números perfectos

Un número n con σ( n ) = 2 n es perfecto .

números triperfectos

Un número n con σ( n ) = 3n es triperfecto . Solo se conocen seis números triperfectos y se cree que estos comprenden todos los números de este tipo:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (secuencia A005820 en el OEIS )

Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto ), entonces 2 m sería 3-perfecto , ya que σ(2 m ) = σ(2)σ( m ) = 3×2 m . Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado mayor que 10 70 y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor mayor que 10 5 . [ 8 ]

Variaciones

Multiplicación unitaria de números perfectos

Se puede hacer una extensión similar para los números perfectos unitarios . Un entero positivo n se llama número perfecto multi k unitario si σ * ( n ) = kn donde σ * ( n ) es la suma de sus divisores unitarios . Un número perfecto multiplicativo unitario es un número perfecto multi k unitario para algún entero positivo k . Un número perfecto multi 2 unitario también se llama número perfecto unitario .

En el caso k > 2, aún no se conoce ningún ejemplo de un número multi k -perfecto unitario . Se sabe que si existe tal número, debe ser par y mayor que 10¹⁰² y debe tener al menos 45 factores primos impares. [ 9 ]

Los primeros números unitarios multiplicativos perfectos son:

1, 6, 60, 90, 87360 (secuencia A327158 en el OEIS )

Multiplicación biunitaria de números perfectos

Un entero positivo n se llama número perfecto multi k biunitario si σ ** ( n ) = kn donde σ ** ( n ) es la suma de sus divisores biunitarios . Un número perfecto multiplicativo biunitario es un número perfecto multi k biunitario para algún entero positivo k . [ 10 ] Un número perfecto multi 2 biunitario también se llama número perfecto biunitario , y un número perfecto multi 3 biunitario se llama número perfecto triunitario .

En 1987, Peter Hagis demostró que no existen números multiperfectos biunitarios impares distintos de 1. [ 10 ]

En 2020, Haukkanen y Sitaramaiah estudiaron números triperfectos biunitarios de la forma 2 a u donde u es impar. Resolvieron completamente los casos 1 ≤ a ≤ 6 y a = 8, y resolvieron parcialmente el caso a = 7. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

En 2024, Tomohiro Yamada demostró que 2160 es el único número triperfecto biunitario divisible por 27 = 3 3 . [ 17 ] Esto significa que Yamada encontró todos los números triperfectos biunitarios de la forma 3 a u con 3 ≤ a y u no divisible por 3.

Los primeros números perfectos multiplicativos biunitarios son:

1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (secuencia A189000 en el OEIS )

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 Flammenkamp, ​​Achim. "La página de multiplicación de números perfectos" . Consultado el 22 de enero de 2014 .
  2. ^ Sándor, Mitrinović y Crstici 2006 , pág . 105 
  3. ↑ Sorli, Ronald. "Algoritmos en el estudio de números perfectos múltiples e impares" (PDF) . Universidad Tecnológica de Sídney . Consultado el 11 de julio de 2025 .
  4. ↑ Tóth (2025)
  5. ↑ Dagal, Keneth Adrian P. (2013). "Una cota inferior para τ(n) para números k-multiperfectos". arXiv : 1309.3527 [ math.NT ].
  6. ↑ McCarthy, Paul J. (1957). "Nota sobre números perfectos y multiplicativamente perfectos" . Portugal Math . 16 : 19–21 .
  7. ↑ Bencze, Mihály (2014). "Acerca de los números k-perfectos" (PDF) . Un. Calle. Univ. Ovidio Constanza . 22 (1): 45– 50. doi : 10.2478/auom-2014-0005 .
  8. ^ Sándor, Mitrinović y Crstici 2006 , págs. 108-109 
  9. ↑ Hagis Jr., Peter (1984). "Límites inferiores para números multiperfectos unitarios" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 22 (2): 140– 143. doi : 10.1080/00150517.1984.12429905 . Consultado el 10 de julio de 2025 .
  10. 1 2 Hagis Jr., Peter (1987). "Números biunitarios amigables y multiperfectos" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 25 (2): 144– 150. doi : 10.1080/00150517.1987.12429711 . Recuperado el 10 de julio de 2025 .
  11. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2020a
  12. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2020b
  13. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2020c
  14. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2020d
  15. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2021a
  16. ↑ Haukkanen y Sitaramaiah 2021b
  17. ↑ Yamada, Tomohiro (2024). "Determinación de todos los números triperfectos biunitarios de una forma determinada". arXiv : 2406.19331 [ math.NT ].(publicado en Journal of Integer Sequences, Vol. 28 (2025), Artículo 25.4.5)

Fuentes

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  • Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
  • Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020a). "Números multiperfectos biunitarios, I" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (1): 93– 171. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171 .
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  • Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020d). "Números multiperfectos biunitarios, IV(a)" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (4): 2– 32. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32 .
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  • Kishore, Masao (1987). "Los números triperfectos impares son divisibles por doce factores primos distintos" . Journal of the Australian Mathematical Society, Series A. 42 ( 2): 173– 182. doi : 10.1017/s1446788700028184 . ISSN 0263-6115 . Zbl 0612.10006 .  
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  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 
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  • Tóth, László (2025). "Números multiperfectos extraños y falsos" (PDF) . Enteros . 25 (A19). arXiv : 2502.16954 .
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Véase también

  • La página de Multiplicación de Números Perfectos
  • El glosario principal: Multiplicar números perfectos
  • Los seis números triperfectos en YouTube