Trisección angular

Los ángulos se pueden trisecar mediante una construcción de neusis utilizando herramientas más allá de una regla sin marcar y un compás. El ejemplo muestra la trisección de cualquier ángulo $θ$ $>$ $3π / 4 con una$ regla de longitud igual al radio del círculo, dando como resultado un ángulo $trisecado$ $φ = θ / 3 .$

La trisección de ángulos consiste en la construcción de un ángulo equivalente a un tercio de un ángulo arbitrario dado, utilizando únicamente dos herramientas: una regla sin marcas y un compás . Es un problema clásico de la construcción con regla y compás propio de las matemáticas de la antigua Grecia .

En 1837, Pierre Wantzel demostró que el problema, tal como está planteado, es imposible de resolver para ángulos arbitrarios. Sin embargo, algunos ángulos especiales pueden trisecarse: por ejemplo, es trivial trisecar un ángulo recto .

Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, la construcción de la neusis , también conocida por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla marcada, lo cual no se puede lograr con las herramientas originales. A lo largo de los siglos, los matemáticos desarrollaron otras técnicas.

Debido a que se define en términos sencillos, pero es complejo demostrar su irresolubilidad, el problema de la trisección de ángulos es objeto frecuente de intentos pseudomatemáticos de solución por parte de aficionados ingenuos. Estas "soluciones" a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o son simplemente incorrectas. ^{[ 1 ]}

Antecedentes y planteamiento del problema

Cómo bisecar un ángulo con compás y regla. Con el compás se traza un arco centrado en el vértice del ángulo, y luego dos arcos de igual longitud centrados en el punto donde el primer arco interseca los lados del ángulo; a continuación, con la regla se traza una línea que pase por los dos puntos de intersección de estos dos últimos arcos, dividiendo así el ángulo en dos. — La bisección de ángulos arbitrarios se ha resuelto hace mucho tiempo.

Utilizando únicamente una regla sin marcas y un compás , los matemáticos griegos encontraron la manera de dividir una línea en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, de trazar líneas paralelas , de bisecar ángulos , de construir muchos polígonos y de construir cuadrados con un área igual o el doble de la de un polígono dado.

Tres problemas resultaron difíciles de resolver, concretamente, la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo . El problema de la trisección del ángulo se plantea de la siguiente manera:

Construye un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado (o divídelo en tres ángulos iguales), utilizando solo dos herramientas:

una regla sin marcar y
una brújula.

Prueba de imposibilidad

Reglas . Las que se muestran están marcadas; una regla ideal no está marcada.

Pierre Wantzel publicó en 1837 una demostración de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario. ^{[ 2 ]} La demostración de Wantzel, reformulada en terminología moderna, utiliza el concepto de extensiones de campo , un tema que ahora se suele combinar con la teoría de Galois . Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Évariste Galois (cuyo trabajo, escrito en 1830, no se publicó hasta 1846) y no utilizó los conceptos introducidos por Galois. ^{[ 3 ]}

El problema de construir un ángulo de una medida dada $θ$ es equivalente a construir dos segmentos tales que la razón de su longitud sea $cos θ$ . A partir de la solución de uno de estos dos problemas, se puede pasar a la solución del otro mediante una construcción con compás y regla. La fórmula del ángulo triple da una expresión que relaciona los cosenos del ángulo original y su trisección: $cos θ$ = $4 cos$ $3$ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ $- 3 cos$ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ .

De ello se deduce que, dado un segmento de longitud unitaria, el problema de la trisección de un ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud sea la raíz de un polinomio cúbico . Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.

Todo número racional es construible. Todo número irracional que se puede construir en un solo paso a partir de algunos números dados es raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el campo generado por estos números. Por lo tanto, cualquier número que se puede construir mediante una secuencia de pasos es raíz de un polinomio mínimo cuyo grado es una potencia de dos . El ángulo $π$ $/$ $3$ radianes (60 grados , escrito 60°) es construible . El siguiente argumento muestra que es imposible construir un ángulo de 20°. Esto implica que un ángulo $de$ $60° no se puede trisecar y, por lo tanto ,$ que un ángulo arbitrario no se puede trisecar.

Denotemos el conjunto de números racionales por $Q.$ Si 60° se pudiera trisecar, el grado de un polinomio mínimo de $cos 20°$ sobre $Q$ sería una potencia de dos. Ahora sea $x = cos 20°$ . Nótese que $cos 60°$ = $cos ⁠ π / 3 ⁠$ = $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ . Entonces, por la fórmula del ángulo triple, $cos$ $⁠$ $π$ $/$ $3$ $⁠$ $= 4$ $x$ $3$ $- 3$ $x$ y por lo tanto $4$ $x$ $3$ $- 3$ $x$ $=$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ . Así, $8$ $x$ $3$ $- 6$ $x$ $- 1 = 0.$ Definimos $p$ $($ $t$ $)$ como el polinomio $p$ $($ $t$ $) = 8$ $t$ $3$ $- 6$ $t$ $- 1$ .

Dado que $x = cos 20°$ es una raíz de $p (t)$ , el polinomio mínimo para $cos 20°$ es un factor de $p (t)$ . Como $p (t)$ tiene grado 3, si es reducible sobre por $Q$ entonces tiene una raíz racional . Por el teorema $de$ $la$ raíz racional , esta raíz debe ser $\pm$ $1, \pm$ $1 / 2 , \pm 1 / 4 o \pm 1 / 8$ $,$ $pero$ $ninguna$ $de$ $estas$ $es$ $una$ $raíz$ . $Por lo tanto$ $,$ p $($ $t) es irreducible$ sobre por Q $,$ y el polinomio mínimo para $cos 20°$ es de grado $3$ .

Por lo tanto, un ángulo de $60°$ no se puede trisecar.

Ángulos que se pueden trisecar

Sin embargo, algunos ángulos pueden ser trisecados. Por ejemplo, para cualquier ángulo construible $θ$ , un ángulo de medida $3θ$ puede ser trisecado trivialmente ignorando el ángulo dado y construyendo directamente un ángulo de medida $θ$ $.$ Hay ángulos que no son construibles pero son trisecados (a pesar de que el ángulo de un tercio en sí mismo no sea construible). Por ejemplo, $⁠$ $3π$ $/$ $7$ $⁠ es un ángulo de este$ $tipo: cinco ángulos de medida ⁠ 3π/7 ⁠$ se combinan $para$ $formar$ $un$ $ángulo$ $de$ medida $⁠$ $15π$ $/$ $7$ $⁠$ $,$ que es un círculo completo más el $⁠$ $π$ $/$ $7$ $⁠$ $deseado .$

Para un entero positivo $N$ , un ángulo de medida $⁠$ $2$ $π$ $/$ $N$ $⁠$ es trisectable si y solo si $3$ no divide a N. $[$ ⁴^]^[⁵^]^Por el contrario, $⁠$ $2$ $π$ $/$ $N$ $⁠$ es construible si y solo si $N$ es una potencia de $2$ o el producto de una potencia de $2$ con el producto de uno o más primos de Fermat distintos .

Caracterización algebraica

Nuevamente, denotemos el conjunto de números racionales por $Q.$

Teorema : Un ángulo de medida $θ$ puede ser trisecado si y solo si $q (t) = 4 t 3 - 3 t - cos(θ)$ es reducible sobre la extensión de campo $Q (cos(θ))$ .

La demostración es una generalización relativamente sencilla de la demostración dada anteriormente de que un ángulo $de 60°$ no es trisectable. ^{[ 6 ]}

Otros números de piezas

Para cualquier entero distinto de cero $N$ , un ángulo de medida $2π / N$ radianes se puede dividir en $n$ $partes$ iguales con regla y compás si y solo si $n$ es una potencia de $2$ o es una potencia de $2$ multiplicada por el producto de uno o más primos de Fermat distintos, ninguno de los cuales divide $a N.$ En el caso de la trisección ( $n = 3 , que es un primo$ ^de Fermat), esta condición se convierte en el requisito mencionado anteriormente de que $N$ no sea divisible por $3.$ ^[ 5 ^]

Otros métodos

El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales, y por lo tanto, saliendo del marco griego original del compás y la regla.

Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar el ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan más adelante) implican herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro The Trisectors . ^{[ 1 ]}

Aproximación mediante bisecciones sucesivas

La trisección se puede aproximar mediante la repetición del método de regla y compás para bisecar un ángulo. La serie geométrica ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ 1 / 256 ⁠ + ⋯ o ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ se puede utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación con cualquier grado de precisión en un número finito de pasos. ^[⁷^]

Usando origami

La trisección, al igual que muchas construcciones imposibles con regla y compás, se puede realizar fácilmente mediante las técnicas de plegado de papel, o origami . Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, mientras que la regla y el compás solo permiten construir extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).

Utilizando un enlace

Existen varios mecanismos sencillos que pueden utilizarse para construir un instrumento para trisecar ángulos, entre ellos el trisector de Kempe y el abanico de enlaces o isoklinostato de Sylvester. ^{[ 8 ]}

Con una regla triangular recta

Trisección de un ángulo según Bieberbach (en azul) mediante una regla triangular recta (en rojo).

En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik su obra Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^{[ 9 ]} En él afirma (traducción libre):

" Como es sabido... toda construcción cúbica se puede remontar a la trisección del ángulo y a la multiplicación del cubo, es decir, a la extracción de la raíz cúbica. Solo necesito mostrar cómo estas dos tareas clásicas se pueden resolver mediante el gancho del ángulo recto. "

La construcción comienza dibujando un círculo que pasa por el vértice $P$ del ángulo que se va a trisecar, centrado en $A$ sobre una arista de este ángulo, y que tiene $B$ como su segunda intersección con la arista. Un círculo centrado en P $y$ del mismo radio interseca la línea que sostiene la arista en $A$ y $O.$

Ahora, la regla triangular recta se coloca en el dibujo de la siguiente manera: un cateto de su ángulo recto pasa por $O$ ; el vértice de su ángulo recto se coloca en un punto $S$ sobre la línea $PC$ de tal forma que el segundo cateto de la regla sea tangente en $E$ a la circunferencia centrada en $A.$ De ello se deduce que el ángulo original queda trisecado por la línea $PE$ y la línea $PD$ es perpendicular a $SE$ y pasa por $P.$ Esta línea se puede trazar utilizando de nuevo la regla triangular recta o mediante una construcción tradicional con regla y compás . Con una construcción similar, se puede mejorar la ubicación de $E$ , utilizando que es la intersección de la línea $SE$ y su perpendicular que pasa por $A.$

Demostración: Hay que demostrar las igualdades de los ángulos. ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ y ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ Las tres líneas $OS$ , $PD$ y $AE$ son paralelas. Como los segmentos de línea $OP$ y $PA$ son iguales, estas tres líneas paralelas delimitan dos segmentos iguales en cada una de las líneas secantes alternas, y en particular en su perpendicular común $SE$ . Por lo tanto, $SD$ $' = D' E ,$ donde $D'$ es la intersección de las líneas $PD$ y $SE . De$ $ello$ $se$ deduce que los triángulos rectángulos $PD'S$ y $PD'E$ son congruentes, y por lo tanto $que$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ la primera igualdad deseada. Por otro lado, el triángulo $PAE$ es isósceles , ya que todos los radios de un círculo son iguales; esto implica que ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ También hay uno ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ Dado que estos dos ángulos son ángulos alternos internos de una transversal a dos líneas paralelas, se demuestra la segunda igualdad deseada y, por lo tanto, la corrección de la construcción.

Con una curva auxiliar

Trisección mediante la espiral de Arquímedes
Trisección mediante la trisectriz de Maclaurin

Existen ciertas curvas llamadas trisectrices que, si se dibujan en el plano utilizando otros métodos, pueden usarse para trisecar ángulos arbitrarios. ^{[ 10 ]} Ejemplos incluyen la trisectriz de Colin Maclaurin , dada en coordenadas cartesianas por la ecuación implícita.

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

y la espiral de Arquímedes . De hecho, la espiral puede utilizarse para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales. Arquímedes describió cómo trisecar un ángulo utilizando la espiral de Arquímedes en su obra Sobre las espirales, alrededor del año 225 a. C.

Con una regla marcada

Otro método para trisecar un ángulo arbitrario mediante un pequeño paso fuera del marco griego consiste en utilizar una regla con dos marcas separadas por una distancia fija. La siguiente construcción, originalmente de Arquímedes , se denomina construcción de Neusis , es decir, utiliza herramientas distintas a una regla sin marcas . Los diagramas que utilizamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero en realidad funciona para cualquier ángulo de hasta 180 grados.

Esto requiere tres hechos de geometría (a la derecha):

Cualquier conjunto completo de ángulos en una línea recta suma 180°,
La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°, y ,
Cualquier par de lados iguales de un triángulo isósceles se encontrarán con el tercer lado formando el mismo ángulo .

Sea $l$ la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo $a$ (a la izquierda del punto $B$ ) es el objeto de la trisección. Primero, se dibuja un punto $A$ en un rayo de ángulo , a una unidad de $B.$ Se dibuja un círculo de radio $AB$ . Luego, entra en juego la marcación de la regla: una marca de la regla se coloca en $A$ y la otra en $B.$ Mientras se mantiene la regla (pero no la marca) tocando $A$ , se desliza y gira la regla hasta que una marca esté en el círculo y la otra en la línea $l$ . La marca en el círculo se etiqueta como $C$ y la marca en la línea se etiqueta como $D.$ Esto asegura que $CD = AB$ . Se dibuja un radio $BC$ para que sea obvio que los segmentos de línea $AB$ , $BC$ y $CD$ tienen todos la misma longitud. Ahora, los triángulos $ABC$ y $BCD$ son isósceles , por lo tanto (por el Hecho 3 anterior) cada uno tiene dos ángulos iguales.

Hipótesis : Dado que $AD$ es una línea recta y $AB$ , $BC$ y $CD$ tienen la misma longitud,

Conclusión : ángulo $b = ⁠ a / 3 ⁠$ .

Prueba :

Del hecho 1) anterior, $e+c=180$ °.
Observando el triángulo BCD , a partir del Hecho 2) $e+2b=180$ °.
De las dos últimas ecuaciones, $c=2b$ .
Por lo tanto, $a=c+b=2b+b=3b$ .

y el teorema queda demostrado.

Una vez más, esta construcción se salió del marco de las construcciones permitidas al utilizar una regla marcada.

Con una cuerda

Thomas Hutcheson publicó un artículo en Mathematics Teacher ^{[ 11 ]} en el que utilizaba una cuerda en lugar de un compás y una regla. Una cuerda puede usarse como regla (estirándola) o como compás (fijando un punto e identificando otro), pero también puede enrollarse alrededor de un cilindro, que es la clave de la solución de Hutcheson.

Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo que se iba a trisecar trazando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo y construyendo a partir de ese círculo un cilindro sobre el cual se inscribió, por ejemplo, un triángulo equilátero (un ángulo de 360 grados dividido en tres). Luego, este se "proyectó" sobre el ángulo que se iba a trisecar, con una sencilla demostración de la semejanza de los triángulos.

Con un "tomahawk"

Un tomahawk que triseca un ángulo. El tomahawk está formado por las líneas gruesas y el semicírculo sombreado.

Un " tomahawk " es una figura geométrica formada por un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se realiza apoyando el extremo del segmento más corto del tomahawk sobre una de las semirrectas y el borde del círculo sobre la otra, de manera que el "mango" (el segmento más largo) cruce el vértice del ángulo; la línea de trisección discurre entre el vértice y el centro del semicírculo.

Si bien un tomahawk se puede construir con compás y regla, generalmente no es posible construirlo en cualquier posición deseada. Por lo tanto, la construcción anterior no contradice la imposibilidad de trisecar ángulos utilizando únicamente regla y compás.

Así como un tomahawk puede usarse como escuadra , también puede usarse para trisecciones de ángulos mediante el método descrito en § Con una regla triangular recta .

El hacha produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, lo que garantiza el contacto con el ángulo. También es equivalente al uso de una escuadra de carpintero .

Con brújulas interconectadas

Un ángulo puede trisecarse con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro puntas de un compás, con enlaces entre las puntas diseñados para mantener iguales los tres ángulos entre puntas adyacentes. ^{[ 12 ]}

Usos de la trisección de ángulos

Una animación de la construcción de un heptágono mediante neusis con radio igual al del círculo circunscrito. ${\overline {OA}}=6$ , basado en Andrew M. Gleason , utilizando la trisección de ángulos mediante el hacha ^{[ 13 ]}^{: pág. 186}

{\displaystyle {\overline {OA}}=6} — Una animación de la construcción de un heptágono mediante neusis con radio igual al del círculo circunscrito. ${\overline {OA}}=6$ , basado en Andrew M. Gleason , utilizando la trisección de ángulos mediante el hacha ^{[ 13 ]}^{: pág. 186}

Una ecuación cúbica con coeficientes reales puede resolverse geométricamente con compás, regla y trisectriz de ángulos si y solo si tiene tres raíces reales . ^[¹³^]^:^{Teorema 1}

Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisectriz de ángulos si y solo si $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ donde r, s, k ≥ 0 y donde los p _i son primos distintos mayores que 3 de la forma $2^{t}3^{u}+1$ (es decir, primos de Pierpont mayores que 3). ^{[ 13 ]}^{: Teorema 2}

Véase también

Referencias

1 2 Dudley, Underwood (1994), Los trisectores , Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-514-0(Publicado originalmente en 1987 como A Budget of Trisections )
^ Wantzel, L. (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [ Investigaciones sobre la forma de saber si un problema de geometría se puede resolver con regla y compás ] (PDF) . Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 (en francés). 2 : 366– 372 – vía NUMDAM .
↑ Para conocer la base histórica de la demostración de Wantzel en el trabajo anterior de Ruffini y Abel, y su cronología con respecto a Galois, véase Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement , Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.
↑ MacHale, Desmond. "Construcción de ángulos enteros", Mathematical Gazette 66, junio de 1982, 144–145.
1 2 McLean, K. Robin (julio de 2008). "Trisectación de ángulos con regla y compás" . Mathematical Gazette . 92 : 320–323 . doi : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853. Véase también Comentarios sobre este artículo en el vol. 93, marzo de 2009, pág. 156.
↑ Stewart, Ian (1989).Teoría de GaloisMatemáticas de Chapman and Hall. págs. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.
↑ Jim Loy (2003) [1997]. "Trisección de un ángulo" . Archivado del original el 25 de febrero de 2012. Recuperado el 30 de marzo de 2012 .
↑ Yates, Robert C (1942). El problema de la trisección (PDF) . Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. págs. 39–42 . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022.
↑ Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 copia en línea (GDZ) . Recuperado el 2 de junio de 2017.
↑ Jim Loy "Trisección de un ángulo" . Archivado del original el 4 de noviembre de 2013. Consultado el 4 de noviembre de 2013 .
↑ Hutcheson, Thomas W. (mayo de 2001). "Dividir cualquier ángulo en cualquier número de partes iguales". Mathematics Teacher . 94 (5): 400– 405. doi : 10.5951/MT.94.5.0400 .
↑ Isaac, Rufus, "Dos artículos matemáticos sin palabras", Mathematics Magazine 48, 1975, pág. 198. Reimpreso en Mathematics Magazine 78, abril de 2005, pág. 111.
1 2 3 Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección angular, el heptágono y el triskaidecágono" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185–194 . doi : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624. Archivado del original (PDF) el 5 de noviembre de 2014.

Lecturas adicionales

Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ¿Qué son las matemáticas?: un enfoque elemental de ideas y métodos , Oxford University Press, EE. UU., 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.
Dudley, Underwood. (1983) «Qué hacer cuando aparece el trisector». THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER. 5 (1): 20–25. Springer-Verlag, Nueva York. Enlace

Enlaces externos

Sitio web de MathWorld
Problemas geométricos de la antigüedad, incluyendo la trisección de ángulos.
Un poco de historia
Un eslabón de la construcción de la regla marcada
Otro, mencionando a Arquímedes
Un artículo extenso con muchas aproximaciones y recursos que se salen del marco griego.
Sitio de geometría

Otros medios de trisección

Trisección aproximada de un ángulo como animación, error máximo del ángulo ≈ ±4E-8°
Trisectación mediante ( Archivado el 25-10-2009) el limacón de Pascal ; véase también Trisectrix
Trisección mediante una espiral de Arquímedes.
Trisección mediante la concoide de Nicomedes
Sitio web sciencenews.org sobre el uso del origami
Trisección hiperbólica y el espectro de polígonos regulares

[trisectors-1] 1 2 Dudley, Underwood (1994), Los trisectores , Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-514-0(Publicado originalmente en 1987 como A Budget of Trisections )

[2] Wantzel, L. (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [ Investigaciones sobre la forma de saber si un problema de geometría se puede resolver con regla y compás ] (PDF) . Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 (en francés). 2 : 366– 372 – vía NUMDAM .

[3] Para conocer la base histórica de la demostración de Wantzel en el trabajo anterior de Ruffini y Abel, y su cronología con respecto a Galois, véase Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement , Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.

[4] MacHale, Desmond. "Construcción de ángulos enteros", Mathematical Gazette 66, junio de 1982, 144–145.

[McLean-5] 1 2 McLean, K. Robin (julio de 2008). "Trisectación de ángulos con regla y compás" . Mathematical Gazette . 92 : 320–323 . doi : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853. Véase también Comentarios sobre este artículo en el vol. 93, marzo de 2009, pág. 156.

[Stewart-6] Stewart, Ian (1989).Teoría de GaloisMatemáticas de Chapman and Hall. págs. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.

[7] Jim Loy (2003) [1997]. "Trisección de un ángulo" . Archivado del original el 25 de febrero de 2012. Recuperado el 30 de marzo de 2012 .

[8] Yates, Robert C (1942). El problema de la trisección (PDF) . Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. págs. 39–42 . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022.

[Ludwig_Bieberbach-9] Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 copia en línea (GDZ) . Recuperado el 2 de junio de 2017.

[10] Jim Loy "Trisección de un ángulo" . Archivado del original el 4 de noviembre de 2013. Consultado el 4 de noviembre de 2013 .

[11] Hutcheson, Thomas W. (mayo de 2001). "Dividir cualquier ángulo en cualquier número de partes iguales". Mathematics Teacher . 94 (5): 400– 405. doi : 10.5951/MT.94.5.0400 .

[12] Isaac, Rufus, "Dos artículos matemáticos sin palabras", Mathematics Magazine 48, 1975, pág. 198. Reimpreso en Mathematics Magazine 78, abril de 2005, pág. 111.

[Gleason-13] 1 2 3 Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección angular, el heptágono y el triskaidecágono" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185–194 . doi : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624. Archivado del original (PDF) el 5 de noviembre de 2014.

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