Representación trivial

En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación trivial es una representación ( V ,  φ ) de un grupo G en la que todos los elementos de G actúan como la función identidad de V. Una representación trivial de un álgebra asociativa o de Lie es una representación del álgebra ( de Lie ) para la que todos los elementos del álgebra actúan como la función lineal cero ( endomorfismo ) que envía cada elemento de V al vector cero .

Para cualquier grupo o álgebra de Lie, siempre existe una representación trivial irreducible sobre cualquier cuerpo , y es unidimensional, por lo tanto, única hasta el isomorfismo. Lo mismo es cierto para las álgebras asociativas, a menos que restrinjamos la atención a las álgebras unitarias y las representaciones unitarias.

Aunque la representación trivial está construida de tal manera que sus propiedades parecen tautológicas, es un objeto fundamental de la teoría. Una subrepresentación es equivalente a una representación trivial, por ejemplo, si consiste en vectores invariantes; de modo que la búsqueda de tales subrepresentaciones es el tema central de la teoría de invariantes .

El carácter trivial es el carácter que toma el valor de uno para todos los elementos del grupo.

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103..