Trivialidad (matemáticas)

En matemáticas , el adjetivo trivial se usa a menudo para referirse a una afirmación o un caso que se puede obtener fácilmente del contexto, o a un objeto particularmente simple que posee una estructura dada (por ejemplo, un grupo , un espacio topológico ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} El sustantivo trivialidad generalmente se refiere a un aspecto técnico simple de alguna demostración o definición. El origen del término en el lenguaje matemático proviene del currículo medieval del trivium , que se distingue del currículo más difícil del quadrivium . ^{[ 1 ] [ 3 ]} Lo opuesto a trivial es no trivial , que se usa comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que una afirmación o un teorema no es fácil de demostrar. ^{[ 2 ]}

En matemáticas, la trivialidad no tiene una definición rigurosa. Es subjetiva y, a menudo, se determina en una situación dada por el conocimiento y la experiencia de quienes analizan el caso.

En matemáticas, el término "trivial" se usa a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Estos incluyen, entre otros:

• Conjunto vacío : el conjunto que no contiene elementos o que contiene elementos nulos.
• Grupo trivial : el grupo matemático que contiene únicamente el elemento identidad.
• Anillo trivial : un anillo definido sobre un conjunto unitario.

El término " trivial " también puede usarse para describir soluciones a una ecuación que tienen una estructura muy simple, pero que, por razones de completitud, no pueden omitirse. Estas soluciones se denominan soluciones triviales . Por ejemplo, consideremos la ecuación diferencial .

$${\displaystyle y'=y}$$

dónde${\displaystyle y=y(x)}$es una función cuya derivada es${\displaystyle y'}$La solución trivial es la función cero .

$${\displaystyle y(x)=0}$$

mientras que una solución no trivial es la función exponencial

$${\displaystyle y(x)=e^{x}.}$$

La ecuación diferencial${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$con condiciones de contorno${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$Es importante en matemáticas y física, ya que podría usarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica o una onda estacionaria en una cuerda. Siempre incluye la solución.${\displaystyle f(x)=0}$, que se considera obvia y por lo tanto se denomina solución "trivial". En algunos casos, puede haber otras soluciones ( sinusoides ), que se denominan soluciones "no triviales". ^{[ 4 ]}

De manera similar, los matemáticos a menudo describen el Último Teorema de Fermat como una afirmación de que no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación.${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$donde n es mayor que 2. Claramente, existen algunas soluciones para la ecuación. Por ejemplo,${\displaystyle a=b=c=0}$es una solución para cualquier n , pero tales soluciones son obvias y obtenibles con poco esfuerzo y, por lo tanto, "triviales".

El término «trivial» también puede referirse a cualquier caso sencillo de una demostración, que, por completitud, no puede ignorarse. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática constan de dos partes: el «caso base», que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial determinado (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo, que muestra que si el teorema es verdadero para un valor de n , también lo es para el valor n + 1. El caso base suele ser trivial y se identifica como tal, aunque existen situaciones en las que el caso base es difícil, pero el paso inductivo es trivial. De forma similar, se podría querer demostrar que una propiedad la poseen todos los miembros de un conjunto determinado. La parte principal de la demostración considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará sus miembros en detalle; en el caso de que el conjunto esté vacío, la propiedad la poseen trivialmente todos los miembros del conjunto vacío, ya que no hay ninguno (véase verdad vacua para más información).

El juicio sobre si una situación es trivial o no depende de quién la considere, ya que para alguien con suficiente conocimiento o experiencia en el tema, la situación es obviamente cierta, mientras que para alguien que nunca la ha visto, puede resultar difícil de comprender y, por lo tanto, no trivial en absoluto. Además, se puede debatir sobre la rapidez y facilidad con que debe reconocerse un problema para que se considere trivial. Los siguientes ejemplos ilustran la subjetividad y la ambigüedad del juicio sobre la trivialidad.

La trivialidad también depende del contexto. En análisis funcional, una demostración probablemente asumiría, dado un número, la existencia de un número mayor. Sin embargo, al demostrar resultados básicos sobre los números naturales en teoría elemental de números , la demostración bien podría basarse en la observación de que todo número natural tiene un sucesor, una afirmación que debe demostrarse o tomarse como un axioma, por lo que no es trivial (para más información, véanse los axiomas de Peano ).

• Un chiste común en la comunidad matemática es decir que "trivial" es sinónimo de "probado"; es decir, cualquier teorema puede considerarse "trivial" una vez que se sabe que es verdadero. ^{[ 1 ]}
• Dos matemáticos discuten un teorema: el primero afirma que es trivial. Ante la petición del otro de una explicación, se explaya durante veinte minutos. Al final de la explicación, el segundo matemático coincide en que el teorema es trivial. Pero, ¿podemos afirmar que este teorema es trivial aunque su demostración requiera mucho tiempo y esfuerzo?
• Cuando un matemático dice que un teorema es trivial, pero no puede demostrarlo por sí mismo en el momento en que lo declara trivial, ¿es el teorema realmente trivial?
• A menudo, en tono de broma, se dice que un problema es "intuitivamente obvio". Por ejemplo, alguien con experiencia en cálculo consideraría trivial la siguiente afirmación:$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.}$$Sin embargo, para alguien sin conocimientos de cálculo integral, esto no es obvio, por lo que no es trivial.

• En teoría de números , a menudo es importante encontrar los factores de un número entero N. Cualquier número N tiene cuatro factores obvios: ±1 y ± N . Estos se denominan "factores triviales". Cualquier otro factor, si existe, se denominaría "factor no trivial". ^{[ 6 ]}
• La ecuación matricial homogénea${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$, dónde${\displaystyle A}$es una matriz fija,${\displaystyle \mathbf {x} }$es un vector desconocido, y${\displaystyle \mathbf {0} }$es el vector cero, tiene una solución obvia${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$. Esto se llama la "solución trivial". Cualquier otra solución, con${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$, se denominan "no triviales". ^{[ 7 ]}
• En teoría de grupos , existe un grupo muy simple con un solo elemento; a este se le suele llamar "grupo trivial". Todos los demás grupos, que son más complejos, se denominan "grupos no triviales".
• En teoría de grafos , el grafo trivial es un grafo que tiene solo 1 vértice y ninguna arista.
• La teoría de bases de datos tiene un concepto llamado dependencia funcional , escrito${\displaystyle X\to Y}$La dependencia${\displaystyle X\to Y}$Esto es cierto si Y es un subconjunto de X , por lo que este tipo de dependencia se denomina "trivial". Todas las demás dependencias, que son menos evidentes, se denominan "no triviales".
• Se puede demostrar que la función zeta de Riemann tiene ceros en los números pares negativos −2, −4, … Aunque la demostración es relativamente sencilla, este resultado no se consideraría trivial; sin embargo, en este caso sí lo es, ya que sus otros ceros son generalmente desconocidos, tienen aplicaciones importantes e implican cuestiones abiertas (como la hipótesis de Riemann ). Por consiguiente, los números pares negativos se denominan ceros triviales de la función, mientras que cualquier otro cero se considera no trivial.

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