Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Anomalía verdadera

La verdadera anomalía del punto P es el ángulo f . El centro de la elipse es el punto C , y el foco es el punto F. En mecánica celeste , la anomalía verdadera es un parámetro an...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
La verdadera anomalía del punto P es el ángulo f . El centro de la elipse es el punto C , y el foco es el punto F.

En mecánica celeste , la anomalía verdadera es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección del periapsis y la posición actual del cuerpo, vista desde el foco principal de la elipse (el punto alrededor del cual orbita el objeto).

La verdadera anomalía se suele denotar con las letras griegas ν o θ , o con la letra latina f , y generalmente se restringe al rango de 0 a 360° (0 a 2π radianes).

La anomalía verdadera f es uno de los tres parámetros angulares ( anomalías ) que se pueden usar para definir una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros dos la anomalía excéntrica y la anomalía media .

Fórmulas

A partir de vectores de estado

Para órbitas elípticas, la anomalía verdadera ν se puede calcular a partir de los vectores de estado orbital de la siguiente manera:

ν=arcos⁡mi⋅r|mi||r|{\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(si r ⋅ v < 0 entonces reemplaza ν por 2 π − ν )

dónde:

Órbita circular

Para las órbitas circulares, la anomalía verdadera no está definida, porque las órbitas circulares no tienen un periapsis determinado de forma única. En su lugar, se utiliza el argumento de la latitud u :

tú=arcos⁡norte⋅r|norte||r|{\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(si r z < 0 entonces reemplace u por 2 π − u )

dónde:

  • n es un vector que apunta hacia el nodo ascendente (es decir, la componente z de n es cero).
  • r z es la componente z del vector de posición orbital r

Órbita circular con inclinación cero

Para órbitas circulares con inclinación cero, el argumento de latitud tampoco está definido, ya que no existe una línea de nodos determinada de forma única. En su lugar, se utiliza la longitud verdadera :

l=arcos⁡rincógnita|r|{\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}
(si v x > 0 entonces reemplace l por 2 π − l )

dónde:

Desde la anomalía excéntrica

La relación entre la anomalía verdadera ν y la anomalía excéntricami{\displaystyle E}es:

porque⁡ν=porque⁡mi−mi1−miporque⁡mi{\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}

o utilizando el seno [ 1 ] y la tangente :

pecado⁡ν=1−mi2pecado⁡mi1−miporque⁡mibroncearse⁡ν=pecado⁡νporque⁡ν=1−mi2pecado⁡miporque⁡mi−mi{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}

o equivalentemente:

broncearse⁡ν2=1+mi1−mibroncearse⁡mi2{\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}

entonces

ν=2arctan⁡(1+mi1−mibroncearse⁡mi2){\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}

Alternativamente, R. Broucke y P. Cefola [ 2 ] derivaron una forma de esta ecuación que evita problemas numéricos cuando los argumentos son cercanos.±π{\displaystyle \pm \pi }, a medida que las dos tangentes se vuelven infinitas. Además, dado quemi2{\displaystyle {\frac {E}{2}}}yν2{\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}Si siempre están en el mismo cuadrante, no habrá problemas de señalización.

broncearse⁡12(ν−mi)=βpecado⁡mi1−βporque⁡mi{\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}dóndeβ=mi1+1−mi2{\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}

entonces

ν=mi+2arctan⁡(βpecado⁡mi1−βporque⁡mi){\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}

A partir de la anomalía media

La anomalía verdadera se puede calcular directamente a partir de la anomalía media.METRO{\displaystyle M}mediante una expansión de Fourier : [ 3 ]

ν=METRO+2∑k=1∞1k[∑norte=−∞∞Jnorte(−kmi)β|k+norte|]pecado⁡kMETRO{\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}

con funciones de BesselJnorte{\displaystyle J_{n}}y parámetroβ=1−1−mi2mi{\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}.

Omitiendo todos los términos del pedidomi4{\displaystyle e^{4}}o superior (indicado porO⁡(mi4){\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}), se puede escribir como [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

ν=METRO+(2mi−14mi3)pecado⁡METRO+54mi2pecado⁡2METRO+1312mi3pecado⁡3METRO+O⁡(mi4).{\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}

Tenga en cuenta que, por razones de precisión, esta aproximación suele limitarse a órbitas donde la excentricidadmi{\displaystyle e}es pequeño.

La expresiónν−METRO{\displaystyle \nu -M}se conoce como la ecuación del centro , donde se dan más detalles sobre la expansión.

Radio desde la anomalía verdadera

El radio (distancia entre el foco de atracción y el cuerpo en órbita) está relacionado con la anomalía verdadera mediante la fórmula

r(t)=a1−mi21+miporque⁡ν(t){\displaystyle r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!}

donde a es el semieje mayor de la órbita .

En mecánica celeste , la anomalía proyectiva es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección del periapsis y la posición actual del cuerpo en el espacio proyectivo.

La anomalía proyectiva se suele denotar porθ{\displaystyle \theta }y generalmente se limita al rango de 0 a 360 grados (0 - 2π{\displaystyle \pi }radianes).

La anomalía proyectivaθ{\displaystyle \theta }es uno de los cuatro parámetros angulares ( anomalías ) que definen una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros tres la anomalía excéntrica , la anomalía verdadera y la anomalía media .

En la geometría proyectiva, los círculos, las elipses, las parábolas y las hipérbolas se tratan como el mismo tipo de curvas cuadráticas.

Parámetros proyectivos y anomalía proyectiva

Un tipo de órbita se clasifica mediante dos parámetros del proyecto.α{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }como sigue,

  • órbita circularβ=0{\displaystyle \beta =0}
  • órbita elípticaαβ<1{\displaystyle \alpha \beta <1}
  • órbita parabólicaαβ=1{\displaystyle \alpha \beta =1}
  • órbita hiperbólicaαβ>1{\displaystyle \alpha \beta >1}
  • órbita linealα=β{\displaystyle \alpha =\beta }
  • órbita imaginariaα<β{\displaystyle \alpha <\beta }

dónde

α=(1+mi)(q−pag)+(1+mi)2(q+pag)2+4mi22{\displaystyle \alpha ={\frac {(1+e)(q-p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}{2}}}

β=2mi(1+mi)(q+pag)+(1+mi)2(q+pag)2+4mi2{\displaystyle \beta ={\frac {2e}{(1+e)(q+p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}}}

q=(1−mi)a{\displaystyle q=(1-e)a}

pag=1Q=1(1+mi)a{\displaystyle p={\frac {1}{Q}}={\frac {1}{(1+e)a}}}

dóndeα{\displaystyle \alpha }es semieje mayor ,mi{\displaystyle e}es excentricidad ,q{\displaystyle q}es la distancia al perihelio yQ{\displaystyle Q}es la distancia del afelio .

Posición y distancia heliocéntrica del planetaincógnita{\displaystyle x},y{\displaystyle y}yr{\displaystyle r}se pueden calcular como funciones de la anomalía proyectivaθ{\displaystyle \theta } :

incógnita=−β+αporque⁡θ1+αβporque⁡θ{\displaystyle x={\frac {-\beta +\alpha \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

y=α2−β2pecado⁡θ1+αβporque⁡θ{\displaystyle y={\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\sin \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

r=α−βporque⁡θ1+αβporque⁡θ{\displaystyle r={\frac {\alpha -\beta \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

La ecuación de Kepler

La anomalía proyectivaθ{\displaystyle \theta }se puede calcular a partir de la anomalía excéntricatú{\displaystyle u}como sigue,

  • Caso  :αβ<1{\displaystyle \alpha \beta <1}

broncearse⁡θ2=1+αβ1−αβbroncearse⁡tú2{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}\tan {\frac {u}{2}}}

tú−mipecado⁡tú=METRO=(1−α2β2α(1+β2))3/2k(t−T0){\displaystyle u-e\sin u=M=\left({\frac {1-\alpha ^{2}\beta ^{2}}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})}

  • caso  :αβ=1{\displaystyle \alpha \beta =1}

s33+α2−1α2+1s=2k(t−T0)α(α2+1)3{\displaystyle {\frac {s^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{2}-1}{\alpha ^{2}+1}}s={\frac {2k(t-T_{0})}{\sqrt {\alpha (\alpha ^{2}+1)^{3}}}}}

s=broncearse⁡θ2{\displaystyle s=\tan {\frac {\theta }{2}}}

  • caso  :αβ>1{\displaystyle \alpha \beta >1}

broncearse⁡θ2=αβ+1αβ−1tanh⁡tú2{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {\alpha \beta +1}{\alpha \beta -1}}}\tanh {\frac {u}{2}}}

misinh⁡tú−tú=METRO=(α2β2−1α(1+β2))3/2k(t−T0){\displaystyle e\sinh u-u=M=\left({\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}-1}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})}

Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones de Kepler .

Anomalía generalizada

Para una constante arbitrariaλ{\displaystyle \lambda }, la anomalía generalizadaΘ{\displaystyle \Theta }está relacionado como

broncearse⁡Θ2=λbroncearse⁡tú2{\displaystyle \tan {\frac {\Theta }{2}}=\lambda \tan {\frac {u}{2}}}

La anomalía excéntrica, la anomalía verdadera y la anomalía proyectiva son los casos deλ=1{\displaystyle \lambda =1},λ=1+mi1−mi{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}},λ=1+αβ1−αβ{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}}, respectivamente.

  • Sato, I., "Una nueva anomalía del movimiento kepleriano", Astronomical Journal Vol.116, pp.  2038-3039, (1997)

Véase también

Referencias

  1. ↑ Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones por David A. Vallado
  2. ↑ Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "Una nota sobre las relaciones entre anomalías verdaderas y excéntricas en el problema de dos cuerpos" . Mecánica celeste . 7 (3): 388– 389. Bibcode : 1973CeMec...7..388B . doi : 10.1007/BF01227859 . ISSN 0008-8714 . S2CID 122878026 .  
  3. 1 2 Battin, RH (1999). Introducción a las matemáticas y métodos de la astrodinámica . Serie educativa de la AIAA. Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pág. 212 (Ec. (5.32)). ISBN  978-1-60086-026-3. Consultado el 2 de agosto de 2022 .
  4. ↑ Smart, WM (1977). Libro de texto sobre astronomía esférica (PDF) . pág. 120 (Ec. (87)). Bibcode : 1977tsa..book.....S . 
  5. ↑ Roy, AE (2005). Movimiento orbital (4.ª ed.). Bristol, Reino Unido; Filadelfia, PA: Instituto de Física (IoP). pág. 78 (Ec. (4.65)). Bibcode : 2005ormo.book.....R . ISBN   0750310154Archivado del original el 15 de mayo de 2021. Consultado el 29 de agosto de 2020 .

Lecturas adicionales

  • Murray, CD y Dermott, SF, 1999, Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
  • Plummer, HC, 1960, Un tratado introductorio sobre astronomía dinámica , Dover Publications, Nueva York. OCLC 1311887 (Reimpresión de la edición de 1918 de Cambridge University Press). 
  • Administración Federal de Aviación - Descripción de las órbitas