Distribución truncada

En estadística , una distribución truncada es una distribución condicional que resulta de restringir el dominio de otra distribución de probabilidad . Las distribuciones truncadas surgen en la estadística práctica cuando la capacidad de registrar, o incluso de conocer, sucesos se limita a valores que se encuentran por encima o por debajo de un umbral determinado o dentro de un rango específico. Por ejemplo, si se examinan las fechas de nacimiento de los niños en una escuela, estas normalmente estarían sujetas a truncamiento en relación con las de todos los niños de la zona, dado que la escuela solo acepta niños dentro de un rango de edad determinado en una fecha específica. No habría información sobre cuántos niños de la localidad nacieron antes o después de las fechas límite de la escuela si solo se utilizara un contacto directo con la escuela para obtener información.

Cuando el muestreo se realiza de manera que se conserve el conocimiento de los elementos que caen fuera del rango requerido, sin registrar los valores reales, esto se conoce como censura , a diferencia del truncamiento en este caso. ^{[ 1 ]}

La siguiente discusión ^{[ 2 ]} se basa en una variable aleatoria con distribución continua , aunque las mismas ideas se aplican a distribuciones discretas . Asimismo, la discusión asume que la truncación se realiza a un intervalo semiabierto y ∈ ( a,b ], pero otras posibilidades pueden manejarse directamente.

Supongamos que tenemos una variable aleatoria,${\displaystyle X}$que se distribuye según alguna función de densidad de probabilidad,${\displaystyle f(x)}$, con función de distribución acumulativa${\displaystyle F(x)}$ambos tienen soporte infinito . Supongamos que deseamos conocer la densidad de probabilidad de la variable aleatoria después de restringir el soporte a estar entre dos constantes de modo que el soporte, ${\displaystyle y=(a,b]}$. Es decir, supongamos que deseamos saber cómo${\displaystyle X}$se distribuye dado${\displaystyle a<X\leq b}$.

${\displaystyle f(x|a<X\leq b)={\frac {g(x)}{F(b)-F(a)}}={\frac {f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}{F(b)-F(a)}}\propto _{x}f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$

dónde${\displaystyle g(x)=f(x)}$a pesar de${\displaystyle a<x\leq b}$y${\displaystyle g(x)=0}$en todas partes. Es decir,${\displaystyle g(x)=f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$dónde${\displaystyle I}$es la función indicadora . Nótese que el denominador en la distribución truncada es constante con respecto a la${\displaystyle x}$.

Fíjese que, de hecho${\displaystyle f(x|a<X\leq b)}$es una densidad:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x|a<X\leq b)dx={\frac {1}{F(b)-F(a)}}\int _{a}^{b}g(x)dx=1}$.

Las distribuciones truncadas no necesitan que se les eliminen partes de la parte superior e inferior. Una distribución truncada en la que solo se ha eliminado la parte inferior es la siguiente:

${\displaystyle f(x|X>y)={\frac {g(x)}{1-F(y)}}}$

dónde${\displaystyle g(x)=f(x)}$a pesar de${\displaystyle y<x}$y${\displaystyle g(x)=0}$en todas partes y${\displaystyle F(x)}$es la función de distribución acumulativa .

Una distribución truncada, en la que se ha eliminado la parte superior de la distribución, es la siguiente:

${\displaystyle f(x|X\leq y)={\frac {g(x)}{F(y)}}}$

dónde${\displaystyle g(x)=f(x)}$a pesar de${\displaystyle x\leq y}$y${\displaystyle g(x)=0}$en todas partes y${\displaystyle F(x)}$es la función de distribución acumulativa .

Supongamos que deseamos hallar el valor esperado de una variable aleatoria distribuida según la densidad${\displaystyle f(x)}$y una distribución acumulativa de${\displaystyle F(x)}$dado que la variable aleatoria,${\displaystyle X}$es mayor que algún valor conocido${\displaystyle y}$La esperanza de una variable aleatoria truncada es, por lo tanto:

${\displaystyle E(X|X>y)={\frac {\int _{y}^{\infty }xg(x)dx}{1-F(y)}}}$

¿Dónde de nuevo?${\displaystyle g(x)}$es${\displaystyle g(x)=f(x)}$a pesar de${\displaystyle x>y}$y${\displaystyle g(x)=0}$en cualquier otro lugar.

Alquiler${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$sean los límites inferior y superior, respectivamente, del soporte para la función de densidad original.${\displaystyle f}$(que suponemos que es continua), propiedades de${\displaystyle E(u(X)|X>y)}$, dónde${\displaystyle u}$es alguna función continua con derivada continua, incluyendo:

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}E(u(X)|X>y)=E(u(X))}$
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}E(u(X)|X>y)=u(b)}$
3. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {f(y)}{1-F(y)}}[E(u(X)|X>y)-u(y)]}$

y${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X<y)]={\frac {f(y)}{F(y)}}[-E(u(X)|X<y)+u(y)]}$

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]=f(a)[E(u(X))-u(a)]}$
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {1}{2}}u'(b)}$

Siempre que existan los límites, es decir:${\displaystyle \lim _{y\to c}u'(y)=u'(c)}$,${\displaystyle \lim _{y\to c}u(y)=u(c)}$y${\displaystyle \lim _{y\to c}f(y)=f(c)}$dónde${\displaystyle c}$representa cualquiera${\displaystyle a}$o${\displaystyle b}$.

La distribución normal truncada es un ejemplo importante. ^{[ 3 ]} La literatura ha considerado la distribución normal truncada a la izquierda , ^{[ 4 ]} la distribución de Weibull truncada a la izquierda ^{[ 5 ] [ 6 ]} y la distribución log-logística truncada a la izquierda . ^{[ 7 ]}

El modelo Tobit emplea distribuciones truncadas. Otros ejemplos incluyen la distribución binomial truncada en x=0 y la distribución de Poisson truncada en x=0.

Supongamos que tenemos la siguiente configuración: un valor de truncamiento,${\displaystyle t}$, se selecciona al azar de una densidad,${\displaystyle g(t)}$, pero este valor no se observa. Entonces un valor,${\displaystyle x}$, se selecciona al azar de la distribución truncada,${\displaystyle f(x|t)=Tr(x)}$Supongamos que observamos${\displaystyle x}$y deseamos actualizar nuestra creencia sobre la densidad de${\displaystyle t}$dada la observación.

Primero, por definición:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x|t)g(t)dt=\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}$, y

${\displaystyle F(a)=\int _{-\infty }^{a}\left[\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt\right]dx.}$

Observa que${\displaystyle t}$debe ser mayor que${\displaystyle x}$, por lo tanto, cuando integramos sobre${\displaystyle t}$, establecemos un límite inferior de${\displaystyle x}$. Las funciones${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle F(x)}$son la densidad incondicional y la función de distribución acumulativa incondicional, respectivamente.

Por la regla de Bayes ,

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}},}$

que se expande a

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}}.}$

• Media truncada