Modelo de umbral normal truncado

En econometría , el modelo de umbral normal truncado es una variante del modelo Tobit y fue propuesto por primera vez por Cragg en 1971. ^{[ 1 ]}

En un modelo Tobit estándar, representado como${\displaystyle y=(x\beta +u)1[x\beta +u>0]}$, dónde${\displaystyle u|x\sim N(0,\sigma ^{2})}$Esta construcción de modelo impone implícitamente dos supuestos de primer orden: ^{[ 2 ]}

1. Desde: ${\displaystyle \partial P[y>0]/\partial x_{j}=\varphi (x\beta /\sigma )\beta _{j}/\sigma }$y${\displaystyle \partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}=\beta _{j}\{1-\theta (x\beta /\sigma \}}$, el efecto parcial de${\displaystyle x_{j}}$sobre la probabilidad${\displaystyle P[y>0]}$y la expectativa condicional :${\displaystyle \operatorname {E} [y\mid x,y>0]}$tiene el mismo signo: ^{[ 3 ]}
2. Los efectos relativos de${\displaystyle x_{h}}$y${\displaystyle x_{j}}$en${\displaystyle P[y>0]}$y${\displaystyle \operatorname {E} [y\mid x,y>0]}$son idénticos, es decir:

${\displaystyle {\frac {\partial P[y>0]/\partial x_{h}}{\partial P[y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{h}}{\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\beta _{h}}{\beta _{j}}}|}$

Sin embargo, estas dos suposiciones implícitas son demasiado fuertes e inconsistentes con muchos contextos en economía . Por ejemplo, cuando necesitamos decidir si invertir y construir una fábrica, el costo de construcción podría ser más influyente que el precio del producto ; pero una vez que ya hemos construido la fábrica, el precio del producto es definitivamente más influyente en los ingresos . Por lo tanto, la suposición implícita (2) no coincide con este contexto. ^{[ 4 ]} La esencia de este problema es que el modelo Tobit estándar modela implícitamente un vínculo muy fuerte entre la decisión de participación${\displaystyle (y=0}$o${\displaystyle y>0)}$y la decisión de la cantidad (la magnitud de${\displaystyle y}$cuando${\displaystyle y>0}$). Si un modelo de solución de esquina se representa de forma general:${\displaystyle y=s\centerdot w,}$ , dónde${\displaystyle s}$ es la decisión de participar y ${\displaystyle w}$es la decisión de monto, el modelo Tobit estándar asume:

${\displaystyle s=1[x\beta +u>0];}$

${\displaystyle w=x\beta +u.}$

Para que el modelo sea compatible con más contextos, una mejora natural consiste en asumir lo siguiente:

${\displaystyle s=1[x\gamma +u>0],{\text{ donde }}u\sim N(0,1);}$

${\displaystyle w=x\beta +e,}$donde el término de error (${\displaystyle e}$) se distribuye como una distribución normal truncada con una densidad como${\displaystyle \varphi (\cdot )/\Phi \left({\frac {x\beta }{\sigma }}\right)/\sigma$ ;}

${\displaystyle s}$y${\displaystyle w}$son independientes condicionados a${\displaystyle x}$.

Esto se denomina Modelo de umbral normal truncado, propuesto en Cragg (1971). ^{[ 1 ]} Al agregar un parámetro más y separar la decisión de cantidad de la decisión de participación, el modelo puede ajustarse a más contextos. Bajo esta configuración del modelo, la densidad de la${\displaystyle y}$dado${\displaystyle x}$se puede escribir como:

${\displaystyle f(y\mid x)=[1-\Phi (\chi \gamma )]^{1[y=0]}\cdot \left[{\frac {\Phi \ (\chi \gamma )}{\Phi (\chi \beta /\sigma )}}\left.\varphi \left({\frac {y-\chi \beta }{\sigma }}\right)\right/\sigma \right]^{1[y>0]}}$

A partir de esta representación de densidad, es obvio que degenerará al modelo Tobit estándar cuando${\displaystyle \gamma =\beta /\sigma .}$ Esto también demuestra que el modelo de umbral normal truncado es más general que el modelo Tobit estándar.

El modelo de umbral normal truncado se suele estimar mediante MLE. La función de verosimilitud logarítmica se puede escribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\beta ,\gamma ,\sigma )={}&\sum _{i=1}^{N}1[y_{i}=0]\log[1-\Phi (x_{i}\gamma )]+1[y_{i}>0]\log[\Phi (x_{i}\gamma )]\\[5pt]&{}+1[y_{i}>0]\left[-\log \left[\Phi \left({\frac {x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right]+\log \left(\varphi \left({\frac {y_{i}-x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right)-\log(\sigma )\right]\end{aligned}}}$

A partir de la función de verosimilitud logarítmica,${\displaystyle \gamma }$ puede estimarse mediante un modelo probit y${\displaystyle (\beta,\sigma)}$puede estimarse mediante un modelo de regresión normal truncado. ^{[ 5 ]} Con base en las estimaciones, se pueden estimar correspondientemente estimaciones consistentes para el Efecto Parcial Promedio.

• Modelo de valla
• modelo Tobit