Error de truncamiento (integración numérica)

Los errores de truncamiento en la integración numérica son de dos tipos:

• errores de truncamiento local : el error causado por una iteración y
• errores de truncamiento global : el error acumulativo causado por muchas iteraciones.

Supongamos que tenemos una ecuación diferencial continua

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}$

y deseamos calcular una aproximación de la solución verdadera en pasos de tiempo discretos . Para simplificar, supongamos que los pasos de tiempo están espaciados de manera uniforme: ${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}}$

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qcuadrado n=1,2,\ldots ,N.}$

Supongamos que calculamos la secuencia con un método de un solo paso de la forma ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}$

La función se llama función de incremento y puede interpretarse como una estimación de la pendiente . ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$

El error de truncamiento local es el error que nuestra función de incremento, , causa durante una sola iteración, asumiendo un conocimiento perfecto de la solución verdadera en la iteración anterior. ${\displaystyle \tau_{n}}$${\estilo de visualización A}$

Más formalmente, el error de truncamiento local, , en el paso se calcula a partir de la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación para el incremento : ${\displaystyle \tau_{n}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}$

${\displaystyle \tau_{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).}$^{[1] [2]}

El método numérico es consistente si el error de truncamiento local es (esto significa que para cada existe un tal que para todo ; ver notación o minúscula ). Si la función de incremento es continua, entonces el método es consistente si, y solo si, . ^[3]${\displaystyle o(h)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle |\tau_{n}|<\varepsilon h}$${\estilo de visualización h<H}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A(t,y,0,f)=f(t,y)}$

Además, decimos que el método numérico tiene orden${\estilo de visualización p}$ si para cualquier solución suficientemente suave del problema de valor inicial, el error de truncamiento local es (lo que significa que existen constantes y tales que para todo ). ^[4]${\displaystyle O(h^{p+1})}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle |\tau_{n}|<Ch^{p+1}}$${\estilo de visualización h<H}$

El error de truncamiento global es la acumulación del error de truncamiento local a lo largo de todas las iteraciones, asumiendo un conocimiento perfecto de la solución verdadera en el paso de tiempo inicial. ^{[ cita requerida ]}

De manera más formal, el error de truncamiento global, , en el momento se define por: $Estilo de visualización e_ {n}}$${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}}$^[5]

El método numérico es convergente si el error de truncamiento global tiende a cero a medida que el tamaño del paso tiende a cero; en otras palabras, la solución numérica converge a la solución exacta: . ^[6]${\displaystyle \lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0}$

A veces es posible calcular un límite superior para el error de truncamiento global si ya conocemos el error de truncamiento local. Esto requiere que nuestra función de incremento se comporte lo suficientemente bien.

El error de truncamiento global satisface la relación de recurrencia:

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}$

Esto se desprende inmediatamente de las definiciones. Ahora supongamos que la función de incremento es Lipschitz continua en el segundo argumento, es decir, existe una constante tal que para todos y y , tenemos: ${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}$

Entonces el error global satisface el límite

${\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}$^[7]

Del límite anterior para el error global se desprende que si la función en la ecuación diferencial es continua en el primer argumento y Lipschitz continua en el segundo argumento (la condición del teorema de Picard-Lindelöf ), y la función de incremento es continua en todos los argumentos y Lipschitz continua en el segundo argumento, entonces el error global tiende a cero a medida que el tamaño del paso se acerca a cero (en otras palabras, el método numérico converge a la solución exacta). ^[8]${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$

Consideremos ahora un método lineal de varios pasos , dado por la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el siguiente valor para la solución numérica se calcula de acuerdo con

${\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}$

La siguiente iteración de un método lineal de varios pasos depende de las iteraciones s anteriores . Por lo tanto, en la definición del error de truncamiento local, ahora se supone que las iteraciones s anteriores corresponden todas a la solución exacta:

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}$^[9]

Nuevamente, el método es consistente si y tiene orden p si . La definición del error de truncamiento global tampoco cambia. ${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$

La relación entre los errores de truncamiento locales y globales es ligeramente diferente a la del entorno más simple de los métodos de un solo paso. Para los métodos lineales de múltiples pasos, se necesita un concepto adicional llamado estabilidad cero para explicar la relación entre los errores de truncamiento locales y globales. Los métodos lineales de múltiples pasos que satisfacen la condición de estabilidad cero tienen la misma relación entre los errores locales y globales que los métodos de un solo paso. En otras palabras, si un método lineal de múltiples pasos es estable a cero y consistente, entonces converge. Y si un método lineal de múltiples pasos es estable a cero y tiene un error local , entonces su error global satisface . ^[10]${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$${\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}$

• Orden de precisión
• Integración numérica
• Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas
• Error de truncamiento

• Iserles, Arieh (1996), Un primer curso sobre el análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.

• Notas sobre errores de truncamiento y métodos de Runge-Kutta ^{[ enlace roto ]}
• Error de truncamiento del método de Euler ^{[ enlace roto ]}