El destino de Tsirelson

La cota de Tsirelson es un límite superior para las correlaciones cuánticas entre eventos distantes. Dado que la mecánica cuántica viola las desigualdades de Bell (es decir, no puede describirse mediante una teoría de variables ocultas locales ), surge la pregunta natural de cuán grande puede ser la violación. La respuesta es precisamente la cota de Tsirelson para la desigualdad de Bell en cuestión. En general, esta cota es menor que la que se obtendría si se consideraran teorías más generales, restringidas únicamente por la ausencia de señalización (es decir, que no permiten la comunicación más rápida que la luz), y se ha dedicado mucha investigación a la cuestión de por qué sucede esto.

Los límites de Tsirelson reciben su nombre de Boris S. Tsirelson (o Cirel'son, en una transliteración diferente ), quien los derivó por primera vez. ^{[ 1 ]}

La primera cota de Tsirelson se derivó como una cota superior en las correlaciones medidas en la desigualdad CHSH . Establece que si tenemos cuatro observables dicotómicos ( hermíticos )${\displaystyle A_{0}}$,${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle B_{0}}$,${\displaystyle B_{1}}$(es decir, dos observables para Alice y dos para Bob ) con resultados${\displaystyle +1,-1}$de tal manera que${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$a pesar de${\displaystyle i,j}$, entonces

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.}$

Para comparar, en el caso clásico (o caso realista local) el límite superior es 2, mientras que si cualquier asignación arbitraria de${\displaystyle +1,-1}$Está permitido, es 4. El límite de Tsirelson ya se alcanza si Alice y Bob realizan cada uno mediciones en un cúbit , el sistema cuántico no trivial más simple.

Existen varias pruebas de esta cota, pero quizás la más esclarecedora se basa en la identidad de Khalfin-Tsirelson-Landau. Si definimos un observable

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

y${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$, es decir, si los resultados de los observables son${\displaystyle +1,-1}$, entonces

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

Si${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$o${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$, que puede considerarse el caso clásico, ya se deduce que${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$En el caso cuántico, solo necesitamos observar que${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$y el límite de Tsirelson${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$sigue.

Tsirelson también demostró que para cualquier desigualdad de Bell bipartita de correlación completa con m entradas para Alice y n entradas para Bob, la razón entre la cota de Tsirelson y la cota local es como máximo ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$ dónde ${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$ y${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$es la constante de Grothendieck de orden d . ^{[ 2 ]} Nótese que dado que${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$, este límite implica el resultado anterior sobre la desigualdad CHSH.

En general, obtener una cota de Tsirelson para una desigualdad de Bell dada es un problema difícil que debe resolverse caso por caso. Ni siquiera se sabe si es decidible. El mejor método computacional conocido para acotarla superiormente es una jerarquía convergente de programas semidefinidos , la jerarquía NPA, que en general no se detiene. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Se conocen los valores exactos para algunas desigualdades de Bell más:

Para las desigualdades de Braunstein-Caves tenemos que

${\displaystyle \langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

Para las desigualdades WWŻB, la cota de Tsirelson es

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

Para el${\displaystyle I_{3322}}$desigualdad ^{[ 5 ]} la cota de Tsirelson no se conoce con exactitud, pero las realizaciones concretas dan una cota inferior de0,250 875 384 514 , ^{[ 6 ]} y la jerarquía NPA proporciona un límite superior de0,250 875 384 513 9766 . ^{[ 7 ]} Se conjetura que solo los estados cuánticos de dimensión infinita pueden alcanzar el límite de Tsirelson.

Se ha dedicado una investigación significativa a encontrar un principio físico que explique por qué las correlaciones cuánticas solo llegan hasta el límite de Tsirelson y no más allá. Se han encontrado tres de estos principios: la ausencia de ventaja para la computación no local, ^{[ 8 ]} la causalidad de la información ^{[ 9 ]} y la localidad macroscópica. ^{[ 10 ]} Es decir, si se pudiera lograr una correlación CHSH que excediera el límite de Tsirelson, todos estos principios se violarían. El límite de Tsirelson también se deduce si el experimento de Bell admite una medida cuántica fuertemente positiva. ^{[ 11 ]}

Hay dos maneras diferentes de definir la cota de Tsirelson de una expresión de Bell. Una exige que las mediciones estén en una estructura de producto tensorial, y la otra exige solo que conmuten. El problema de Tsirelson es la cuestión de si estas dos definiciones son equivalentes. Más formalmente, sea

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

ser una expresión de Bell, donde${\displaystyle p(ab|xy)}$es la probabilidad de obtener resultados${\displaystyle a,b}$con la configuración${\displaystyle x,y}$El límite de Tsirelson del producto tensorial es entonces el supremo del valor alcanzado en esta expresión de Bell al realizar mediciones.${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$y${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$en un estado cuántico${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$:

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

La cota de Tsirelson conmutativa es el supremo del valor alcanzado en esta expresión de Bell al realizar mediciones.${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$y${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$de tal manera que${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$en un estado cuántico${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Dado que las álgebras de producto tensorial en particular conmutan,${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$. En dimensiones finitas, las álgebras conmutativas son siempre isomorfas a (sumas directas de) álgebras de producto tensorial, ^{[ 12 ]} por lo que solo para dimensiones infinitas es posible que${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$El problema de Tsirelson es la cuestión de si para todas las expresiones de Bell${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$.

Esta cuestión fue considerada por primera vez por Boris Tsirelson en 1993, donde afirmó sin pruebas que${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$[ ^{13 ]} Al pedírsele una demostración Antonio Acín en 2006, se dio cuenta de que la que tenía en mente no funcionaba y planteó la cuestión como un problema abierto . ^{[ 14 ]} Acin, Miguel Navascués y Stefano Pironio desarrollaron una jerarquía de programas semidefinidos, generalizando la jerarquía de suma de cuadrados a variables no conmutativas, que converge a la cota de Tsirelson conmutativa ^.${\displaystyle T_{c}}$desde arriba, ^{[ 4 ]} y quería saber si también convergía al límite de Tsirelson del producto tensorial${\displaystyle T_{t}}$, la más relevante desde el punto de vista físico.

Dado que se puede producir una secuencia convergente de aproximaciones a${\displaystyle T_{t}}$desde abajo considerando estados y observables de dimensión finita, si${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$, entonces este procedimiento se puede combinar con la jerarquía NPA para producir un algoritmo de parada para calcular la cota de Tsirelson, convirtiéndola en un número computable (tenga en cuenta que, de forma aislada, ninguno de los procedimientos se detiene en general). Por el contrario, si${\displaystyle T_{t}}$no es computable, entonces${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$En enero de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright y Yuen afirmaron haber demostrado que${\displaystyle T_{t}}$no es computable, resolviendo así el problema de Tsirelson en negativo. ^{[ 15 ]} Se ha demostrado que el problema de Tsirelson es equivalente al problema de incrustación de Connes , ^{[ 16 ]} por lo que la misma prueba también implica que el problema de incrustación de Connes es falso. ^{[ 17 ]}

• No localidad cuántica
• Teorema de Bell
• paradoja de la EPR
• Desigualdad de CHSH
• Pseudotelepatía cuántica