dominio del tubo

En matemáticas , un dominio tubular es una generalización de la noción de franja vertical (o semiplano ) en el plano complejo a varias variables complejas . Una franja puede considerarse como el conjunto de números complejos cuya parte real se encuentra en un subconjunto dado de la recta real y cuya parte imaginaria no está restringida; de igual modo, un tubo es el conjunto de vectores complejos cuya parte real se encuentra en algún conjunto dado de vectores reales y cuya parte imaginaria no está restringida.

Los dominios de tubo son dominios de la transformada de Laplace de una función de varias variables reales (véase transformada de Laplace multidimensional ). Los espacios de Hardy en tubos se pueden definir de manera que una versión del teorema de Paley-Wiener de una variable siga siendo válida, y caracteriza los elementos de los espacios de Hardy como las transformadas de Laplace de funciones con propiedades de integrabilidad apropiadas. Los tubos sobre conjuntos convexos son dominios de holomorfía . Los espacios de Hardy en tubos sobre conos convexos tienen una estructura especialmente rica, de modo que se conocen resultados precisos sobre los valores de frontera de las funciones H ^p . En física matemática, el tubo futuro es el dominio de tubo asociado al interior del cono nulo pasado en el espacio de Minkowski , y tiene aplicaciones en la teoría de la relatividad y la gravedad cuántica . ^{[ 1 ]} Ciertos tubos sobre conos admiten una métrica de Bergman en términos de la cual se convierten en dominios simétricos acotados . Uno de estos es el semiespacio de Siegel que es fundamental en aritmética .

Sea R ⁿ el espacio de coordenadas reales de dimensión n y C ⁿ el espacio de coordenadas complejas . Entonces, cualquier elemento de C ⁿ puede descomponerse en partes real e imaginaria:

${\displaystyle a=(z_{1},\dots ,z_{n})=(x_{1}+iy_{1},\dots ,x_{n}+iy_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})+i(y_{1},\dots ,y_{n})=x+iy.}$

Sea A un subconjunto abierto de R ⁿ . El tubo sobre A , denotado T _A , es el subconjunto de C ⁿ que consta de todos los elementos cuyas partes reales se encuentran en A : ^{[ 2 ] [ a ]}

${\displaystyle T_{A}=\{z=x+iy\in \mathbb {C} ^{n}\mid x\in A\}.}$

Supongamos que A es un conjunto abierto conexo. Entonces, cualquier función de valores complejos que sea holomorfa en un tubo T _A puede extenderse de forma única a una función holomorfa en la envoltura convexa del tubo ch T _A , ^{[ 2 ]} que también es un tubo, y de hecho

${\displaystyle \operatorname {ch} \,T_{A}=T_{\operatorname {ch} \,A}.}$

Dado que cualquier conjunto abierto convexo es un dominio de holomorfía ( holomórficamente convexo ), un tubo convexo también es un dominio de holomorfía. Por lo tanto, la envoltura holomorfa de cualquier tubo es igual a su envolvente convexa. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Sea A un conjunto abierto en R ⁿ . El espacio de Hardy H ^p ( T _A ) es el conjunto de todas las funciones holomorfas F en T _A tales que 

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x+iy)|^{p}\,dy<\infty }$

para todo x en A .

En el caso especial de p  =  2, las funciones en H ² ( T _A ) se pueden caracterizar de la siguiente manera. ^{[ 5 ]} Sea ƒ una función de valor complejo en R ⁿ que satisface

${\displaystyle \sup _{x\in A}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}e^{-4\pi x\cdot t}\,dt<\infty .}$

La transformada de Fourier-Laplace de ƒ se define por

${\displaystyle F(x+iy)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi z\cdot t}f(t)\,dt.}$

Entonces F está bien definido y pertenece a H ² ( T _A ). Recíprocamente, cada elemento de H ² ( T _A ) tiene esta forma.

Un corolario de esta caracterización es que H ² ( T _A ) contiene una función distinta de cero si y solo si A no contiene ninguna línea recta.

• dominio de Reinhardt
• dominio de Siegel