Teselado de rombos

En geometría , el teselado de rombos , ^{[ 1 ]} también conocido como bloques que se caen , ^{[ 2 ]} cubos reversibles o retículo de dados , es una teselación de rombos idénticos de 60° en el plano euclidiano . Cada rombo tiene dos ángulos de 60° y dos de 120° ; a los rombos con esta forma también se les llama a veces diamantes . Los conjuntos de tres rombos se encuentran en sus ángulos de 120°, y los conjuntos de seis rombos se encuentran en sus ángulos de 60°.

El teselado de rombos puede considerarse una subdivisión de un teselado hexagonal , donde cada hexágono se divide en tres rombos que convergen en su centro. Esta subdivisión representa un teselado compuesto regular . También puede interpretarse como una subdivisión de cuatro teselados hexagonales, donde cada hexágono se divide en doce rombos.

Las diagonales de cada rombo están en la proporción 1: √ 3. Este es el teselado dual del teselado trihexagonal o red de kagome . Como dual de un teselado uniforme , es uno de los once teselados de Laves posibles , y en la configuración de caras para teselados monoédricos se denota [3.6.3.6]. ^{[ 4 ]}

También es uno de los 56 posibles teselados isoédricos por cuadriláteros, ^{[ 5 ]} y uno de los únicos ocho teselados del plano en los que cada arista se encuentra sobre una línea de simetría del teselado. ^{[ 6 ]}

Es posible incrustar el teselado de rombos en un subconjunto de una red entera tridimensional , que consta de los puntos ( x , y , z ) con | x  + y + z | ≤ 1, de tal manera que dos vértices son adyacentes si y solo si los puntos de la red correspondientes están a una distancia unitaria entre sí, y más aún, de tal manera que el número de aristas en el camino más corto entre dos vértices cualesquiera del teselado sea igual a la distancia de Manhattan entre los puntos de la red correspondientes. Por lo tanto, el teselado de rombos puede considerarse un ejemplo de un grafo de distancia unitaria infinita y un cubo parcial . ^{[ 7 ]}     

El teselado de rombos puede interpretarse como una proyección isométrica de un conjunto de cubos de dos maneras diferentes, formando una figura reversible relacionada con el cubo de Necker . En este contexto se conoce como la ilusión de los "cubos reversibles". ^{[ 8 ]}

En las obras de MC Escher Metamorfosis I , Metamorfosis II y Metamorfosis III , Escher utiliza esta interpretación del mosaico como una forma de transformarse entre formas bidimensionales y tridimensionales. ^{[ 9 ]} En otra de sus obras, Ciclo (1938), Escher juega con la tensión entre la bidimensionalidad y la tridimensionalidad de este mosaico: en ella dibuja un edificio que tiene grandes bloques cúbicos como elementos arquitectónicos (dibujados isométricamente) y un patio en el piso superior embaldosado con el mosaico de rombos. Una figura humana desciende del patio pasando los cubos, volviéndose más estilizada y bidimensional a medida que lo hace. ^{[ 10 ]} Estas obras implican solo una única interpretación tridimensional del mosaico, pero en Convexo y Cóncavo Escher experimenta con figuras reversibles de manera más general, e incluye una representación de la ilusión de los cubos reversibles en una bandera dentro de la escena. ^{[ 11 ]}

El mosaico de rombos también se utiliza como diseño para parquet ^{[ 12 ]} y para revestimiento de suelos o paredes, a veces con variaciones en las formas de sus rombos. ^{[ 13 ]} Aparece en mosaicos de suelos de la antigua Grecia de Delos ^{[ 14 ]} y en revestimientos de suelos italianos del siglo XI, ^{[ 15 ]} aunque los azulejos con este patrón en la Catedral de Siena son de una época más reciente. ^{[ 16 ]} En el patchwork , se le conoce desde la década de 1850 como el patrón de "bloques que caen", en referencia a la disonancia visual causada por su interpretación tridimensional duplicada. ^{[ 2 ] [ 15 ] [ 17 ]} Como patrón de patchwork también tiene muchos otros nombres, entre ellos cubework, heavenly steps y Pandora's box. ^{[ 17 ]} Se ha sugerido que el patrón de bloques en cascada de la colcha se usaba como señal en el Ferrocarril Subterráneo : cuando los esclavos la veían colgada en una cerca, debían empacar sus pertenencias y escapar. Véase Quilts of the Underground Railroad . ^{[ 18 ]} En estas aplicaciones decorativas, los rombos pueden aparecer en varios colores, pero normalmente se les da tres niveles de sombreado, más brillante para los rombos con diagonales largas horizontales y más oscuro para los rombos con las otras dos orientaciones, para realzar su apariencia de tridimensionalidad. Hay un único ejemplo conocido de rombos implícitos y teselado trihexagonal en la heráldica inglesa : en el escudo de armas de Geal/e. ^{[ 19 ]}

El teselado de rombos puede considerarse como el resultado de superponer dos teselados hexagonales diferentes, trasladados de manera que algunos de los vértices de un teselado coincidan con los centros de los hexágonos del otro. Por lo tanto, puede utilizarse para definir autómatas celulares de bloques en los que las celdas del autómata son los rombos de un teselado de rombos y los bloques, en pasos alternos del autómata, son los hexágonos de los dos teselados hexagonales superpuestos. En este contexto, se le denomina «vecindario Q*bert», en referencia al videojuego Q*bert, que presentaba una vista isométrica de una pirámide de cubos como campo de juego. El vecindario Q*bert puede utilizarse para sustentar la computación universal mediante una simulación de ordenadores de bolas de billar . ^{[ 20 ]}

En física de la materia condensada , el teselado de rombos se conoce como red de dados , red de dados o red de kagome dual . Es una de las diversas estructuras repetitivas utilizadas para investigar los modelos de Ising y sistemas relacionados de interacciones de espín en cristales diatómicos , ^{[ 21 ]} y también se ha estudiado en la teoría de la percolación . ^{[ 22 ]}

Teselaciones combinatoriamente equivalentes mediante paralelogramos

El teselado de rombos es el dual del teselado trihexagonal . Es una de las muchas maneras diferentes de teselar el plano con rombos congruentes. Otras incluyen una variación aplanada diagonalmente del teselado cuadrado (con simetría traslacional en los cuatro lados de los rombos), el teselado utilizado por el patrón de plegado Miura-ori (que alterna entre simetría traslacional y reflexiva), y el teselado de Penrose que utiliza dos tipos de rombos con ángulos agudos de 36° y 72° de forma aperiódica . Cuando se permite más de un tipo de rombo, son posibles teselados adicionales, incluyendo algunos que son topológicamente equivalentes al teselado de rombos pero con menor simetría.

Los teselados combinatoriamente equivalentes al teselado de rombos también pueden realizarse mediante paralelogramos, y pueden interpretarse como proyecciones axonométricas de escalones cúbicos tridimensionales.

Solo existen ocho teselaciones de aristas , recubrimientos del plano con la propiedad de que al reflejar cualquier tesela a través de cualquiera de sus aristas se obtiene otra tesela; una de ellas es el recubrimiento de rombos. ^{[ 6 ]}

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  El teselado romboidal superpuesto a su dual, el teselado trihexagonal .
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  Mosaico de suelo de baldosas romboidales en Delos
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  Patrón de rombos en el suelo de la catedral de Siena.
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  Baldosas romboidales en la terminal de cruceros de Tallin, Estonia.
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  Un bayong , una cesta tradicional filipina tejida con hojas de karagumoy ( Pandanus simplex ) en el patrón hexagonal kinab-anan

• Teselado mediante polígonos regulares

• Keith Critchlow, Orden en el espacio: Un libro de referencia de diseño , 1970, págs.  77–76, patrón 1