La fórmula autorreferencial de Tupper

La fórmula autorreferencial de Tupper es una fórmula que se representa visualmente a sí misma cuando se grafica en una ubicación específica en el plano ( x , y ).

La fórmula fue definida por Jeff Tupper y aparece como ejemplo en su artículo de SIGGRAPH de 2001 sobre algoritmos confiables de graficación informática bidimensional. ^{[ 1 ]} Este artículo analiza métodos relacionados con el programa de graficación de fórmulas GrafEq desarrollado por Tupper. ^{[ 2 ]}

La fórmula es una desigualdad definida como:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {\frac {y}{17}}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} \left(\lfloor y\rfloor ,17\right)},2\right)\right\rfloor }$$ dónde${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$denota la función piso , y mod es la operación módulo .

Dejar${\displaystyle k}$es igual al siguiente número entero de 543 dígitos:

960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660 129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719

Representación gráfica del conjunto de puntos${\displaystyle (x,y)}$en${\displaystyle 0\leq x<106}$y${\displaystyle k\leq y<k+17}$que satisfacen la fórmula, da como resultado el siguiente gráfico: ^{[ nota 1 ]}

La fórmula es un método de propósito general para decodificar un mapa de bits almacenado en la constante.${\displaystyle k}$y podría usarse para dibujar cualquier otra imagen. Cuando se aplica al rango positivo ilimitado${\displaystyle 0\leq y}$La fórmula recubre una franja vertical del plano con un patrón que contiene todos los mapas de bits posibles de 17 píxeles de altura. Una sección horizontal de ese mapa de bits infinito representa la fórmula de dibujo, ya que las demás secciones representan todas las demás fórmulas posibles que podrían caber en un mapa de bits de 17 píxeles de altura. Tupper ha creado versiones extendidas de su fórmula original que excluyen todas las secciones excepto una. ^{[ 3 ]}

La constante${\displaystyle k}$es una simple imagen de mapa de bits monocromática de la fórmula tratada como un número binario y multiplicada por 17. Si${\displaystyle k}$se divide por 17, el bit menos significativo codifica la esquina superior derecha${\displaystyle (k,0)}$; los 17 bits menos significativos codifican la columna de píxeles más a la derecha; los siguientes 17 bits menos significativos codifican la segunda columna más a la derecha, y así sucesivamente.

Describe fundamentalmente una forma de trazar puntos en una superficie bidimensional. El valor de${\displaystyle k}$es el número cuyos dígitos binarios forman la gráfica. La siguiente gráfica demuestra la suma de diferentes${\displaystyle k}$valores. En el cuarto subgráfico, se suma el valor k de "AFGP" y "Aesthetic Function Graph" para obtener el gráfico resultante, donde ambos textos se pueden ver con cierta distorsión debido a los efectos de la suma binaria. La información sobre la forma del gráfico se almacena dentro${\displaystyle k}$. ^{[ 4 ]}

• Recursión : proceso de repetir elementos de forma autosimilar. 
• Bucle extraño : ciclos que recorren una jerarquía. 

• Sitio web oficial de Jeff Tupper
• Extensiones de la fórmula autorreferencial original de Tupper
• Fórmula autorreferencial de Tupper en Rosetta Code , implementación en varios lenguajes de programación.
• TupperPlot , una implementación en JavaScript
• Fórmula autorreferencial de Tupper , una implementación en Python.
• La función de la Biblioteca de Babel , una explicación detallada del funcionamiento de la fórmula autorreferencial de Tupper.
• Tupper's Formula Tools , una implementación en JavaScript
• La fórmula de Trávník que se acerca al origen