Difusión turbulenta

La dispersión atmosférica, ^{[ 3 ]} o difusión, estudia cómo se mezclan los contaminantes en el medio ambiente. Este proceso de modelado incluye muchos factores, como el nivel o niveles de la atmósfera donde se produce la mezcla, la estabilidad del entorno y el tipo de contaminante y fuente que se mezcla. Los modelos euleriano y lagrangiano (que se describen más adelante) se han utilizado para simular la difusión atmosférica y son importantes para comprender adecuadamente cómo reaccionan y se mezclan los contaminantes en diferentes entornos. Ambos modelos tienen en cuenta el viento vertical y horizontal, e integran además la teoría de difusión de Fick para considerar la turbulencia. Si bien estos métodos deben utilizar condiciones ideales y realizar numerosas suposiciones, actualmente es difícil calcular con mayor precisión los efectos de la difusión turbulenta sobre los contaminantes. La teoría de difusión de Fick y los avances en la investigación sobre la difusión atmosférica pueden aplicarse para modelar los efectos que las tasas actuales de emisión de contaminantes de diversas fuentes tienen sobre la atmósfera. ^{[ 4 ]}

Mediante procesos de fluorescencia inducida por láser planar (PLIF) y velocimetría de imágenes de partículas (PIV), se ha llevado a cabo una investigación continua sobre los efectos de la difusión turbulenta en las llamas. Las principales áreas de estudio incluyen sistemas de combustión en quemadores de gas utilizados para la generación de energía y reacciones químicas en llamas de difusión de chorro que involucran metano (CH₄ ₎ , hidrógeno (H₂ ₎ y nitrógeno (N₂ ₎ . ^{[ 5 ]} Además, se ha utilizado la imagen de temperatura de Rayleigh de doble pulso para correlacionar los sitios de extinción e ignición con los cambios de temperatura y la mezcla de sustancias químicas en las llamas. ^{[ 6 ]}

El enfoque euleriano de la difusión turbulenta se centra en un volumen infinitesimal en un espacio y tiempo específicos dentro de un marco de referencia fijo, donde se miden propiedades físicas como la masa, el momento y la temperatura. ^{[ 7 ]} El modelo es útil porque las estadísticas eulerianas son consistentemente medibles y ofrecen una gran aplicación a las reacciones químicas. De manera similar a los modelos moleculares, debe satisfacer los mismos principios que la ecuación de continuidad que se muestra a continuación (donde la advección de un elemento o especie se equilibra con su difusión, generación por reacción y adición desde otras fuentes o puntos) y las ecuaciones de Navier-Stokes :

${\displaystyle {\partial c_{i} \over \partial t}+{\partial \over \partial x_{j}}(u_{j}c_{i})=D_{i}{\partial ^{2}c_{i} \over \partial x_{j}\partial x_{j}}+R_{i}(c_{1},...,c_{N},T)+S_{i}(x,t)}$

${\displaystyle {i=1,2,...,N}}$

dónde${\displaystyle c_{i}}$= concentración de especies de interés,${\displaystyle u_{j}}$= velocidad t = tiempo,${\displaystyle x_{j}}$= dirección,${\displaystyle D_{i}}$= constante de difusión molecular,${\displaystyle R_{i}}$= tasa de${\displaystyle c_{i}}$reacción generada,${\displaystyle S_{i}}$= tasa de${\displaystyle c_{i}}$generado por la fuente. ^{[ 8 ]} Tenga en cuenta que ${\displaystyle c_{i}}$es la concentración por unidad de volumen, y no es la relación de mezcla (${\displaystyle kg/kg}$) en un fluido de fondo.

Si consideramos una especie inerte (sin reacción) sin fuentes y suponemos que la difusión molecular es despreciable, solo sobreviven los términos de advección del lado izquierdo de la ecuación. La solución a este modelo parece trivial al principio; sin embargo, hemos ignorado el componente aleatorio de la velocidad más la velocidad promedio en u _j = ū + u _j ' que se asocia típicamente con el comportamiento turbulento. A su vez, la solución de concentración para el modelo euleriano también debe tener un componente aleatorio c _j = c + c _j '. Esto resulta en un problema de cierre de variables y ecuaciones infinitas y hace imposible resolver para un c _i definido bajo las suposiciones establecidas. ^{[ 9 ]}

Afortunadamente, existe una aproximación de cierre al introducir el concepto de difusividad turbulenta y sus aproximaciones estadísticas para los componentes aleatorios de concentración y velocidad de la mezcla turbulenta:

${\displaystyle \langle u_{j}'c'\rangle =-K_{jj}{\partial (c) \over \partial x_{j}}}$

donde K _jj es la difusividad turbulenta. ^{[ 8 ]}

Sustituyendo en la primera ecuación de continuidad e ignorando las reacciones, las fuentes y la difusión molecular, se obtiene la siguiente ecuación diferencial considerando únicamente la aproximación de difusión turbulenta en la difusión por remolinos:

${\displaystyle {\partial c_{i} \over \partial t}+{\overline {u}}_{j}{\partial (c) \over \partial x_{j}}={\partial \over \partial x_{j}}{\bigg (}K_{jj}{\partial (c) \over \partial x_{j}}{\bigg )}}$

A diferencia de la constante de difusión molecular D, la difusividad turbulenta es una expresión matricial que puede variar en el espacio y, por lo tanto, no puede tomarse fuera de la derivada externa.

El modelo lagrangiano para la difusión turbulenta utiliza un marco de referencia móvil para seguir las trayectorias y desplazamientos de las especies a medida que se mueven y sigue las estadísticas de cada partícula individualmente. ^{[ 7 ]} Inicialmente, la partícula se encuentra en una ubicación x ' (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en el tiempo t '. El movimiento de la partícula se describe por su probabilidad de existir en un elemento de volumen específico en el tiempo t , que se describe por Ψ (x ₁ , x ₂ , x ₃ , t ) dx ₁ dx ₂ dx ₃ = Ψ ( x , t )d x que sigue la función de densidad de probabilidad (pdf) tal que:

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} ',{\mathit {t}}'){\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} ',{\mathit {t}}')d\mathbf {x} '}$ Donde la función Q es la densidad probable para la transición de partículas.

La concentración de partículas en una ubicación x y un tiempo t se puede calcular sumando las probabilidades del número de partículas observadas de la siguiente manera:

${\displaystyle \langle c(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})\rangle =\sum _{i=1}^{m}{\boldsymbol {\psi }}_{i}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})}$

Lo cual se evalúa luego volviendo a la integral de la pdf ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \langle c(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})\rangle ==\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} _{0},{\mathit {t}}_{0})\langle c(\mathbf {x} _{0},{\mathit {t}}_{0})\rangle d\mathbf {x} _{0}+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t_{0}}^{t}{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} ',{\mathit {t}}'){\mathit {S}}(\mathbf {x} ',{\mathit {t}}')d{\mathit {t}}d\mathbf {x} '}$

De este modo, este método se utiliza para evaluar la posición y la velocidad de las partículas en relación con sus vecinas y el entorno, y aproxima las concentraciones y velocidades aleatorias asociadas a la difusión turbulenta en las estadísticas de su movimiento.

La solución resultante para resolver las ecuaciones finales enumeradas anteriormente, tanto para el modelo euleriano como para el lagrangiano, en el análisis de las estadísticas de especies en flujo turbulento, produce expresiones muy similares para calcular la concentración promedio en una ubicación a partir de una fuente continua. Ambas soluciones generan una pluma gaussiana y son prácticamente idénticas bajo el supuesto de que las varianzas en las direcciones x, y, z están relacionadas con la difusividad turbulenta.

${\displaystyle \langle c(x,y,z)\rangle ={\frac {q}{2\pi \sigma _{y}\sigma _{z}}}\exp {\bigg [}-{\bigg (}{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma _{z}^{2}}}{\bigg )}{\bigg ]}}$

dónde${\displaystyle \sigma _{y}^{2}={\frac {2K_{yy}x}{\overline {u}}}\sigma _{z}^{2}={\frac {2K_{zz}x}{\overline {u}}}}$

q = tasa de emisión de especies, u = velocidad del viento, σ _i ² = varianza en la dirección i . ^{[ 8 ]}

Bajo diversas condiciones externas, como la velocidad del flujo direccional (viento) y las condiciones ambientales, se miden las varianzas y difusividades de la difusión turbulenta y se utilizan para calcular una buena estimación de las concentraciones en un punto específico de una fuente. Este modelo es muy útil en las ciencias atmosféricas, especialmente al tratar con concentraciones de contaminantes en la contaminación del aire que emanan de fuentes como chimeneas de combustión, ríos o filas de automóviles en una carretera. ^{[ 2 ]}