Turbulencia

En dinámica de fluidos , la turbulencia o flujo turbulento es un movimiento de fluido que presenta cambios caóticos en la presión y la velocidad del flujo . Se diferencia del flujo laminar , que ocurre cuando un fluido fluye en capas paralelas sin interrupción entre ellas. ^{[ 1 ]}

La turbulencia se observa comúnmente en fenómenos cotidianos como el oleaje , los ríos caudalosos, las nubes de tormenta ondulantes o el humo de una chimenea, y la mayoría de los flujos de fluidos que ocurren en la naturaleza o creados en aplicaciones de ingeniería son turbulentos. ^{[ 2 ] [ 3 ] : 2} La turbulencia es causada por una energía cinética excesiva en partes de un flujo de fluido, que supera el efecto de amortiguación de la viscosidad del fluido. Por esta razón, la turbulencia se realiza comúnmente en fluidos de baja viscosidad. En términos generales, en el flujo turbulento, aparecen vórtices inestables de muchos tamaños que interactúan entre sí, en consecuencia, aumenta la resistencia debido a los efectos de fricción.

El inicio de la turbulencia puede predecirse mediante el número de Reynolds adimensional , que representa la relación entre la energía cinética y la amortiguación viscosa en un flujo de fluido. Sin embargo, la turbulencia se ha resistido durante mucho tiempo a un análisis físico detallado, y las interacciones dentro de ella crean un fenómeno muy complejo. El físico Richard Feynman describió la turbulencia como el problema sin resolver más importante de la física clásica. ^{[ 4 ]}

La intensidad de la turbulencia afecta a muchos campos, por ejemplo la ecología de los peces, ^{[ 5 ]} la contaminación del aire, ^{[ 6 ]} la precipitación, ^{[ 7 ]} y el cambio climático. ^{[ 8 ]}

• Humo que se eleva de un cigarrillo . Durante los primeros centímetros, el humo es laminar . La columna de humo se vuelve turbulenta a medida que aumenta su número de Reynolds con el incremento de la velocidad del flujo y la escala de longitud característica.
• Flujo sobre una pelota de golf . (Esto se entiende mejor considerando que la pelota está inmóvil y que el aire fluye sobre ella). Si la pelota fuera lisa, el flujo de la capa límite sobre la parte frontal de la esfera sería laminar en condiciones típicas. Sin embargo, la capa límite se separaría prematuramente, ya que el gradiente de presión pasaría de ser favorable (disminuyendo la presión en la dirección del flujo) a desfavorable (aumentando la presión en la dirección del flujo), creando una gran región de baja presión detrás de la pelota que genera una alta resistencia de forma . Para evitar esto, la superficie tiene hoyuelos para perturbar la capa límite y promover la turbulencia. Esto resulta en una mayor fricción superficial, pero desplaza el punto de separación de la capa límite más lejos, lo que resulta en una menor resistencia.
• La turbulencia en aire claro que se experimenta durante el vuelo en avión, así como la mala visibilidad astronómica (la visión borrosa de las imágenes que se ven a través de la atmósfera).
• La mayor parte de la circulación atmosférica terrestre .
• Las capas mixtas oceánicas y atmosféricas y las intensas corrientes oceánicas.
• Las condiciones de flujo en muchos equipos industriales (como tuberías, conductos, precipitadores, depuradores de gas , intercambiadores de calor de superficie rascada dinámica , etc.) y máquinas (por ejemplo, motores de combustión interna y turbinas de gas ).
• El flujo externo sobre todo tipo de vehículos, como automóviles, aviones, barcos y submarinos.
• Los movimientos de la materia en las atmósferas estelares.
• Un chorro sale de una boquilla hacia un fluido en reposo. Al emerger el flujo en este fluido externo, se crean capas de cizallamiento que se originan en los bordes de la boquilla. Estas capas separan el chorro de alta velocidad del fluido externo y, a un cierto número de Reynolds crítico, se vuelven inestables y se descomponen en turbulencia.
• La turbulencia generada biológicamente como resultado de la natación de los animales afecta la mezcla del océano. ^{[ 9 ]}
• Las barreras para la nieve funcionan induciendo turbulencias en el viento, lo que obliga a este a depositar gran parte de su carga de nieve cerca de la barrera.
• Pilares de puentes sumergidos en agua. Cuando la corriente del río es lenta, el agua fluye suavemente alrededor de los pilares. Cuando la corriente es más rápida, el número de Reynolds es mayor. El flujo puede comenzar siendo laminar, pero se separa rápidamente del pilar y se vuelve turbulento.
• En muchos flujos geofísicos (ríos, capa límite atmosférica), la turbulencia del flujo está dominada por estructuras coherentes y eventos turbulentos. Un evento turbulento es una serie de fluctuaciones turbulentas que contienen más energía que la turbulencia promedio del flujo. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Los eventos turbulentos están asociados con estructuras de flujo coherentes como remolinos y estallidos turbulentos, y desempeñan un papel crítico en términos de erosión, acumulación y transporte de sedimentos en ríos, así como en la mezcla y dispersión de contaminantes en ríos y estuarios, y en la atmósfera.

• En cardiología , se utiliza un estetoscopio para detectar los sonidos cardíacos y los soplos , que se producen por el flujo sanguíneo turbulento. En personas sanas, los sonidos cardíacos son producto del flujo turbulento que se produce al cerrarse las válvulas cardíacas. Sin embargo, en algunas afecciones, el flujo turbulento puede ser audible debido a otras causas, algunas de ellas patológicas. Por ejemplo, en la aterosclerosis avanzada , se pueden oír soplos (y, por lo tanto, flujo turbulento) en algunos vasos que se han estrechado debido a la enfermedad.
• Recientemente, la turbulencia en medios porosos se convirtió en un tema muy debatido. ^{[ 12 ]}
• Las estrategias que utilizan los animales para la navegación olfativa, y su éxito, están fuertemente influenciadas por la turbulencia que afecta la columna de olor. ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• Los flujos piroclásticos , uno de los peligros más letales y destructivos de las erupciones volcánicas, compuestos de gas caliente y materia volcánica que se mueve a gran velocidad, experimentan turbulencia. Compuestos por componentes químicamente diversos, los flujos piroclásticos presentan distribuciones heterogéneas en características físicas como la temperatura, la densidad y la velocidad de flujo. Estas diferencias promueven la mezcla turbulenta dentro de los propios flujos, así como con el entorno externo a medida que descienden por las laderas volcánicas. La mezcla turbulenta permite, con el tiempo, una mayor homogeneidad dentro de los flujos piroclásticos. ^{[ 15 ]}

La turbulencia se caracteriza por las siguientes características:

Irregularidad

Los flujos turbulentos son siempre muy irregulares. Por ello, los problemas de turbulencia suelen tratarse estadísticamente en lugar de deterministamente. El flujo turbulento es caótico. Sin embargo, no todos los flujos caóticos son turbulentos.

Difusividad

El suministro de energía fácilmente disponible en flujos turbulentos tiende a acelerar la homogeneización (mezcla) de las mezclas de fluidos. La característica responsable de la mayor mezcla y el aumento de las tasas de transporte de masa, momento y energía en un flujo se denomina "difusividad". ^{[ 16 ]}

La difusión turbulenta se describe generalmente mediante un coeficiente de difusión turbulenta . Este coeficiente se define fenomenológicamente, por analogía con las difusividades moleculares, pero carece de un significado físico real, ya que depende de las condiciones del flujo y no es una propiedad del fluido en sí. Además, el concepto de difusividad turbulenta presupone una relación constitutiva entre un flujo turbulento y el gradiente de una variable media, similar a la relación entre flujo y gradiente que existe en el transporte molecular. En el mejor de los casos, esta suposición es solo una aproximación. Sin embargo, la difusividad turbulenta es el método más sencillo para el análisis cuantitativo de flujos turbulentos, y se han propuesto numerosos modelos para calcularla. Por ejemplo, en grandes masas de agua como los océanos, este coeficiente se puede obtener mediante la ley de potencia de cuatro tercios de Richardson y se rige por el principio de paseo aleatorio . En ríos y grandes corrientes oceánicas, el coeficiente de difusión se obtiene mediante variaciones de la fórmula de Elder.

Rotacionalidad

Los flujos turbulentos tienen vorticidad no nula y se caracterizan por un fuerte mecanismo de generación de vórtices tridimensional conocido como estiramiento de vórtices . En dinámica de fluidos, son esencialmente vórtices sometidos a estiramiento asociado con un aumento correspondiente de la componente de vorticidad en la dirección de estiramiento, debido a la conservación del momento angular. Por otro lado, el estiramiento de vórtices es el mecanismo central en el que se basa la cascada de energía de la turbulencia para establecer y mantener una función de estructura identificable. ^{[ 17 ]} En general, el mecanismo de estiramiento implica el adelgazamiento de los vórtices en la dirección perpendicular a la dirección de estiramiento debido a la conservación del volumen de los elementos del fluido. Como resultado, la escala de longitud radial de los vórtices disminuye y las estructuras de flujo más grandes se rompen en estructuras más pequeñas. El proceso continúa hasta que las estructuras de pequeña escala son lo suficientemente pequeñas como para que su energía cinética pueda transformarse en calor por la viscosidad molecular del fluido. El flujo turbulento es siempre rotacional y tridimensional. ^{[ 17 ]} Por ejemplo, los ciclones atmosféricos son rotacionales, pero sus formas sustancialmente bidimensionales no permiten la generación de vórtices y, por lo tanto, no son turbulentos. Por otro lado, las corrientes oceánicas son dispersivas, pero esencialmente no rotacionales y, por consiguiente, no son turbulentas. ^{[ 17 ]}

Disipación

Para mantener un flujo turbulento, se requiere una fuente constante de energía, ya que la turbulencia se disipa rápidamente al convertirse la energía cinética en energía interna por la tensión de cizallamiento viscosa. La turbulencia provoca la formación de remolinos de diversas escalas de longitud. La mayor parte de la energía cinética del movimiento turbulento se concentra en las estructuras de gran escala. La energía se propaga en cascada desde estas estructuras a menor escala mediante un mecanismo inercial y esencialmente no viscoso . Este proceso continúa, creando estructuras cada vez más pequeñas que generan una jerarquía de remolinos. Finalmente, este proceso crea estructuras lo suficientemente pequeñas como para que la difusión molecular adquiera importancia y se produzca la disipación viscosa de energía. La escala en la que esto ocurre es la escala de longitud de Kolmogorov . Mediante esta cascada de energía , el flujo turbulento puede considerarse como una superposición de un espectro de fluctuaciones de velocidad y remolinos sobre un flujo medio . Los remolinos se definen, de forma general, como patrones coherentes de velocidad, vorticidad y presión del flujo. Los flujos turbulentos pueden considerarse como una jerarquía completa de remolinos en un amplio rango de escalas de longitud, y esta jerarquía puede describirse mediante el espectro de energía, que mide la energía de las fluctuaciones de la velocidad del flujo para cada escala de longitud ( número de onda ). Las escalas en la cascada de energía son generalmente incontrolables y altamente asimétricas. No obstante, en función de estas escalas de longitud, estos remolinos pueden dividirse en tres categorías.

Escala de tiempo integral

La escala de tiempo integral para un flujo lagrangiano se puede definir como:$${\displaystyle T={\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\int _ {0}^{\infty }\langle u'u'(\tau )\rangle \,d\tau }$$donde u ′ es la fluctuación de velocidad, y${\displaystyle \tau }$es el desfase temporal entre mediciones. ^{[ 18 ]}

escalas de longitud integral

Los grandes remolinos obtienen energía del flujo medio y también entre sí. Por lo tanto, estos son los remolinos de producción de energía que contienen la mayor parte de la energía. Tienen una gran fluctuación de la velocidad del flujo y son de baja frecuencia. Las escalas integrales son altamente anisotrópicas y se definen en términos de las correlaciones normalizadas de la velocidad del flujo de dos puntos. La longitud máxima de estas escalas está limitada por la longitud característica del aparato. Por ejemplo, la mayor escala de longitud integral del flujo en tuberías es igual al diámetro de la tubería. En el caso de la turbulencia atmosférica, esta longitud puede alcanzar hasta el orden de varios cientos de kilómetros. La escala de longitud integral se puede definir como$${\displaystyle L={\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(r)\rangle \,dr}$$donde r es la distancia entre dos puntos de medición y u ′ es la fluctuación de velocidad en esa misma dirección. ^{[ 18 ]}

escalas de longitud de Kolmogorov

Las escalas más pequeñas del espectro conforman la subcapa viscosa. En este rango, la energía aportada por las interacciones no lineales y la energía disipada por la viscosidad se encuentran en equilibrio exacto. Las escalas pequeñas presentan alta frecuencia, lo que provoca que la turbulencia sea localmente isotrópica y homogénea.

microescalas de Taylor

Las microescalas de Taylor, que se encuentran entre las escalas más grandes y más pequeñas, conforman el subrango inercial. No son escalas disipativas, sino que transmiten la energía de la escala más grande a la más pequeña sin disipación. Algunas publicaciones no consideran las microescalas de Taylor como una escala de longitud característica y consideran que la cascada de energía contiene únicamente las escalas más grandes y más pequeñas; mientras que estas últimas abarcan tanto el subrango inercial como la subcapa viscosa. Sin embargo, las microescalas de Taylor se utilizan con frecuencia para describir el término "turbulencia" de forma más conveniente, ya que desempeñan un papel dominante en la transferencia de energía y momento en el espacio de números de onda.

Aunque es posible encontrar algunas soluciones particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el movimiento de fluidos, todas ellas son inestables ante perturbaciones finitas a números de Reynolds elevados. La dependencia sensible de las condiciones iniciales y de contorno hace que el flujo de fluidos sea irregular tanto en el tiempo como en el espacio, por lo que se necesita una descripción estadística. El matemático ruso Andrey Kolmogorov propuso la primera teoría estadística de la turbulencia, basada en la noción de cascada de energía (una idea introducida originalmente por Richardson ) y el concepto de autosimilitud . Como resultado, las microescalas de Kolmogorov recibieron su nombre. Ahora se sabe que la autosimilitud se rompe, por lo que la descripción estadística se modifica actualmente. ^{[ 19 ]}

Una descripción completa de la turbulencia es uno de los problemas sin resolver en física . Según una historia apócrifa, a Werner Heisenberg le preguntaron qué le preguntaría a Dios si tuviera la oportunidad. Su respuesta fue: «Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la relatividad ? ¿Y por qué la turbulencia? Realmente creo que tendrá una respuesta para la primera». ^{[ 20 ] [ a ]} ​​Un ingenio similar se le ha atribuido a Horace Lamb en un discurso ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia : «Ahora soy un anciano, y cuando muera y vaya al cielo hay dos asuntos sobre los que espero obtener iluminación. Uno es la electrodinámica cuántica, y el otro es el movimiento turbulento de los fluidos. Y sobre el primero soy bastante más optimista». ^{[ 21 ] [ 22 ]}

El inicio de la turbulencia puede predecirse, hasta cierto punto, mediante el número de Reynolds , que es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas dentro de un fluido sujeto a movimiento interno relativo debido a diferentes velocidades, en lo que se conoce como capa límite en el caso de una superficie límite como el interior de una tubería. Un efecto similar se produce al introducir una corriente de fluido a mayor velocidad, como los gases calientes de una llama en el aire. Este movimiento relativo genera fricción del fluido, que es un factor en el desarrollo del flujo turbulento. La viscosidad del fluido contrarresta este efecto, ya que, a medida que aumenta, inhibe progresivamente la turbulencia, al absorber más energía cinética un fluido más viscoso. El número de Reynolds cuantifica la importancia relativa de estos dos tipos de fuerzas para determinadas condiciones de flujo y sirve de guía para predecir cuándo se producirá el flujo turbulento en una situación particular. ^{[ 23 ]}

Esta capacidad para predecir el inicio del flujo turbulento es una herramienta de diseño importante para equipos como sistemas de tuberías o alas de aeronaves, pero el número de Reynolds también se utiliza en el escalado de problemas de dinámica de fluidos y para determinar la similitud dinámica entre dos casos diferentes de flujo de fluido, como entre un modelo de aeronave y su versión a escala real. Este escalado no siempre es lineal y la aplicación de los números de Reynolds a ambas situaciones permite desarrollar factores de escala. Una situación de flujo en la que la energía cinética se absorbe significativamente debido a la acción de la viscosidad molecular del fluido da lugar a un régimen de flujo laminar . Para ello , se utiliza como guía la magnitud adimensional número de Reynolds ( Re ).

Con respecto a los regímenes de flujo laminar y turbulento:

• El flujo laminar se produce a bajos números de Reynolds, donde predominan las fuerzas viscosas, y se caracteriza por un movimiento del fluido suave y constante;
• El flujo turbulento se produce a números de Reynolds elevados y está dominado por fuerzas inerciales, que tienden a generar remolinos caóticos , vórtices y otras inestabilidades del flujo.

El número de Reynolds se define como ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}\,,}$

dónde:

• ρ es la densidad del fluido ( unidades del SI : kg/m³ ⁾ .
• v es una velocidad característica del fluido con respecto al objeto (m/s).
• L es una dimensión lineal característica (m)
• μ es la viscosidad dinámica del fluido (Pa·s o N·s/m ² o kg/(m·s)).

Aunque no existe un teorema que relacione directamente el número de Reynolds adimensional con la turbulencia, los flujos con números de Reynolds mayores de 5000 suelen ser (aunque no necesariamente) turbulentos, mientras que los de números de Reynolds bajos generalmente permanecen laminares. En el flujo de Poiseuille , por ejemplo, la turbulencia puede mantenerse por primera vez si el número de Reynolds es mayor que un valor crítico de aproximadamente 2040; ^{[ 25 ]} además, la turbulencia generalmente se intercala con flujo laminar hasta un número de Reynolds mayor de aproximadamente 4000.

La transición se produce si el tamaño del objeto aumenta gradualmente, o si la viscosidad del fluido disminuye, o si la densidad del fluido aumenta.

Cuando el flujo es turbulento, las partículas presentan un movimiento transversal adicional que aumenta la tasa de intercambio de energía y momento entre ellas, incrementando así la transferencia de calor y el coeficiente de fricción .

Supongamos que, para un flujo turbulento bidimensional, se pudiera localizar un punto específico en el fluido y medir la velocidad de flujo real v = ( v _x , v _y ) de cada partícula que pasa por ese punto en un momento dado. Entonces, se encontraría que la velocidad de flujo real fluctúa alrededor de un valor medio:

${\displaystyle v_{x}=\underbrace {{\overline {v}}_{x}} _{\text{mean value}}+\underbrace {v'_{x}} _{\text{fluctuation}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\overline {v}}_{y}+v'_{y}\,;}$

De forma similar, se aplica a la temperatura ( T = T + T′ ) y a la presión ( P = P + P′ ), donde las cantidades con prima indican fluctuaciones superpuestas a la media. Esta descomposición de una variable de flujo en un valor medio y una fluctuación turbulenta fue propuesta originalmente por Osborne Reynolds en 1895 y se considera el inicio del análisis matemático sistemático del flujo turbulento, como subcampo de la dinámica de fluidos. Mientras que los valores medios se consideran variables predecibles determinadas por las leyes de la dinámica, las fluctuaciones turbulentas se consideran variables estocásticas.

El flujo de calor y la transferencia de momento (representada por el esfuerzo cortante τ ) en la dirección normal al flujo durante un tiempo dado son:

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=\underbrace {v'_{y}\rho c_{P}T'} _{\text{experimental value}}=-k_{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial y}}\,;\\\tau &=\underbrace {-\rho {\overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{\text{experimental value}}=\mu _{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {v}}_{x}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}}$

donde c _P es la capacidad calorífica a presión constante, ρ es la densidad del fluido, μ _turb es el coeficiente de viscosidad turbulenta y k _turb es la conductividad térmica turbulenta . ^{[ 3 ]}

La noción de turbulencia de Richardson postulaba que un flujo turbulento está compuesto por "remolinos" de distintos tamaños. Estos tamaños definen una escala de longitud característica para los remolinos, que a su vez se caracterizan por escalas de velocidad y de tiempo (tiempo de rotación) que dependen de dicha escala. Los remolinos grandes son inestables y, finalmente, se fragmentan, originando remolinos más pequeños. La energía cinética del remolino grande inicial se divide entre los remolinos más pequeños que surgieron de él. Estos remolinos más pequeños experimentan el mismo proceso, dando lugar a remolinos aún más pequeños que heredan la energía de su predecesor, y así sucesivamente. De esta forma, la energía se transmite desde las grandes escalas del movimiento a las escalas más pequeñas hasta alcanzar una escala de longitud suficientemente pequeña como para que la viscosidad del fluido pueda disipar eficazmente la energía cinética en energía interna.

En su teoría original de 1941, Kolmogorov postuló que para números de Reynolds muy altos , los movimientos turbulentos a pequeña escala son estadísticamente isótropos (es decir, no se puede discernir una dirección espacial preferencial). En general, las grandes escalas de un flujo no son isótropas, ya que están determinadas por las características geométricas particulares de los límites (el tamaño que caracteriza las grandes escalas se denotará como L ). La idea de Kolmogorov era que en la cascada de energía de Richardson esta información geométrica y direccional se pierde, mientras que la escala se reduce, de modo que la estadística de las pequeñas escalas tiene un carácter universal: son las mismas para todos los flujos turbulentos cuando el número de Reynolds es suficientemente alto.

Así, Kolmogorov introdujo una segunda hipótesis: para números de Reynolds muy altos, la estadística de escalas pequeñas está determinada universal y unívocamente por la viscosidad cinemática ν y la tasa de disipación de energía ε . Con solo estos dos parámetros, la longitud única que se puede formar mediante análisis dimensional es

${\displaystyle \eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}\,.}$

Hoy en día, esto se conoce como la escala de longitud de Kolmogorov (véase microescalas de Kolmogorov ).

Un flujo turbulento se caracteriza por una jerarquía de escalas a través de la cual se produce la cascada de energía. La disipación de energía cinética tiene lugar en escalas del orden de la longitud de Kolmogorov η , mientras que el aporte de energía a la cascada proviene de la disipación en las escalas mayores, del orden de L. Estas dos escalas en los extremos de la cascada pueden diferir en varios órdenes de magnitud a números de Reynolds elevados. Entre ellas existe un rango de escalas (cada una con su propia longitud característica r ) que se ha formado a expensas de la energía de las mayores. Estas escalas son muy grandes en comparación con la longitud de Kolmogorov, pero aún muy pequeñas en comparación con la escala mayor del flujo (es decir, η ≪ r ≪ L ). Dado que los remolinos en este rango son mucho mayores que los remolinos disipativos que existen en las escalas de Kolmogorov, la energía cinética prácticamente no se disipa en este rango, sino que simplemente se transfiere a escalas menores hasta que los efectos viscosos se vuelven importantes al aproximarse al orden de la escala de Kolmogorov. Dentro de este rango, los efectos inerciales siguen siendo mucho mayores que los efectos viscosos, y es posible suponer que la viscosidad no influye en su dinámica interna (por esta razón, este rango se denomina "rango inercial").

Por lo tanto, una tercera hipótesis de Kolmogorov fue que a números de Reynolds muy altos, las estadísticas de escalas en el rango η ≪ r ≪ L están determinadas universal y unívocamente por la escala r y la tasa de disipación de energía ε .

La forma en que la energía cinética se distribuye sobre la multiplicidad de escalas es una caracterización fundamental de un flujo turbulento. Para la turbulencia homogénea (es decir, estadísticamente invariante bajo traslaciones del sistema de referencia), esto se suele hacer mediante la función del espectro de energía E ( k ) , donde k es el módulo del vector de onda correspondiente a algunos armónicos en una representación de Fourier del campo de velocidad del flujo u ( x ) :

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} \,,}$

donde û ( k ) es la transformada de Fourier del campo de velocidad del flujo. Por lo tanto, E ( k )  d k representa la contribución a la energía cinética de todos los modos de Fourier con k < | k | < k + d k , y por consiguiente,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,}$

donde ⁠ 1 / 2 ⁠ ⟨ u _i u _i ⟩ es la energía cinética turbulenta media del flujo. El número de onda k correspondiente a la escala de longitud r es k = ⁠ 2π / r ⁠ . Por lo tanto, mediante análisis dimensional, la única forma posible para la función del espectro de energía de acuerdo con la tercera hipótesis de Kolmogorov es

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,}$

dónde${\displaystyle K_{0}\approx 1.5}$sería una constante universal. Este es uno de los resultados más famosos de la teoría de Kolmogorov de 1941, ^{[ 26 ]} que describe el transporte de energía a través del espacio de escalas sin pérdida ni ganancia. La ley de los cinco tercios de Kolmogorov se observó por primera vez en un canal de mareas, ^{[ 27 ]} y desde entonces se ha acumulado una considerable evidencia experimental que la respalda. ^{[ 28 ]}

Fuera del área inercial, se puede encontrar la fórmula ^{[ 29 ]} a continuación  :

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,,}$

A pesar de este éxito, la teoría de Kolmogorov se encuentra actualmente en revisión. Esta teoría asume implícitamente que la turbulencia es estadísticamente autosimilar a diferentes escalas. Esto significa esencialmente que las estadísticas son invariantes de escala y no intermitentes en el rango inercial. Una forma habitual de estudiar los campos de velocidad del flujo turbulento es mediante incrementos de velocidad del flujo:

${\displaystyle \delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,;}$

es decir, la diferencia en la velocidad del flujo entre puntos separados por un vector r (ya que se supone que la turbulencia es isotrópica, el incremento de la velocidad del flujo depende solo del módulo de r ). Los incrementos de la velocidad del flujo son útiles porque enfatizan los efectos de las escalas del orden de la separación r cuando se calculan las estadísticas. La invariancia de escala estadística sin intermitencia implica que el escalado de los incrementos de la velocidad del flujo debe ocurrir con un exponente de escalado único β , de modo que cuando r se escala por un factor λ ,

${\displaystyle \delta \mathbf {u} (\lambda r)}$

debería tener la misma distribución estadística que

${\displaystyle \lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,}$

con β independiente de la escala r . De este hecho, y de otros resultados de la teoría de Kolmogorov de 1941, se deduce que los momentos estadísticos de los incrementos de velocidad del flujo (conocidos como funciones de estructura en la turbulencia) deberían escalar como

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}\langle (\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\rangle \,,}$

donde los corchetes denotan el promedio estadístico, y las C _n serían constantes universales.

Existe evidencia considerable de que los flujos turbulentos se desvían de este comportamiento. Los exponentes de escala se desvían del valor n / 3 predicho por la teoría, convirtiéndose en una función no lineal del orden n de la función de estructura. También se ha cuestionado la universalidad de las constantes. Para órdenes bajos, la discrepancia con el valor n / 3 de Kolmogorov es muy pequeña, lo que explica el éxito de la teoría de Kolmogorov con respecto a los momentos estadísticos de orden bajo. En particular, se puede demostrar que cuando el espectro de energía sigue una ley de potencias

${\displaystyle E(k)\propto k^{-p}\,,}$

con 1 < p < 3 , la función de estructura de segundo orden también tiene una ley de potencias, con la forma

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,}$

Dado que los valores experimentales obtenidos para la función de estructura de segundo orden solo se desvían ligeramente del valor ⁠ 2 / 3 ⁠ predicho por la teoría de Kolmogorov, el valor de p es muy cercano a ⁠ 5 / 3 ⁠ (las diferencias son de alrededor del 2% ^{[ 30 ]} ). Por lo tanto, el "espectro Kolmogorov − ⁠ 5 / 3 ⁠ " se observa generalmente en la turbulencia. Sin embargo, para funciones de estructura de orden superior, la diferencia con la escala de Kolmogorov es significativa, y la ruptura de la autosimilitud estadística es clara. Este comportamiento, y la falta de universalidad de las constantes C _n , están relacionados con el fenómeno de intermitencia en la turbulencia y pueden relacionarse con el comportamiento de escala no trivial de la tasa de disipación promediada sobre la escala r . ^{[ 31 ]} Esta es un área importante de investigación en este campo, y un objetivo principal de la teoría moderna de la turbulencia es comprender qué es universal en el rango inercial y cómo deducir propiedades de intermitencia a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, a partir de primeros principios.

• Centro de Investigación de la Turbulencia , artículos científicos y libros sobre turbulencia.
• Centro de Investigación de Turbulencias , Universidad de Stanford
• Artículo de Scientific American
• Pronóstico de turbulencias atmosféricas
• Base de datos internacional de CFD iCFDdatabase
• Flujo turbulento en una tubería en YouTube
• Sitio web de mecánica de fluidos con vídeos, preguntas y respuestas, etc.
• Base de datos pública de Johns Hopkins con datos de simulación numérica directa.
• Base de datos pública TurBase con datos experimentales de las Infraestructuras Europeas de Alto Rendimiento en Turbulencia (EuHIT).