Ángulos internos y externos

En geometría , un ángulo de un polígono está formado por dos lados adyacentes . Para un polígono simple (que no se autointerseca), independientemente de si es convexo o no , este ángulo se denomina ángulo interno (o ángulo interior) si un punto dentro del ángulo se encuentra en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno por vértice .

Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor que un ángulo llano ( π radianes o 180°), entonces el polígono se denomina convexo .

En cambio, un ángulo externo (también llamado ángulo de giro o ángulo exterior) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y una línea que se extiende desde un lado adyacente . ^{[ 1 ] : págs. 261–264}

• La suma del ángulo interno y el ángulo externo en el mismo vértice es π radianes (180°).
• La suma de los ángulos internos de un polígono simple es π ( n -2) radianes o 180( n -2) grados, donde n es el número de lados. La fórmula se puede demostrar mediante inducción matemática : partiendo de un triángulo, cuya suma de ángulos es 180°, sustituyendo un lado por dos lados unidos por otro vértice, y así sucesivamente.
• La suma de los ángulos externos de cualquier polígono simple, si solo se asume uno de los dos ángulos externos en cada vértice, es 2π radianes (360°).
• La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por el lado que se extienda: los dos ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice extendiendo alternativamente un lado u otro son ángulos opuestos por el vértice y, por lo tanto, son iguales.

El concepto de ángulo interior se puede extender de manera consistente a polígonos cruzados como los polígonos estrellados usando el concepto de ángulos dirigidos . En general, la suma de los ángulos interiores en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (autointersecantes), viene dada por 180( n − 2 k )° , donde n es el número de vértices y el entero estrictamente positivo k es el número de revoluciones totales (360°) que se realizan al caminar alrededor del perímetro del polígono. En otras palabras, la suma de todos los ángulos exteriores es 2 πk radianes o 360 k grados. Ejemplo: para polígonos convexos y cóncavos ordinarios , k = 1 , ya que la suma de los ángulos exteriores es 360°, y se realiza solo una revolución completa al caminar alrededor del perímetro.

Consideremos un poliedro topológicamente equivalente a una esfera , como cualquier poliedro convexo . Cada vértice del poliedro tiene varias caras que convergen en él. Cada una de estas caras tiene un ángulo interior en ese vértice, y la suma de los ángulos interiores en un vértice se denomina ángulo interior asociado a dicho vértice. El valor de 2π radianes (o 360 grados ) menos ese ángulo interior se denomina ángulo exterior asociado a ese vértice, también conocido como defecto angular . La suma de estos ángulos exteriores en todos los vértices del poliedro es necesariamente 4π radianes (o 720 grados ), y la suma de los ángulos interiores es necesariamente 2π ( n -2) radianes (o 360( n -2) grados) , donde n es el número de vértices. Se puede obtener una prueba de esto utilizando las fórmulas para la suma de los ángulos interiores de cada faceta junto con el hecho de que la característica de Euler de una esfera es 2.

Por ejemplo, un sólido rectangular tendrá tres caras rectangulares que se unen en cualquier vértice, y cada una de estas caras tendrá un ángulo interno de 90° en ese vértice, por lo que cada vértice del sólido rectangular está asociado con un ángulo interior de 3 × 90° = 270° y un ángulo exterior de 360° − 270° = 90° . La suma de estos ángulos exteriores sobre los ocho vértices es 8 × 90° = 720° . La suma de estos ángulos interiores sobre los ocho vértices es 8 × 270° = 2160° .

• Ángulos internos de un triángulo
• Suma de los ángulos interiores de polígonos: una fórmula general - Proporciona una actividad interactiva en Java que extiende la fórmula de suma de los ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).