Pareja Tusi

El par de Tusi (también conocido como mecanismo de Tusi ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ) es un dispositivo matemático en el que un círculo pequeño gira dentro de un círculo mayor cuyo diámetro es el doble del del círculo pequeño. Las rotaciones de los círculos hacen que un punto en la circunferencia del círculo pequeño oscile de un lado a otro en movimiento lineal a lo largo de un diámetro del círculo mayor. El par de Tusi es una hipocicloide de dos cúspides .

La pareja fue propuesta por primera vez por el astrónomo y matemático persa del siglo XIII Nasir al-Din al-Tusi en su Tahrir al-Majisti ( Comentario sobre el Almagesto ) de 1247 como una solución para el movimiento latitudinal de los planetas inferiores ^{[ 4 ]} y posteriormente se utilizó ampliamente como sustituto del ecuante introducido más de mil años antes en el Almagesto de Ptolomeo . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La traducción de la copia de la descripción original de Tusi de su modelo geométrico alude a al menos una inversión del modelo que se puede observar en los diagramas:

Si se consideran dos círculos coplanares, cuyo diámetro es igual a la mitad del diámetro del otro, tangentes internamente en un punto, y si se toma un punto en el círculo menor —y sea este el punto de tangencia— y si ambos círculos se mueven con movimientos simples en direcciones opuestas de tal manera que el movimiento del círculo menor es el doble que el del mayor, de modo que el menor completa dos rotaciones por cada rotación del mayor, entonces se observará que ese punto se mueve sobre el diámetro del círculo mayor que inicialmente pasa por el punto de tangencia, oscilando entre los extremos. ^{[ 8 ]}

Algebraicamente, el modelo se puede expresar con números complejos como

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

Otros comentaristas han observado que el par de Tusi puede interpretarse como una curva rodante donde la rotación del círculo interior satisface una condición de no deslizamiento a medida que su punto tangente se mueve a lo largo del círculo exterior fijo.

El término «pareja Tusi» es moderno, acuñado por Edward Stewart Kennedy en 1966. ^{[ 9 ]} Es uno de varios dispositivos astronómicos islámicos tardíos que presentan una sorprendente similitud con los modelos del De revolutionibus de Nicolás Copérnico , incluyendo su modelo de Mercurio y su teoría de la trepidación . Los historiadores sospechan que Copérnico u otro autor europeo tuvo acceso a un texto astronómico árabe, pero aún no se ha identificado una cadena de transmisión exacta. ^{[ 10 ]} Se ha sugerido al científico y viajero del siglo XVI Guillaume Postel como un posible facilitador. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Dado que Copérnico empleó la pareja de Tusi en su reformulación de la astronomía matemática, existe un creciente consenso de que llegó a conocer esta idea de alguna manera. Se ha sugerido ^{[ 13 ] [ 14 ]} que la idea de la pareja de Tusi pudo haber llegado a Europa dejando pocos rastros manuscritos, ya que podría haber ocurrido sin la traducción de ningún texto árabe al latín. Una posible vía de transmisión pudo haber sido a través de la ciencia bizantina ; Gregorio Chioniades tradujo algunas de las obras de al-Tusi del árabe al griego bizantino . Varios manuscritos griegos bizantinos que contienen la pareja de Tusi aún se conservan en Italia. ^{[ 15 ]} Otra posibilidad es que encontrara el manuscrito del "Enderezamiento de las Curvas" (Sefer Meyasher 'Aqov) mientras estudiaba en Italia. ^{[ 16 ]}

Mientras que el modelo de al-Tusi muestra cómo se puede obtener un movimiento rectilíneo a partir de dos circulares, el Comentario de Proclo sobre el Primer Libro de Euclides muestra, por el contrario, cómo se puede obtener un movimiento cíclico a partir de dos rectilíneos. ^{[ 17 ]} En sus Cuestiones sobre la Esfera (escritas antes de 1362), Nicole Oresme describió cómo combinar movimientos circulares para producir un movimiento lineal alternativo de un planeta a lo largo del radio de su epiciclo. La descripción de Oresme no es clara y no se sabe con certeza si se trata de una invención independiente o de un intento de comprender un texto árabe poco entendido. ^{[ 18 ]}

Aunque el par de Tusi se desarrolló en un contexto astronómico, matemáticos e ingenieros posteriores desarrollaron versiones similares de lo que se denominó mecanismos hipocicloidales de línea recta. El matemático Gerolamo Cardano diseñó un sistema conocido como movimiento de Cardán (también conocido como engranaje de Cardán ). ^{[ 19 ]} Los ingenieros del siglo XIX James White, ^{[ 20 ]} Matthew Murray , ^{[ 21 ]} así como diseñadores posteriores, desarrollaron aplicaciones prácticas del mecanismo hipocicloidal de línea recta.

Una versión práctica y mecánicamente simple del par Tusi, que evita el uso de un engranaje de llanta externo, fue desarrollada en 2021 por John Goodman para proporcionar movimiento lineal. ^{[ 22 ]} Utiliza 3 engranajes rectos estándar. Un brazo giratorio (azul) está montado en un eje central, al cual está montado un engranaje fijo (amarillo). Un engranaje intermedio (rojo) en el brazo engrana con el engranaje fijo. Un tercer engranaje (verde) engrana con el intermedio. El tercer engranaje tiene la mitad del número de dientes del engranaje fijo. Un brazo (naranja) está fijado al tercer engranaje. Si la longitud del brazo es igual a la distancia entre el engranaje fijo y el externo = d, el brazo describirá una línea recta de recorrido = 2d. Una ventaja de este diseño es que, si los engranajes de módulo estándar no proporcionan el recorrido requerido, el engranaje intermedio no tiene que ser colineal con los otros dos engranajes.

Una propiedad del par de Tusi es que los puntos del círculo interior que no están en la circunferencia trazan elipses . Estas elipses, y la línea recta trazada por el par de Tusi clásico, son casos especiales de hipotrocoides . ^{[ 23 ]}

• Curva deltoides
• Engranaje epicíclico
• torno geométrico
• Guilloché
• El motor hipocicloidal de Murray utiliza un par Tusi como sustituto de las guías de cruceta o del movimiento paralelo.
• Espirógrafo
• Mecanismo de línea recta

• Di Bono, Mario (1995). "Copérnico, Amico, Fracastoro y el dispositivo de Tusi: observaciones sobre el uso y la transmisión de un modelo". Journal for the History of Astronomy . 26 (2): 133– 154. Bibcode : 1995JHA....26..133D . doi : 10.1177/002182869502600203 . S2CID 118330488 . 
• Kennedy, ES (1966). "Teoría planetaria de la Baja Edad Media". Isis . 57 (3): 365– 378. doi : 10.1086/350144 . S2CID 143569912 . 
• Kren, Claudia (1971). "El dispositivo rodante de Naṣir al-Dīn al-Ṭūsī en De spera de Nicole Oresme". Isis . 62 (4): 490– 498. doi : 10.1086/350791 . S2CID 144526697 . 
• Ragep, FJ «Las dos versiones de la pareja Tusi», en De deferente a equidistante: Un volumen de estudios sobre la historia de la ciencia en el Cercano Oriente antiguo y medieval en honor a E.S. Kennedy , ed. David King y George Saliba, Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York, 500. Academia de Ciencias de Nueva York, 1987. ISBN 0-89766-396-9(pbk.)
• Ragep, FJ. «Memorias sobre astronomía» de Nasir al-Din al-Tusi, Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, 12. 2 vols. Berlín/Nueva York: Springer, 1993. ISBN 3-540-94051-0/ ISBN 0-387-94051-0.

• Dennis W. Duke, Ancient Planetary Model Animations incluye dos enlaces de interés:
  • Una simulación interactiva de la pareja Tusi
  • Modelos árabes para reemplazar el equant
• George Saliba, en su obra "¿De quién es la ciencia árabe en la Europa del Renacimiento?", analiza el modelo de Nasir al-Din al-Tusi y las interacciones entre astrónomos árabes, griegos y latinos.