Torsiones de curvas elípticas

En el campo matemático de la geometría algebraica , una curva elíptica E sobre un cuerpo K tiene una torsión cuadrática asociada , es decir, otra curva elíptica que es isomorfa a E sobre una clausura algebraica de K. En particular, un isomorfismo entre curvas elípticas es una isogenia de grado 1, es decir, una isogenia invertible. Algunas curvas tienen torsiones de orden superior, como torsiones cúbicas y cuárticas . La curva y sus torsiones tienen el mismo invariante j .

Las aplicaciones de los giros incluyen la criptografía, ^{[ 1 ]} la solución de ecuaciones diofánticas , ^{[ 2 ] [ 3 ]} y cuando se generalizan a curvas hiperelípticas , el estudio de la conjetura de Sato-Tate . ^{[ 4 ]}

Primero supongamos${\displaystyle K}$es un campo de característica diferente de 2. Sea${\displaystyle E}$ser una curva elíptica sobre${\displaystyle K}$del formulario:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

Dado${\displaystyle d\neq 0}$ni un cuadrado en${\displaystyle K}$, la torsión cuadrática de${\displaystyle E}$es la curva${\displaystyle E^{d}}$, definido por la ecuación:

${\displaystyle dy^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

o equivalentemente

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+da_{2}x^{2}+d^{2}a_{4}x+d^{3}a_{6}.\,}$

Las dos curvas elípticas${\displaystyle E}$y${\displaystyle E^{d}}$no son isomorfos sobre${\displaystyle K}$, sino más bien sobre la extensión del campo${\displaystyle K({\sqrt {d}})}$Cualitativamente hablando, la aritmética de una curva y su torsión cuadrática pueden verse muy diferentes en el campo.${\displaystyle K}$, mientras que el análisis complejo de las curvas es el mismo; y así, una familia de curvas relacionadas por torsión se convierte en un entorno útil para estudiar las propiedades aritméticas de las curvas elípticas. ^{[ 5 ]}

También se pueden definir giros cuando el campo base${\displaystyle K}$es de característica 2. Sea${\displaystyle E}$ser una curva elíptica sobre${\displaystyle K}$del formulario:

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

Dado${\displaystyle d\in K}$de tal manera que${\displaystyle X^{2}+X+d}$es un polinomio irreducible sobre${\displaystyle K}$, la torsión cuadrática de${\displaystyle E}$es la curva${\displaystyle E^{d}}$, definido por la ecuación:

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+(a_{2}+da_{1}^{2})x^{2}+a_{4}x+a_{6}+da_{3}^{2}.\,}$

Las dos curvas elípticas${\displaystyle E}$y${\displaystyle E^{d}}$no son isomorfos sobre${\displaystyle K}$pero sobre la extensión del campo${\displaystyle K[X]/(X^{2}+X+d)}$.

Es posible "torcer" curvas elípticas con j-invariante igual a 1728 mediante caracteres cuárticos; ^{[ 6 ]} torcer una curva${\displaystyle E}$mediante una torsión cuártica , se obtienen precisamente cuatro curvas: una es isomorfa a${\displaystyle E}$Una de ellas es su torsión cuadrática, y solo las otras dos son realmente nuevas. También en este caso, las curvas retorcidas son isomorfas sobre la extensión del campo dada por el grado de torsión.

De forma análoga al caso de torsión cuártica, una curva elíptica sobre${\displaystyle K}$Las curvas con j-invariante igual a cero pueden ser torsionadas por caracteres cúbicos. Las curvas obtenidas son isomorfas a la curva inicial sobre la extensión del campo dada por el grado de torsión.

También se pueden definir torsiones para otras curvas proyectivas suaves.${\displaystyle K}$ser un campo y${\displaystyle C}$ser una curva sobre ese campo, es decir, una variedad proyectiva de dimensión 1 sobre${\displaystyle K}$que es irreductible y está conectado geométricamente . Luego un giro${\displaystyle C'}$de${\displaystyle C}$es otra curva proyectiva suave para la cual existe una${\displaystyle {\bar {K}}}$-isomorfismo entre${\displaystyle C'}$y${\displaystyle C}$donde el campo${\displaystyle {\bar {K}}}$es el cierre algebraico de${\displaystyle K}$. ^{[ 4 ]}

• Curvas de Hesse retorcidas
• Curva de Edwards retorcida
• Curva de Doche-Icart-Kohel orientada a la triplicación retorcida

• P. Stevenhagen (2008). Curvas elípticas (PDF) . Universidad de Leiden.
• CL Stewart y J. Top (octubre de 1995). "Sobre rangos de torsiones de curvas elípticas y valores libres de potencias de formas binarias" . Journal of the American Mathematical Society . 8 (4): 943– 973. doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1290234-5 . JSTOR 2152834 .