Problema de dos cuerpos

Izquierda: Dos cuerpos de masa similar orbitando un baricentro común externo a ambos, con órbitas elípticas . Este modelo es típico de las estrellas binarias . Derecha: Dos cuerpos con una ligera diferencia de masa orbitando un baricentro común. Sus tamaños y este tipo de órbita son similares al sistema Plutón-Caronte (en el que el baricentro es externo a ambos cuerpos), así como al sistema Tierra - Luna (en el que el baricentro es interno al cuerpo de mayor tamaño).

En mecánica clásica , el problema de los dos cuerpos se utiliza para calcular y predecir el movimiento de dos cuerpos masivos que orbitan uno alrededor del otro en el espacio. El problema supone que los dos cuerpos son esferas perfectas que nunca colisionan entre sí y que todas las fuerzas externas son despreciables en comparación con la fuerza de interacción entre ellos.

El ejemplo más destacado del problema clásico de dos cuerpos es el caso gravitacional (véase también el problema de Kepler ), que surge en astronomía para predecir las órbitas (o escapes de órbita) de objetos como satélites , planetas y estrellas . Un modelo de dos partículas puntuales de dicho sistema casi siempre describe su comportamiento con la suficiente precisión como para proporcionar información y predicciones útiles.

Un modelo más sencillo de "un solo cuerpo", el " problema de la fuerza central ", considera un objeto como la fuente inmóvil de una fuerza que actúa sobre el otro. Se busca entonces predecir el movimiento del único objeto móvil restante. Esta aproximación puede proporcionar resultados útiles cuando un objeto es mucho más masivo que el otro (como en el caso de un planeta ligero que orbita una estrella masiva, donde la estrella puede considerarse prácticamente estacionaria).

Sin embargo, la aproximación de un solo cuerpo suele ser innecesaria, salvo como paso previo. Para muchas fuerzas, incluidas las gravitatorias, la versión general del problema de dos cuerpos se puede reducir a un par de problemas de un solo cuerpo , lo que permite resolverlo completamente y proporciona una solución lo suficientemente simple como para ser utilizada eficazmente.

Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de los n cuerpos para n > 2) no se puede resolver de forma general, excepto en casos especiales.

Resultados de casos destacados

Gravitación y otros ejemplos de inverso del cuadrado

El problema de los dos cuerpos es interesante en astronomía porque los pares de objetos astronómicos a menudo se mueven rápidamente en direcciones arbitrarias (por lo que sus movimientos se vuelven interesantes), están muy separados entre sí (por lo que no colisionarán) e incluso más separados de otros objetos (por lo que las influencias externas serán lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas sin riesgo).

Bajo la fuerza de la gravedad , cada miembro de un par de estos objetos orbitará alrededor de su centro de masa común describiendo una elipsis, a menos que se muevan lo suficientemente rápido como para separarse por completo, en cuyo caso sus trayectorias divergirán siguiendo otras secciones cónicas planas . Si un objeto es mucho más pesado que el otro, se moverá mucho menos que el otro con respecto al centro de masa común. El centro de masa común incluso podría estar dentro del objeto más grande.

Para la derivación de las soluciones al problema, véase Problema clásico de fuerza central o Problema de Kepler .

En principio, las mismas soluciones se aplican a problemas macroscópicos que involucran objetos que interactúan no solo por gravedad, sino también por cualquier fuerza conservativa que obedezca la ley del inverso del cuadrado , siendo la atracción electrostática un ejemplo físico evidente. En la práctica, estos problemas rara vez se presentan. Salvo quizás en aparatos experimentales u otros equipos especializados, rara vez encontramos objetos que interactúan electrostáticamente y que se mueven con la suficiente rapidez y en la dirección adecuada para evitar colisionar, o que están lo suficientemente aislados de su entorno.

El sistema dinámico de un sistema de dos cuerpos bajo la influencia de un par resulta ser una ecuación de Sturm-Liouville . ^{[ 1 ]}

Inaplicabilidad a sistemas subatómicos

Aunque podemos describir la repulsión y atracción de las partículas en el átomo utilizando las mismas leyes que rigen las láminas de un electroscopio , necesitamos la mecánica cuántica para predecir cómo se comportarán las partículas bajo esas fuerzas. ^{[ 2 ]} La mayor parte del comportamiento de los sistemas subatómicos no puede predecirse bajo las suposiciones clásicas en las que se basa este artículo ni utilizando las matemáticas aquí presentadas.

A veces se describe a los electrones de un átomo como si "orbitaran" su núcleo , siguiendo una conjetura temprana de Niels Bohr (de donde proviene el término " orbital "). Sin embargo, los electrones no orbitan realmente los núcleos en ningún sentido significativo, y la mecánica cuántica es necesaria para comprender de forma útil el comportamiento real del electrón. Resolver el problema clásico de dos cuerpos para un electrón que orbita un núcleo atómico es engañoso y no aporta muchas ideas útiles.

Reducción a dos problemas independientes de un solo cuerpo.

El problema completo de dos cuerpos se puede resolver reformulándolo como dos problemas de un cuerpo: uno trivial y otro que implica calcular el movimiento de una partícula en un potencial externo . Dado que muchos problemas de un cuerpo se pueden resolver de forma exacta, el problema de dos cuerpos correspondiente también se puede resolver.

{\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}} — Coordenadas de Jacobi para el problema de dos cuerpos; las coordenadas de Jacobi son ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ y ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ con $M=m_{1}+m_{2}\$ . ^{[ 3 ]}

Sean $x 1$ y $x 2$ las posiciones vectoriales de los dos cuerpos, y m ₁ y m ₂ sus masas. El objetivo es determinar las trayectorias $x 1 (t)$ y $x 2 (t)$ para todos los tiempos t , dadas las posiciones iniciales $x 1 (t = 0)$ y $x 2 (t = 0)$ y las velocidades iniciales $v 1 (t = 0)$ y $v 2 (t = 0)$ .

Cuando se aplica a las dos masas, la segunda ley de Newton establece que

donde F ₁₂ es la fuerza sobre la masa 1 debido a sus interacciones con la masa 2, y F ₂₁ es la fuerza sobre la masa 2 debido a sus interacciones con la masa 1. Los dos puntos sobre los vectores de posición x denotan su segunda derivada con respecto al tiempo, o sus vectores de aceleración.

La suma y la resta de estas dos ecuaciones las desacoplan en dos problemas de un solo cuerpo, que pueden resolverse de forma independiente. La suma de las ecuaciones (1) y ( 2 ) da como resultado una ecuación que describe el movimiento del centro de masas ( baricentro ). Por el contrario, la resta de la ecuación (2) de la ecuación (1) da como resultado una ecuación que describe cómo cambia con el tiempo el vector $r = x 1 - x 2$ entre las masas. Las soluciones de estos problemas independientes de un solo cuerpo pueden combinarse para obtener las soluciones de las trayectorias $x 1 (t)$ y $x 2 (t)$ .

Dejar $\mathbf {R}$ sea la posición del centro de masa ( baricentro ) del sistema. La suma de las ecuaciones de fuerza (1) y (2) produce $m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$ donde hemos utilizado la tercera ley de Newton $F 12 = - F 21$ y donde ${\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

La ecuación resultante: ${\ddot {\mathbf {R} }}=0$ muestra que la velocidad $\mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}$ $La velocidad$ del centro de masas es constante, por lo que el momento total $m₁v₁ + m₂v₂ también$ es constante ( conservación del momento ). $Por$ lo tanto, la posición $R (t) del centro$ $de masas puede determinarse en$ $todo momento a$ $partir$ de las posiciones y velocidades iniciales.

Movimiento vectorial de desplazamiento (segundo problema de un cuerpo)

Dividiendo ambas ecuaciones de fuerza por las masas respectivas, restando la segunda ecuación de la primera y reordenando se obtiene la ecuación ${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$ donde nuevamente hemos utilizado la tercera ley de Newton $F 12 = - F 21$ y donde $r$ es el vector de desplazamiento de la masa 2 a la masa 1, como se definió anteriormente.

La fuerza entre los dos objetos, que se origina en ellos mismos, debe ser únicamente función de su separación $r$ y no de sus posiciones absolutas $x₁$ y $x₂$ ; de lo contrario, no habría simetría traslacional y las leyes de la física tendrían que cambiar de un lugar a otro. Por lo tanto $,$ la ecuación resultante se puede escribir como $:$ $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ dónde $\mu$ es la masa reducida $\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Resolver la ecuación para $r (t)$ es la clave del problema de dos cuerpos. La solución depende de la fuerza específica entre los cuerpos, que se define por $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ . Para el caso donde $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ follows an inverse-square law, see the Kepler problem.

Once $R (t)$ and $r (t)$ have been determined, the original trajectories may be obtained $\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$ $\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$ as may be verified by substituting the definitions of R and r into the right-hand sides of these two equations.

Two-body motion is planar

The motion of two bodies with respect to each other always lies in a plane (in the center of mass frame).

Proof: Defining the linear momentum $p$ and the angular momentum $L$ of the system, with respect to the center of mass, by the equations $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$

where $μ$ is the reduced mass and $r$ is the relative position $r 2 - r 1$ (with these written taking the center of mass as the origin, and thus both parallel to $r$ ) the rate of change of the angular momentum $L$ equals the net torque $N$ $\mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,$ and using the property of the vector cross product that $v \times w = 0$ for any vectors $v$ and $w$ pointing in the same direction,

$\mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,$ with $F = μ d 2 r / dt 2$ .

Introducing the assumption (true of most physical forces, as they obey Newton's strong third law of motion) that the force between two particles acts along the line between their positions, it follows that $r \times F = 0$ and the angular momentum vector $L$ is constant (conserved). Therefore, the displacement vector $r$ and its velocity $v$ are always in the plane perpendicular to the constant vector $L$ .

Energy of the two-body system

If the force $F (r)$ is conservative then the system has a potential energy $U (r)$ , so the total energy can be written as $E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$

In the center of mass frame the kinetic energy is the lowest and the total energy becomes $E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$ The coordinates $x 1$ and $x 2$ can be expressed as $\mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r}$ $\mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r}$ y de manera similar la energía E está relacionada con las energías $E 1$ y $E 2$ que contienen por separado la energía cinética de cada cuerpo: ${\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}$

Fuerzas centrales

Para muchos problemas físicos, la fuerza $F (r)$ es una fuerza central , es decir, tiene la forma $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ donde $r = | r |$ y $r̂ = r / r$ es el vector unitario correspondiente . Ahora tenemos: $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,$ donde $F (r)$ es negativo en el caso de una fuerza atractiva.

Véase también

Referencias

↑ Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos" . Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode : 2020JPhCo...4f1001L . doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
↑ Purcell, Edward M. (2013). Electricidad y magnetismo (Tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01402-2.
↑ David Bétounes (2001). Ecuaciones Diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.

Bibliografía

Landau LD ; Lifshitz EM (1976). Mecánica (3.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4.
Goldstein H (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.

Enlaces externos

Problema de dos cuerpos en el Mundo de la Física de Eric Weisstein

[1] Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos" . Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode : 2020JPhCo...4f1001L . doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .

[2] Purcell, Edward M. (2013). Electricidad y magnetismo (Tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01402-2.

[Betounes-3] David Bétounes (2001). Ecuaciones Diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.

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