Forma

Existen varias maneras de comparar las formas de dos objetos:

• Congruencia : Dos objetos son congruentes si uno puede transformarse en el otro mediante una secuencia de rotaciones, traslaciones y/o reflexiones.
• Similitud : Dos objetos son similares si uno puede transformarse en el otro mediante un escalado uniforme, junto con una secuencia de rotaciones, traslaciones y/o reflexiones.
• Isotopía : Dos objetos son isotópicos si uno puede transformarse en el otro mediante una secuencia de deformaciones que no rompan el objeto ni le hagan agujeros.

En ocasiones, dos objetos similares o congruentes pueden considerarse de forma diferente si se requiere una reflexión para transformarlos. Por ejemplo, las letras " b " y " d " son un reflejo la una de la otra, por lo que son congruentes y similares, pero en algunos contextos no se consideran de la misma forma. A veces, solo se considera el contorno o límite externo del objeto para determinar su forma. Por ejemplo, una esfera hueca puede considerarse de la misma forma que una esfera sólida. El análisis de Procrustes se utiliza en muchas ciencias para determinar si dos objetos tienen la misma forma o para medir la diferencia entre dos formas. En matemáticas avanzadas, la cuasi-isometría puede utilizarse como criterio para afirmar que dos formas son aproximadamente iguales.

Las formas simples suelen clasificarse en objetos geométricos básicos como una línea , una curva , un plano , una figura plana (por ejemplo, un cuadrado o un círculo ) o una figura sólida (por ejemplo, un cubo o una esfera ). Sin embargo, la mayoría de las formas que existen en el mundo físico son complejas. Algunas, como las estructuras vegetales y las costas, pueden ser tan complejas que desafían la descripción matemática tradicional  ; en ese caso, pueden analizarse mediante geometría diferencial o como fractales .

Algunas formas comunes incluyen: círculo , cuadrado , triángulo , rectángulo , óvalo , estrella (polígono) , rombo , semicírculo . Los polígonos regulares, comenzando por el pentágono, siguen la convención de nomenclatura del prefijo derivado del griego con el sufijo '-gon': pentágono, hexágono, heptágono, octágono, nonágono, decágono... Véase polígono

Los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas y simetría (pero no escalado) son congruentes . Por lo tanto, un objeto es congruente con su imagen especular (aunque no sea simétrico), pero no con una versión escalada. Dos objetos congruentes siempre tienen la misma forma o formas simétricas, y el mismo tamaño.

Los objetos que tienen la misma forma o formas simétricas se denominan geométricamente similares , independientemente de su tamaño. Por lo tanto, los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas, simetría y escalado uniforme son similares. La similitud se conserva cuando uno de los objetos se escala uniformemente, mientras que la congruencia no. Así, los objetos congruentes son siempre geométricamente similares, pero los objetos similares pueden no ser congruentes, ya que pueden tener tamaños diferentes.

Una definición más flexible de forma tiene en cuenta el hecho de que las formas realistas suelen ser deformables, por ejemplo, una persona en diferentes posturas, un árbol que se dobla con el viento o una mano con diferentes posiciones de los dedos.

Una forma de modelar movimientos no rígidos es mediante homeomorfismos . En términos generales, un homeomorfismo es un estiramiento y flexión continuos de un objeto hasta darle una nueva forma. Así, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y una rosquilla no lo son. Un chiste matemático muy común es que los topólogos no pueden distinguir una taza de café de una rosquilla, ^{[ 4 ]} ya que una rosquilla suficientemente flexible podría transformarse en una taza de café creando una hendidura y ampliándola progresivamente, conservando el agujero de la rosquilla en el asa de la taza.

Una figura geométrica descrita tiene líneas externas visibles que la conforman. Si colocaras tus coordenadas en un gráfico cartesiano, podrías dibujar líneas para indicar dónde se ve la figura; sin embargo, no siempre que colocas coordenadas en un gráfico, puedes crear una figura. Esta figura tiene un contorno y un límite que permiten visualizarla, y no se trata simplemente de puntos en un papel común.

Las definiciones matemáticas de forma rígida y no rígida mencionadas anteriormente surgieron en el campo del análisis estadístico de formas . En particular, el análisis de Procrustes es una técnica utilizada para comparar formas de objetos similares (por ejemplo, huesos de diferentes animales) o para medir la deformación de un objeto deformable. Otros métodos están diseñados para trabajar con objetos no rígidos (flexibles), por ejemplo, para la recuperación de formas independientes de la postura (véase, por ejemplo, el análisis espectral de formas ).

Todos los triángulos semejantes tienen la misma forma. Estas formas se pueden clasificar utilizando números complejos u , v , w para los vértices, en un método propuesto por JA Lester ^{[ 5 ]} y Rafael Artzy . Por ejemplo, un triángulo equilátero se puede expresar mediante los números complejos 0, 1, (1 + i√3)/2 que representan sus vértices. Lester y Artzy llaman a esta razón $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}}$$ la forma del triángulo ( u , v , w ) . Entonces la forma del triángulo equilátero es $${\displaystyle {\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.}$$ Para cualquier transformación afín del plano complejo ,${\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}$ Un triángulo se transforma pero no cambia su forma. Por lo tanto, la forma es un invariante de la geometría afín . La forma p = S( u , v , w ) depende del orden de los argumentos de la función S, pero las permutaciones conducen a valores relacionados. Por ejemplo, $${\displaystyle 1-p=1-{\frac {uw}{uv}}={\frac {wv}{uv}}={\frac {vw}{vu}}=S(v,u,w).}$$También$${\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}$$ La combinación de estas permutaciones da como resultado${\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}$Además, $${\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {uw}{vw}}=S(w,v,u).}$$Estas relaciones son "reglas de conversión" para la forma de un triángulo.

La forma de un cuadrilátero se asocia con dos números complejos p y q . Si el cuadrilátero tiene vértices u , v , w , x , entonces p = S( u , v , w ) y q = S( v , w , x ) . Artzy demuestra estas proposiciones sobre las formas de los cuadriláteros:

1. Si${\displaystyle p=(1-q)^{-1},}$entonces el cuadrilátero es un paralelogramo .
2. Si un paralelogramo tiene | arg p | = | arg q | , entonces es un rombo .
3. Cuando p = 1 + i y q = (1 + i)/2 , entonces el cuadrilátero es un cuadrado .
4. Si${\displaystyle p=r(1-q^{-1})}$y sgn r = sgn(Im p ) , entonces el cuadrilátero es un trapecio .

Un polígono${\displaystyle (z_{1},z_{2},...z_{n})}$tiene una forma definida por n − 2 números complejos${\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.}$El polígono delimita un conjunto convexo cuando todos los componentes de su forma tienen componentes imaginarias del mismo signo. ^{[ 6 ]}