Descomposición en valores singulares bidimensional

En álgebra lineal , la descomposición en valores singulares bidimensional ( 2DSVD ) calcula la aproximación de bajo rango de un conjunto de matrices, como imágenes 2D o mapas meteorológicos, de una manera casi idéntica a la descomposición en valores singulares (SVD ), que calcula la aproximación de bajo rango de una sola matriz (o un conjunto de vectores 1D).

Sea matriz${\displaystyle X=[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$contiene el conjunto de vectores 1D que han sido centrados. En PCA/SVD, construimos la matriz de covarianza${\displaystyle F}$y matriz de Gram${\displaystyle G}$

${\displaystyle F=XX^{\mathsf {T}}}$,${\displaystyle G=X^{\mathsf {T}}X,}$

y calcular sus autovectores${\displaystyle U=[\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}]}$y${\displaystyle V=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}]}$. Desde${\displaystyle VV^{\mathsf {T}}=I}$y${\displaystyle UU^{\mathsf {T}}=I}$tenemos

${\displaystyle X=UU^{\mathsf {T}}XVV^{\mathsf {T}}=U\left(U^{\mathsf {T}}XV\right)V^{\mathsf {T}}=U\Sigma V^{\mathsf {T}}.}$

Si conservamos solo${\displaystyle K}$vectores propios principales en${\displaystyle U,V}$, esto proporciona una aproximación de bajo rango de${\displaystyle X}$.

Aquí trabajamos con un conjunto de matrices 2D.${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$Supongamos que están centrados.${\textstyle \sum _{i}X_{i}=0}$Construimos matrices de covarianza fila-fila y columna-columna.

${\displaystyle F=\sum _{i}X_{i}X_{i}^{\mathsf {T}}}$y${\displaystyle G=\sum _{i}X_{i}^{\mathsf {T}}X_{i}}$

exactamente de la misma manera que en SVD, y calcular sus autovectores.${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$Nos aproximamos.${\displaystyle X_{i}}$como

${\displaystyle X_{i}=UU^{\mathsf {T}}X_{i}VV^{\mathsf {T}}=U\left(U^{\mathsf {T}}X_{i}V\right)V^{\mathsf {T}}=UM_{i}V^{\mathsf {T}}}$

de forma idéntica a como en SVD. Esto proporciona una aproximación de bajo rango casi óptima de${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$con la función objetivo

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}\left|X_{i}-LM_{i}R^{\mathsf {T}}\right|^{2}}$

También existen límites de error similares al teorema de Eckard-Young .

La descomposición en valores singulares bidimensional (2DSVD) se utiliza principalmente en la compresión y representación de imágenes .

• Chris Ding y Jieping Ye. «Descomposición en valores singulares bidimensional (2DSVD) para mapas e imágenes 2D». Actas de la Conferencia Internacional SIAM sobre Minería de Datos (SDM'05), págs.  32-43, abril de 2005. http://ranger.uta.edu/~chqding/papers/2dsvdSDM05.pdf
• Jieping Ye. "Aproximaciones generalizadas de bajo rango de matrices". Machine Learning Journal. Vol. 61, pp.  167–191, 2005.