Prueba Z para dos proporciones

La prueba Z para dos proporciones (también llamada prueba Z para dos muestras ) es una prueba de hipótesis estadística que permite evaluar si dos grupos difieren en la proporción de un resultado binario de forma tan significativa que va más allá del azar. Por ejemplo, la proporción de pacientes que responden positivamente a un tratamiento en un ensayo clínico frente a un grupo de control, la tasa de defectos en el control de calidad de dos líneas de producción o la tasa de clics en una prueba A/B de dos diseños de página web alternativos.

La prueba es apropiada cuando cada observación es independiente de las demás, puede clasificarse como éxito o fracaso (es decir, un ensayo de Bernoulli ) y los tamaños de muestra son lo suficientemente grandes como para que la distribución muestral de cada proporción se aproxime bien al teorema del límite central . En estas condiciones, la diferencia observada de proporciones muestrales puede convertirse en un estadístico z estandarizado (utilizando un error estándar combinado ) y compararse con la distribución normal estándar para obtener valores p o formar intervalos de confianza para la diferencia de proporciones (derivados de forma ligeramente diferente). Esto también permite determinar el tamaño de muestra necesario para los cálculos del efecto mínimo detectable.

Esta prueba está relacionada con otras pruebas bien conocidas, como la prueba de chi-cuadrado de Pearson , la prueba exacta de Fisher para muestras pequeñas y la prueba de McNemar para datos binarios pareados.

La prueba Z de dos proporciones o prueba Z de dos muestras es un método estadístico que se utiliza para determinar si la diferencia entre las proporciones de dos grupos, provenientes de una distribución binomial, es estadísticamente significativa. ^{[ 1 ]} Este enfoque se basa en la observación de que (para muestras suficientemente grandes) las proporciones muestrales siguen una distribución normal según el Teorema del Límite Central , lo que permite la construcción de una prueba Z para la comprobación de hipótesis (una prueba de puntuación ) y la estimación de intervalos de confianza (una prueba de Wald ). ^{[ 2 ]} Se utiliza en diversos campos para comparar tasas de éxito, tasas de respuesta u otras proporciones entre diferentes grupos.

La prueba z para comparar dos proporciones es una prueba de hipótesis estadística frecuentista que se utiliza para evaluar si dos muestras independientes tienen proporciones poblacionales diferentes para un resultado binario. Bajo condiciones de regularidad leves (tamaños de muestra suficientemente grandes y muestreo independiente), las proporciones muestrales (que es el promedio de las observaciones provenientes de una distribución de Bernoulli ) se distribuyen aproximadamente de forma normal según el teorema del límite central , lo que permite utilizar un estadístico z construido a partir de la diferencia de las proporciones muestrales y un error estándar estimado. ^{[ 2 ]}

La prueba implica dos hipótesis contrapuestas:

• hipótesis nula (H ₀ ): Las proporciones en las dos poblaciones son iguales, es decir,${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$.
• Hipótesis alternativa (H ₁ ): Las proporciones en las dos poblaciones no son iguales, es decir,${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$( de dos colas ) o${\displaystyle p_{1}>p_{2}}$/${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$(unilateral).

El estadístico z para comparar dos proporciones se calcula utilizando: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 2 ] : 10.6.2}$${\displaystyle z={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}},}$$dónde${\displaystyle {\hat {p}}_{1}}$y${\displaystyle {\hat {p}}_{2}}$son la proporción de la muestra en la primera y segunda muestra,${\displaystyle n_{1}}$y${\displaystyle n_{2}}$son el tamaño de la primera y segunda muestra, respectivamente,${\displaystyle {\hat {p}}}$es la proporción combinada, calculada como${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$, dónde${\displaystyle x_{1}}$y${\displaystyle x_{2}}$son los recuentos de éxitos en las dos muestras La proporción combinada se utiliza para estimar la probabilidad compartida de éxito bajo la hipótesis nula, y el error estándar tiene en cuenta la variabilidad entre las dos muestras.

La prueba z determina la significación estadística comparando el estadístico z calculado con un valor crítico. Por ejemplo, para un nivel de significación de${\displaystyle \alpha =0.05}$rechazamos la hipótesis nula si${\displaystyle |z|>1.96}$(para una prueba de dos colas ). O, alternativamente, calculando el valor p y rechazando la hipótesis nula si${\displaystyle p<\alpha }$.

El intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones, basado en las definiciones anteriores, es: ^{[ 5 ] [ 2 ] : 10.6.3}$${\displaystyle ({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})\pm z_{\alpha /2}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}},}$$dónde${\displaystyle z_{\alpha /2}}$es el valor crítico de la distribución normal estándar (por ejemplo, 1,96 para un nivel de confianza del 95%).

Este intervalo proporciona un rango de valores plausibles para la verdadera diferencia entre las proporciones de la población.

Observe cómo difiere la estimación de la varianza entre la prueba de hipótesis y los intervalos de confianza. La primera utiliza una varianza combinada (basada en la hipótesis nula), mientras que la segunda debe estimar la varianza utilizando cada muestra por separado (para que el intervalo de confianza pueda abarcar un rango de diferencias en las proporciones). Esta diferencia puede dar lugar a resultados ligeramente distintos si se utiliza el intervalo de confianza como alternativa al método de prueba de hipótesis.

La determinación del tamaño de la muestra consiste en elegir el número de observaciones que se incluirán en cada grupo para realizar la prueba estadística. En el caso de la prueba Z para dos proporciones, esto está estrechamente relacionado con la decisión sobre el efecto mínimo detectable.

Para encontrar el tamaño de muestra requerido (dado algún tamaño del efecto)${\displaystyle |p_{1}-p_{2}|}$, fuerza${\displaystyle \pi =(1-\beta )}$y error de tipo I${\displaystyle \alpha }$), definimos que${\displaystyle n_{1}=\kappa n_{2}}$, (cuando κ = 1, se asume un tamaño de muestra igual para cada grupo), entonces: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle n_{2}={\frac {(Z_{\alpha /2}+Z_{\beta })^{2}}{(p_{1}-p_{2})^{2}}}\times \left({\frac {p_{1}(1-p_{1})}{\kappa }}+p_{2}(1-p_{2})\right)^{2}}$

El efecto mínimo detectable o EMD es la diferencia más pequeña entre dos proporciones (${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$) que una prueba estadística puede detectar para un nivel de error de tipo I elegido (${\displaystyle \alpha }$), potencia estadística (${\displaystyle 1-\beta }$), y tamaños de muestra (${\displaystyle n_{1}}$y${\displaystyle n_{2}}$). Se utiliza comúnmente en el diseño de estudios para determinar si el tamaño de la muestra permite realizar una prueba con la sensibilidad suficiente para detectar diferencias significativas.

El MDE para cuando se utiliza la fórmula de la prueba z (bilateral) para comparar dos proporciones, incorporando valores críticos para${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle 1-\beta }$y los errores estándar de las proporciones: ^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\text{MDE}}=|p_{1}-p_{2}|=z_{1-\alpha /2}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}+z_{1-\beta }{\sqrt {{\frac {p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}}+{\frac {p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}}},}$$dónde${\displaystyle z_{1-\alpha /2}}$es valor crítico para el nivel de significancia,${\displaystyle z_{1-\beta }}$es el cuantil para la potencia deseada, y${\displaystyle p_{0}=p_{1}=p_{2}}$es cuando se asume que la hipótesis nula es correcta.

El MDE depende del tamaño de la muestra, proporciones de referencia (${\displaystyle p_{1},p_{2}}$y parámetros de prueba. Cuando se desconocen las proporciones de referencia, es necesario asumirlas o estimarlas aproximadamente a partir de un estudio pequeño. Muestras más grandes o requisitos de potencia menores dan como resultado un MDE menor, lo que hace que la prueba sea más sensible a diferencias pequeñas. Los investigadores pueden usar el MDE para evaluar la viabilidad de detectar diferencias significativas antes de realizar un estudio.

Para garantizar la validez de los resultados, deben cumplirse los siguientes supuestos:

1. Muestras aleatorias independientes: Las muestras deben extraerse de forma independiente de las poblaciones de interés.
2. Tamaños de muestra grandes: Normalmente,${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$debe superar los 20. ^{[ 12 ] : 48}
3. Condición de éxito o fracaso: ^{[ 13 ] [ 2 ] : 10.6.1}
   1. ${\displaystyle n_{1}{\hat {p}}_{1}>10}$y${\displaystyle n_{1}(1-{\hat {p}}_{1})>10}$
   2. ${\displaystyle n_{2}{\hat {p}}_{2}>10}$y${\displaystyle n_{2}(1-{\hat {p}}_{2})>10}$

La prueba z es más fiable cuando el tamaño de la muestra es grande y se cumplen todos los supuestos.

Supongamos que el grupo 1 tiene 120 éxitos de 1000 ensayos (${\displaystyle {\hat {p}}_{1}=0.12}$) y el grupo 2 tiene 150 éxitos de 1000 ensayos (${\displaystyle {\hat {p}}_{2}=0.15}$). La proporción combinada es${\displaystyle {\hat {p}}=(120+150)/(1000+1000)=0.135}$El error estándar combinado es$${\displaystyle {\text{SE}}_{\text{pooled}}={\sqrt {0.135\times 0.865\times \left({\dfrac {1}{1000}}+{\dfrac {1}{1000}}\right)}}\approx 0.01529.}$$

El estadístico z es$${\displaystyle z={\dfrac {0.12-0.15}{0.01529}}\approx -1.96,}$$lo que da un valor p bilateral de aproximadamente 0,0497 (un poco menos de 0,05). Un intervalo de confianza aproximado del 95 % para la diferencia utilizando el error estándar no agrupado es$${\displaystyle (0.12-0.15)\pm 1.96{\sqrt {{\dfrac {0.12\times 0.88}{1000}}+{\dfrac {0.15\times 0.85}{1000}}}}\approx (-0.0599,\ -0.0001).}$$Debido a que el IC del 95% (apenas) excluye el 0 y el valor p es ≈0,0497, la diferencia es estadísticamente significativa al nivel del 5% según los criterios habituales para muestras grandes (pero es marginal; las conclusiones deben tener en cuenta el contexto del estudio y las pruebas múltiples, si corresponde).

Existen implementaciones disponibles en muchos entornos estadísticos. Consulte a continuación los detalles de implementación en algunos lenguajes populares. También existen otras implementaciones para SPSS, ^{[ 21 ]} SAS, ^{[ 22 ]} y Minitab. ^{[ 5 ]}

prop.test ( x = c ( 120 , 150 ), n = c ( 1000 , 1000 ), correct = FALSE )

 Prueba de dos muestras para la igualdad de proporciones sin corrección de continuidad Datos: c(120, 150) de c(1000, 1000) X cuadrado = 3,8536, gl = 1, valor p = 0,04964 hipótesis alternativa: bilateral Intervalo de confianza del 95 por ciento: -5,992397e-02 -7,602882e-05 Estimaciones de muestra: Propuesta 1 Propuesta 2 0,12 0,15 

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest z , p = proportions_ztest ([ 120 , 150 ], [ 1000 , 1000 ], 0 ) # Para IC: from statsmodels.stats.proportion import test_proportions_2indep

WITH input_data AS ( SELECT * , (( n_1 * p_1 + n_2 * p_2 ) / ( n_1 + n_2 )) AS p_pooled FROM ( VALUES ( 1000 , 1000 , 0 . 12 , 0 . 15 ) ) AS t ( n_1 , n_2 , p_1 , p_2 ) ), stats_computed AS ( SELECT n_1 , n_2 , p_1 , p_2 , p_2 - p_1 AS p2_minus_p1 , SQRT ( ( p_1 * ( 1 - p_1 ) / n_1 ) + ( p_2 * ( 1 - p_2 ) / n_2 ) ) AS se_p2_minus_p1 , SQRT ( p_pooled * ( 1 - p_pooled ) * ( 1 . 0 / n_1 + 1 . 0 / n_2 ) ) AS pooled_se , inverse_normal_cdf ( 0 , 1 , 0 . 975 ) AS z_975 -- para IC del 95% (1.96) FROM input_data ) SELECT n_1 , n_2 , ROUND ( p_1 , 3 ) AS p_1 , ROUND ( p_2 , 3 ) AS p_2 , ROUND ( p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1 , ROUND ( se_p2_minus_p1 , 3 ) AS se_p2_minus_p1 , ROUND ( p2_minus_p1 - z_975 *se_p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1_ci_lower , ROUND ( p2_minus_p1 + z_975 * se_p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1_ci_upper , ROUND ( 2 * ( 1 - normal_cdf ( 0 , 1 , ABS ( p2_minus_p1 ) / pooled_se )), 3 ) AS p_value FROM stats_computed ;

• Prueba de hipótesis de dos muestras
• Pruebas A/B
• Prueba de chi-cuadrado de Pearson (tablas de 2×2)
• La prueba de McNemar
• Prueba de ubicación
• Intervalo de confianza para el estadístico J de Youden

• Calculadora de prueba de proporciones independientes para dos muestras
• Calculadoras en línea de tamaño de muestra/potencia:
  • Comparación de dos proporciones: tamaño de la muestra
  • Inferencia para proporciones: Comparación de dos muestras independientes