Paradoja de los dos capacitores

La paradoja de los dos capacitores , o paradoja del capacitor, es una paradoja , o experimento mental contraintuitivo , en la teoría de circuitos eléctricos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El experimento mental se suele describir de la siguiente manera:

Dos condensadores idénticos están conectados en paralelo con un interruptor abierto entre ellos. Uno de los condensadores se carga con un voltaje de${\displaystyle V_{i}}$, el otro está descargado. Cuando se cierra el interruptor, parte de la carga${\displaystyle Q=CV_{i}}$La corriente en el primer condensador fluye hacia el segundo, reduciendo el voltaje en el primero y aumentando el voltaje en el segundo. Cuando se alcanza un estado estacionario y la corriente llega a cero, el voltaje en los dos condensadores debe ser igual ya que están conectados entre sí. Dado que ambos tienen la misma capacitancia${\displaystyle C}$La carga se dividirá equitativamente entre los condensadores, de modo que cada condensador tendrá una carga de${\displaystyle {Q \over 2}}$y un voltaje de${\displaystyle V_{f}={Q \over 2C}={V_{i} \over 2}}$.

Al comienzo del experimento la energía inicial total${\displaystyle W_{i}}$En el circuito se encuentra la energía almacenada en el condensador cargado:

${\displaystyle W_{i}={1 \over 2}CV_{i}^{2}}$

Al final del experimento la energía final${\displaystyle W_{f}}$es igual a la suma de la energía en los dos condensadores:

${\displaystyle W_{f}={1 \over 2}CV_{f}^{2}+{1 \over 2}CV_{f}^{2}=CV_{f}^{2}=C\left({V_{i} \over 2}\right)^{2}={1 \over 4}CV_{i}^{2}={1 \over 2}W_{i}}$

Por lo tanto, la energía final${\displaystyle W_{f}}$es igual a la mitad de la energía inicial${\displaystyle W_{i}}$La paradoja reside en la pérdida inexplicable de la mitad restante de la energía inicial: una aparente violación de la ley de conservación de la energía .

Este problema se ha discutido en la literatura electrónica al menos desde 1955. ^{[ 3 ] [ 1 ] [ 4 ]} A diferencia de otras paradojas en la ciencia, esta paradoja no se debe a la física subyacente, sino a las limitaciones de las convenciones de "circuito ideal" utilizadas en la teoría de circuitos . ^{[ 5 ]} La descripción especificada anteriormente no es físicamente realizable si se supone que el circuito está hecho de elementos de circuito ideales , como es habitual en la teoría de circuitos. Si la resistencia en serie de los cables y conductores en el circuito es${\displaystyle R}$, la corriente inicial cuando se cierra el interruptor es

${\displaystyle i(0)={V_{\text{i}} \over R}}$

Si se idealizan los cables que conectan los dos condensadores, el interruptor y los propios condensadores, como es habitual , al cerrar el interruptor se conectarían puntos con diferente voltaje mediante un conductor perfecto , lo que provocaría una corriente infinita, algo imposible. Por lo tanto, la solución requiere que se flexibilicen una o más de las características «ideales» de los elementos del circuito, lo cual no se especificó en la descripción anterior. La solución difiere según cuál de las suposiciones sobre las características reales de los elementos del circuito se abandone.

• Si se supone que los cables de conexión tienen alguna resistencia distinta de cero, se trata de un circuito RC , y la corriente disminuirá exponencialmente hasta cero. Dado que no se pierde la carga original, el estado final de los condensadores será el descrito anteriormente, con la mitad del voltaje inicial en cada uno. Como en este estado los dos condensadores juntos tienen la mitad de la energía, independientemente de la cantidad de resistencia, la mitad de la energía inicial se disipará como calor en la resistencia del cable. ^{[ 6 ]}
• Si se supone que los cables tienen inductancia pero no resistencia, la corriente no será infinita, pero el circuito no tiene componentes que disipen energía, por lo que no se estabilizará en un estado estacionario, como se supone en la descripción. Constituirá un circuito LC sin amortiguación , por lo que la carga oscilará perpetuamente de un lado a otro entre los dos capacitores; el voltaje en los dos capacitores y la corriente variarán sinusoidalmente. ^{[ 4 ] [ 2 ]} No se perderá nada de la energía inicial, en cualquier punto la suma de la energía en los dos capacitores y la energía almacenada en el campo magnético alrededor de los cables será igual a la energía inicial.
• Si se supone que los cables de conexión, además de tener inductancia y ninguna resistencia, tienen una longitud distinta de cero, el circuito oscilante actuará como una antena y perderá energía al irradiar ondas electromagnéticas ( ondas de radio ). ^{[ 4 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 2 ]} El efecto de esta pérdida de energía es exactamente el mismo que si hubiera una resistencia llamada resistencia de radiación en el circuito, por lo que el circuito será equivalente a un circuito RLC . La corriente oscilante en los cables será una sinusoide que decae exponencialmente . Dado que no se pierde nada de la carga original, el estado final de los capacitores será como en el caso de la resistencia, con la mitad del voltaje inicial en cada uno. Dado que en este estado los capacitores contienen la mitad de la energía inicial, la mitad faltante de la energía habrá sido irradiada por las ondas electromagnéticas.
• Si, además de tener una longitud e inductancia distintas de cero, se supone que los cables tienen resistencia, la pérdida total de energía será la misma, la mitad de la energía inicial, pero se dividirá entre las ondas electromagnéticas radiadas y el calor disipado en la resistencia.

Se han ideado diversas soluciones adicionales, basadas en supuestos más detallados sobre las características de los componentes.

Hay varias versiones alternativas de la paradoja. Una de ellas es el circuito original con los dos condensadores cargados inicialmente con voltajes iguales y opuestos.${\displaystyle +V_{i}}$y${\displaystyle -V_{i}}$[ ^{4 ] Otra} versión equivalente es un único condensador cargado cortocircuitado por un conductor perfecto. En estos casos, en el estado final, toda la carga se ha neutralizado, el voltaje final en los condensadores es cero, por lo que toda la energía inicial se ha disipado. Las soluciones para determinar adónde fue la energía son similares a las descritas en la sección anterior.

• Lista de paradojas