Problema de dos sobres

A una persona se le entregan dos sobres idénticos, cada uno con una suma de dinero. Un sobre contiene el doble que el otro. La persona puede elegir un sobre y quedarse con la cantidad que contenga. Elige un sobre al azar, pero antes de abrirlo tiene la opción de tomar el otro. ^{[ 1 ]}

Ahora supongamos que la persona razona de la siguiente manera:

Según este razonamiento erróneo (que se explica a continuación), la persona debería cambiar.

A continuación se presenta una solución sencilla entre varias que se han propuesto.

El argumento de conmutación no es válido tal como está planteado porque el símbolo A se usa de forma inconsistente. Denota tanto (i) la variable aleatoria incondicional que representa la cantidad en el sobre elegido como (ii) la cantidad condicionada a si ese sobre contiene el menor o el mayor de los dos valores. Estas expectativas condicionales generalmente difieren y no se pueden combinar en un único cálculo de valor esperado. ^{[ 8 ]}

El argumento del cambio escribe efectivamente $${\displaystyle E(B)={\tfrac {1}{2}}E(2A)+{\tfrac {1}{2}}E(A/2),}$$ Tratando A como la misma cantidad en ambos casos. Una formulación correcta mantiene el condicionamiento explícito: $${\displaystyle {\begin{aligned}E(B)&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}E(B\mid B>A)+E(B\mid B<A){\bigr )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}E(2A\mid B>A)+E(A/2\mid B<A){\bigr )}.\end{aligned}}}$$ Estas expectativas condicionales no son las cantidades incondicionales.${\displaystyle E(2A)}$y${\displaystyle E(A/2)}$.

Si los importes de los sobres se fijan como${\displaystyle x}$y${\displaystyle 2x}$, con incertidumbre únicamente sobre qué sobre fue elegido, entonces${\displaystyle E(2A\mid B>A)=2x}$y${\displaystyle E(A/2\mid B<A)=x}$, y entonces $${\displaystyle E(A)=E(B)={\tfrac {1}{2}}(x+2x)={\tfrac {3}{2}}x,}$$ Por lo tanto, cambiar de opción no tiene ninguna ventaja de valor esperada.

El mecanismo por el cual se determinan las cantidades de los dos sobres es crucial para la decisión del jugador de cambiar su sobre. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Supongamos que las cantidades en los dos sobres A y B no se determinaron fijando primero el contenido de dos sobres E1 y E2, y luego nombrándolos A y B al azar (por ejemplo, mediante el lanzamiento de una moneda justa ^{[ 11 ]} ). En cambio, comenzamos desde el principio colocando una cantidad en el sobre A y luego llenamos B de una manera que depende tanto del azar (el lanzamiento de una moneda) como de lo que colocamos en A. Supongamos que primero la cantidad a en el sobre A está fijada de alguna manera, y luego la cantidad en el sobre B está fijada, dependiendo de lo que ya está en A, según el resultado de una moneda justa. Si la moneda cae cara, se coloca 2a en el sobre B; si cae cruz, se coloca a /2 en el sobre B. Si el jugador conoce este mecanismo y sabe que tiene el sobre A, pero desconoce el resultado del lanzamiento de la moneda y no conoce a , entonces el argumento de cambio es correcto y se le recomienda cambiar de sobre. Esta versión del problema fue introducida por Nalebuff (1988) y a menudo se la conoce como el problema de Alí Babá. Nótese que no es necesario mirar el sobre A para decidir si cambiar o no.

Se han introducido muchas más variantes del problema. Nickerson y Falk analizan sistemáticamente un total de 8. ^{[ 11 ]}

La solución simple dependía de una interpretación particular de lo que el autor del argumento intentaba calcular: a saber, asumía que buscaba el valor esperado (incondicional) del contenido del Sobre B. En la literatura matemática sobre el Problema de los Dos Sobres, es más común una interpretación diferente, que involucra el valor esperado condicional (condicionado a lo que podría haber en el Sobre A). Para resolver esta y otras interpretaciones o versiones relacionadas del problema, la mayoría de los autores utilizan la interpretación bayesiana de la probabilidad, lo que significa que el razonamiento probabilístico no solo se aplica a eventos verdaderamente aleatorios como la elección aleatoria de un sobre, sino también a nuestro conocimiento (o falta de conocimiento) sobre cosas que son fijas pero desconocidas, como las dos cantidades originalmente colocadas en los dos sobres, antes de que uno sea elegido al azar y denominado "Sobre A". Además, según una larga tradición que se remonta al menos a Laplace y su principio de razón insuficiente, se supone que se deben asignar probabilidades iguales cuando no se tiene ningún conocimiento sobre los posibles valores de alguna cantidad. Por lo tanto, el hecho de que no se nos diga nada sobre cómo se llenan los sobres ya puede interpretarse como afirmaciones de probabilidad sobre estas cantidades. La falta de información implica que las probabilidades son iguales.

En los pasos 6 y 7 del argumento de cambio, el autor imagina que el sobre A contiene una cierta cantidad a , y luego parece creer que, dada esa información, el otro sobre tendría la misma probabilidad de contener el doble o la mitad de esa cantidad. Esa suposición solo puede ser correcta si, antes de saber qué había en el sobre A, el autor hubiera considerado igualmente probables los siguientes dos pares de valores para ambos sobres: las cantidades a /2 y a ; y las cantidades a y 2a . (Esto se deduce de la regla de Bayes en forma de probabilidades: las probabilidades posteriores son iguales a las probabilidades previas multiplicadas por la razón de verosimilitud). Pero ahora podemos aplicar el mismo razonamiento, imaginando no a sino a/2 en el sobre A. Y de forma similar, para 2a . Y de forma similar, ad infinitum, dividiendo o duplicando repetidamente tantas veces como se desee. ^{[ 13 ]}

Supongamos, a modo de ejemplo, que el sobre A contiene una cantidad de 32. Para que el razonamiento de los pasos 6 y 7 sea correcto independientemente de la cantidad que contenga el sobre A, aparentemente creemos de antemano que las siguientes diez cantidades tienen la misma probabilidad de ser la menor de las dos cantidades en los dos sobres: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (potencias de 2 con igual probabilidad ^{[ 13 ]} ). Pero al considerar cantidades aún mayores o menores, la suposición de "igual probabilidad" comienza a parecer poco razonable. Supongamos que nos detenemos, solo con estas diez posibilidades con igual probabilidad para la cantidad menor en los dos sobres. En ese caso, el razonamiento de los pasos 6 y 7 sería completamente correcto si el sobre A contuviera cualquiera de las cantidades 2, 4, ..., 512: cambiar de sobre daría una ganancia esperada (promedio) del 25 %. Si el sobre A contenía la cantidad 1, la ganancia esperada sería del 100%. Pero si contenía la cantidad 1024, se habría producido una pérdida considerable del 50% (de una cantidad bastante grande). Esto ocurre solo una vez de cada veinte, pero es suficiente para compensar las ganancias esperadas en las otras 19 de cada 20 ocasiones.

Alternativamente, podemos continuar hasta el infinito, pero ahora partimos de una suposición bastante absurda, que implica, por ejemplo, que es infinitamente más probable que la cantidad en el sobre A sea menor que 1, e infinitamente más probable que sea mayor que 1024, que que se encuentre entre esos dos valores. Esta es una distribución previa impropia : el cálculo de probabilidades falla; los valores esperados ni siquiera están definidos. ^{[ 13 ]}

Muchos autores también han señalado que si existe una suma máxima que se puede colocar en el sobre con la cantidad menor, entonces es muy fácil ver que el Paso 6 falla, ya que si el jugador tiene más de la suma máxima que se puede colocar en el sobre "menor", debe conservar el sobre que contiene la suma mayor y, por lo tanto, seguramente perderá al cambiar. Esto puede no ocurrir con frecuencia, pero cuando sucede, la gran pérdida que sufre el jugador significa que, en promedio, no hay ninguna ventaja en cambiar. Algunos autores consideran que esto resuelve todos los casos prácticos del problema. ^{[ 14 ]}

Pero el problema también puede resolverse matemáticamente sin asumir una cantidad máxima. Nalebuff, ^{[ 14 ]} Christensen y Utts, ^{[ 15 ]} Falk y Konold, ^{[ 13 ]} Blachman, Christensen y Utts, ^{[ 16 ]} Nickerson y Falk, ^{[ 11 ]} señalaron que si las cantidades de dinero en los dos sobres tienen alguna distribución de probabilidad adecuada que represente las creencias previas del jugador sobre las cantidades de dinero en los dos sobres, entonces es imposible que cualquiera que sea la cantidad A=a en el primer sobre, sea igualmente probable, según estas creencias previas, que el segundo contenga a /2 o 2 a . Por lo tanto, el paso 6 del argumento, que lleva a cambiar siempre , es un non sequitur, incluso cuando no hay un máximo para las cantidades en los sobres.

Las dos primeras resoluciones analizadas anteriormente (la «resolución simple» y la «resolución bayesiana») corresponden a dos posibles interpretaciones de lo que ocurre en el paso 6 del argumento. Ambas presuponen que el paso 6 es, en efecto, «el paso erróneo». Sin embargo, la descripción del paso 6 es ambigua. ¿Busca el autor el valor esperado incondicional (general) del contenido del sobre B (quizás condicionado a la cantidad menor, x ), o busca el valor esperado condicional del contenido del sobre B, dado cualquier cantidad posible a que pudiera estar en el sobre A? Por lo tanto, existen dos interpretaciones principales de la intención del autor del argumento paradójico sobre el cambio, y dos resoluciones principales.

Se ha desarrollado una amplia literatura sobre variantes del problema. ^{[ 17 ] [ 18 ]} La suposición estándar sobre la forma en que se configuran los sobres es que una suma de dinero está en un sobre y el doble de esa suma está en otro sobre. Uno de los dos sobres se entrega aleatoriamente al jugador ( sobre A ). El problema propuesto originalmente no aclara exactamente cómo se determina la menor de las dos sumas, qué valores podría tomar y, en particular, si hay una suma mínima o máxima que podría contener. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Sin embargo, si estamos utilizando la interpretación bayesiana de la probabilidad, entonces comenzamos expresando nuestras creencias previas sobre la cantidad menor en los dos sobres a través de una distribución de probabilidad. La falta de conocimiento también puede expresarse en términos de probabilidad.

Una primera variante dentro de la versión bayesiana consiste en obtener una distribución de probabilidad previa adecuada de la menor cantidad de dinero en los dos sobres, de modo que cuando el Paso 6 se realiza correctamente, el consejo sigue siendo preferir el Sobre B, independientemente de lo que haya en el Sobre A. Por lo tanto, aunque el cálculo específico realizado en el paso 6 fue incorrecto (no existe una distribución previa adecuada tal que, dado lo que hay en el primer sobre A, el otro sobre siempre tenga la misma probabilidad de ser mayor o menor), un cálculo correcto, dependiendo de la distribución previa que estemos utilizando, sí conduce al resultado.${\displaystyle E(B|A=a)>a}$para todos los valores posibles de a . ^{[ 21 ]}

En estos casos, se puede demostrar que la suma esperada en ambos sobres es infinita. En promedio, no hay ganancia al intercambiarlos.

Aunque la teoría de la probabilidad bayesiana puede resolver la primera interpretación matemática de la paradoja anterior, resulta que se pueden encontrar ejemplos de distribuciones de probabilidad adecuadas, tales que el valor esperado de la cantidad en el segundo sobre, condicionado a la cantidad en el primero, sí supera la cantidad en el primero, sea cual sea. El primer ejemplo de este tipo ya fue dado por Nalebuff. ^{[ 14 ]} Véase también Christensen y Utts (1992). ^{[ 15 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

Denotemos nuevamente la cantidad de dinero en el primer sobre por A y la del segundo por B. Consideremos que estas cantidades son aleatorias. Sea X la menor de las dos cantidades e Y = 2X la mayor. Nótese que una vez que hemos fijado una distribución de probabilidad para X, entonces la distribución de probabilidad conjunta de A y B queda fija, ya que A y B = X e Y, o Y y X, cada una con probabilidad 1/2, independientemente de X e Y.

El paso erróneo 6 del argumento de "cambiar siempre" nos llevó a encontrar que E(B|A=a)>a para todo a , y por lo tanto a la recomendación de cambiar, independientemente de si conocemos o no a . Ahora bien, resulta que se pueden inventar fácilmente distribuciones de probabilidad adecuadas para X , la menor de las dos cantidades de dinero, de modo que esta conclusión errónea siga siendo cierta. Un ejemplo se analizará con más detalle en breve.

Como se mencionó anteriormente, no puede ser cierto que cualquier a , dado A=a , B tenga la misma probabilidad de ser a /2 o 2a , pero puede ser cierto que cualquier a , dado A=a , B es mayor en valor esperado que a .

Supongamos, por ejemplo, que el sobre con la cantidad menor contiene en realidad 2n ^dólares con una probabilidad de 2n ^/ 3n ^{+ 1,} donde n = 0, 1, 2, ... Estas probabilidades suman 1, por lo tanto, la distribución es una distribución a priori adecuada (para subjetivistas) y una ley de probabilidad completamente válida también para frecuentistas. ^{[ 25 ]}

Imagina qué podría haber en el primer sobre. Una estrategia sensata sería sin duda intercambiarlos cuando el primer sobre contenga 1, ya que el otro debe contener 2. Supongamos, por otro lado, que el primer sobre contiene 2. En ese caso, hay dos posibilidades: el par de sobres que tenemos delante es {1, 2} o {2, 4}. Todos los demás pares son imposibles. La probabilidad condicional de que estemos ante el par {1, 2}, dado que el primer sobre contiene 2, es

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(\{1,2\}\mid 2)&={\frac {P(\{1,2\})/2}{P(\{1,2\})/2+P(\{2,4\})/2}}\\&={\frac {P(\{1,2\})}{P(\{1,2\})+P(\{2,4\})}}\\&={\frac {1/3}{1/3+2/9}}=3/5,\end{aligned}}}$$

y, en consecuencia, la probabilidad de que sea el par {2, 4} es 2/5, ya que estas son las únicas dos posibilidades. En esta derivación,${\displaystyle P(\{1,2\})/2}$es la probabilidad de que el par de sobres sea el par 1 y 2, y que el sobre A contenga 2;${\displaystyle P(\{2,4\})/2}$es la probabilidad de que el par de sobres sea el par 2 y 4, y (de nuevo) el sobre A contenga 2. Esas son las únicas dos maneras en que el sobre A puede terminar conteniendo la cantidad 2.

Resulta que estas proporciones se cumplen en general a menos que el primer sobre contenga 1. Denotemos por a la cantidad que imaginamos encontrar en el Sobre A, si abriéramos ese sobre, y supongamos que a = 2 ⁿ para algún n ≥ 1. En ese caso, el otro sobre contiene a /2 con probabilidad 3/5 y 2 a con probabilidad 2/5.

Entonces, o bien el primer sobre contiene 1, en cuyo caso la cantidad esperada condicional en el otro sobre es 2, o bien el primer sobre contiene a > 1, y aunque es más probable que el segundo sobre sea más pequeño que más grande, su cantidad esperada condicional es mayor: la cantidad esperada condicional en el sobre B es

$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {a}{2}}+{\frac {2}{5}}2a={\frac {11}{10}}a}$$

lo cual es más que un . Esto significa que el jugador que mira en el sobre A decidiría cambiar lo que viera allí. Por lo tanto, no hay necesidad de mirar en el sobre A para tomar esa decisión.

Esta conclusión es tan claramente errónea como lo fue en las interpretaciones anteriores del Problema de los Dos Sobres. Pero ahora los errores señalados anteriormente no se aplican; la a en el cálculo del valor esperado es una constante y las probabilidades condicionales en la fórmula se obtienen a partir de una distribución previa específica y adecuada.

La mayoría de los autores piensan que la nueva paradoja puede ser desactivada, aunque la resolución requiere conceptos de economía matemática . ^{[ 26 ]} Supongamos${\displaystyle E(B|A=a)>a}$a pesar de${\displaystyle a}$. Se puede demostrar que esto es posible para algunas distribuciones de probabilidad de X (la menor cantidad de dinero en los dos sobres) solo si${\displaystyle E(X)=\infty }$. Es decir, solo si la media de todos los posibles valores de dinero en los sobres es infinita. Para ver por qué, compare la serie descrita anteriormente en la que la probabilidad de cada X es 2/3 de la probabilidad de la X anterior con una en la que la probabilidad de cada X es solo 1/3 de la probabilidad de la X anterior . Cuando la probabilidad de cada término subsiguiente es mayor que la mitad de la probabilidad del término anterior (y cada X es el doble que la X anterior), la media es infinita, pero cuando el factor de probabilidad es menor que la mitad, la media converge. En los casos en que el factor de probabilidad es menor que la mitad,${\displaystyle E(B|A=a)<a}$para todos los a distintos del primero y más pequeño a , y el valor esperado total del cambio converge a 0. Además, si una distribución continua con un factor de probabilidad mayor que un medio se hace finita al establecer, después de cualquier número de términos, un término final con "toda la probabilidad restante", es decir, 1 menos la probabilidad de todos los términos anteriores, el valor esperado del cambio con respecto a la probabilidad de que A sea igual al último y más grande a negará exactamente la suma de los valores esperados positivos que vinieron antes, y nuevamente el valor esperado total del cambio cae a 0 (este es el caso general de establecer una probabilidad igual de un conjunto finito de valores en los envolventes descritos anteriormente). Por lo tanto, las únicas distribuciones que parecen apuntar a un valor esperado positivo para el cambio son aquellas en las que${\displaystyle E(X)=\infty }$. Promediando sobre un , se deduce que${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$(porque A y B tienen distribuciones de probabilidad idénticas, por simetría, y tanto A como B son mayores o iguales que X ).

Si no miramos dentro del primer sobre, entonces claramente no hay razón para cambiar, ya que estaríamos intercambiando una cantidad desconocida de dinero ( A ), cuyo valor esperado es infinito, por otra cantidad desconocida de dinero ( B ), con la misma distribución de probabilidad y valor esperado infinito. Sin embargo, si miramos dentro del primer sobre, entonces para todos los valores observados (${\displaystyle A=a}$) querríamos cambiar porque${\displaystyle E(B|A=a)>a}$para todo a . Como señaló David Chalmers , este problema puede describirse como un fallo del razonamiento de dominancia. ^{[ 27 ]}

Según el razonamiento de dominancia, el hecho de que prefiramos estrictamente A a B para todos los posibles valores observados a debería implicar que preferimos estrictamente A a B sin observar a ; sin embargo, como ya se ha demostrado, eso no es cierto porque${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$. Para rescatar el razonamiento de dominancia mientras se permite${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$, habría que sustituir el valor esperado como criterio de decisión, empleando así un argumento más sofisticado de la economía matemática.

Por ejemplo, podríamos suponer que el tomador de decisiones es un maximizador de utilidad esperada con una riqueza inicial W cuya función de utilidad,${\displaystyle u(w)}$, se elige para satisfacer${\displaystyle E(u(W+B)|A=a)<u(W+a)}$para al menos algunos valores de a (es decir, manteniendo${\displaystyle A=a}$es estrictamente preferible a cambiar a B para algún a ). Aunque esto no es cierto para todas las funciones de utilidad, sería cierto si${\displaystyle u(w)}$tenía un límite superior,${\displaystyle \beta <\infty}$, a medida que w aumentaba hacia el infinito (una suposición común en la economía matemática y la teoría de la decisión). ^{[ 28 ]} Michael R. Powers proporciona condiciones necesarias y suficientes para que la función de utilidad resuelva la paradoja, y señala que ninguna${\displaystyle u(w)<\beta }$ni${\displaystyle E(u(W+A))=E(u(W+B))<\infty }$es necesario. ^{[ 29 ]}

Algunos escritores preferirían argumentar que en una situación de la vida real,${\displaystyle u(W+A)}$y${\displaystyle u(W+B)}$están limitados simplemente porque la cantidad de dinero en un sobre está limitada por la cantidad total de dinero en el mundo ( M ), lo que implica${\displaystyle u(W+A)\leq u(W+M)}$y${\displaystyle u(W+B)\leq u(W+M)}$Desde esta perspectiva, la segunda paradoja se resuelve porque la distribución de probabilidad postulada para X (con${\displaystyle E(X)=\infty }$) no puede surgir en una situación de la vida real. Argumentos similares se utilizan a menudo para resolver la paradoja de San Petersburgo .

Como se mencionó anteriormente, cualquier distribución que produzca esta variante de la paradoja debe tener una media infinita. Por lo tanto, antes de que el jugador abra un sobre, la ganancia esperada al cambiar es "∞ − ∞", que no está definida. En palabras de David Chalmers , esto es "solo otro ejemplo de un fenómeno familiar, el extraño comportamiento del infinito". ^{[ 27 ]} Chalmers sugiere que la teoría de la decisión generalmente falla cuando se enfrenta a juegos con una expectativa divergente, y la compara con la situación generada por la clásica paradoja de San Petersburgo .

Sin embargo, Clark y Shackel argumentan que atribuir todo esto al «extraño comportamiento del infinito» no resuelve la paradoja en absoluto, ni en el caso individual ni en el caso promedio. Proporcionan un ejemplo sencillo de un par de variables aleatorias con media infinita, pero donde es claramente sensato preferir una a la otra, tanto condicionalmente como en promedio. ^{[ 30 ]} Argumentan que la teoría de la decisión debería extenderse para permitir valores de expectativa infinitos en algunas situaciones.

Se han propuesto diversas soluciones. Algunos lógicos han realizado análisis exhaustivos. Si bien las soluciones difieren, todas señalan problemas semánticos relacionados con el razonamiento contrafactual . Queremos comparar la cantidad que ganaríamos al cambiar, si es que ganáramos al cambiar, con la cantidad que perderíamos al cambiar, si es que perdiéramos al cambiar. Sin embargo, no podemos ganar y perder al mismo tiempo al cambiar. Se nos pide comparar dos situaciones incompatibles. Solo una de ellas puede ocurrir en la realidad; la otra es una situación contrafactual, de alguna manera imaginaria. Para poder compararlas, debemos de alguna forma "alinear" ambas situaciones, estableciendo algunos puntos en común definidos.

James Chase argumenta que el segundo argumento es correcto porque corresponde a la forma de alinear dos situaciones (una en la que ganamos, la otra en la que perdemos), lo cual se indica preferiblemente en la descripción del problema. ^{[ 32 ]} Asimismo, Bernard Katz y Doris Olin defienden este punto de vista. ^{[ 33 ]} En el segundo argumento, consideramos que las cantidades de dinero en los dos sobres son fijas; lo que varía es cuál se le entrega primero al jugador. Dado que se trató de una elección arbitraria y física, el mundo contrafactual en el que el jugador, contrafactualmente, obtuvo el otro sobre en lugar del que realmente se le entregó (de hecho) es un mundo contrafactual altamente significativo y, por lo tanto, la comparación entre ganancias y pérdidas en los dos mundos es significativa. Esta comparación se indica de manera única en la descripción del problema, en la que primero se colocan dos cantidades de dinero en los dos sobres, y solo después se elige uno arbitrariamente y se le entrega al jugador. En el primer argumento, sin embargo, consideramos que la cantidad de dinero en el primer sobre que se le entrega al jugador es fija y analizamos las situaciones en las que el segundo sobre contiene la mitad o el doble de esa cantidad. Esto solo sería un escenario hipotético razonable si, en realidad, los sobres se hubieran llenado de la siguiente manera: primero, se coloca una cantidad de dinero en el sobre específico que se le entregará al jugador; y segundo, mediante algún proceso arbitrario, el otro sobre se llena (de forma arbitraria o aleatoria) con el doble o la mitad de esa cantidad de dinero.

Byeong-Uk Yi, por otro lado, argumenta que comparar la cantidad que ganarías si ganaras cambiando con la cantidad que perderías si perdieras cambiando es un ejercicio sin sentido desde el principio. ^{[ 34 ]} Según su análisis, las tres implicaciones (cambiar, indiferente, no cambiar) son incorrectas. Analiza los argumentos de Smullyan en detalle, mostrando que se están tomando pasos intermedios y señalando exactamente dónde se hace una inferencia incorrecta según su formalización de la inferencia contrafactual. Una diferencia importante con el análisis de Chase es que no toma en cuenta la parte de la historia donde se nos dice que el sobre llamado sobre A se decide completamente al azar. Así, Chase reintroduce la probabilidad en la descripción del problema para concluir que los argumentos 1 y 3 son incorrectos, el argumento 2 es correcto, mientras que Yi mantiene el "problema de los dos sobres sin probabilidad" completamente libre de probabilidad y llega a la conclusión de que no hay razones para preferir ninguna acción. Esto se corresponde con la opinión de Albers et al., según la cual, sin un componente de probabilidad, no hay manera de argumentar que una acción sea mejor que otra.

Bliss argumenta que la fuente de la paradoja es que cuando uno cree erróneamente en la posibilidad de una ganancia mayor que, en realidad, no existe, el error es mayor que cuando cree en la posibilidad de una ganancia menor que tampoco existe. ^{[ 35 ]} Si, por ejemplo, los sobres contuvieran $5.00 y $10.00 respectivamente, un jugador que abriera el sobre de $10.00 esperaría la posibilidad de una ganancia de $20.00 que simplemente no existe. Si ese jugador abriera el sobre de $5.00, creería en la posibilidad de una ganancia de $2.50, lo que constituye una desviación menor del valor real; esto da como resultado la discrepancia paradójica.

Albers, Kooi y Schaafsma consideran que, sin añadir probabilidad (u otros) ingredientes al problema, ^{[ 18 ]} los argumentos de Smullyan no dan ninguna razón para intercambiar o no intercambiar, en ningún caso. Por lo tanto, no hay paradoja. Esta actitud desdeñosa es común entre los autores de probabilidad y economía: la paradoja de Smullyan surge precisamente porque no tiene en cuenta en absoluto la probabilidad ni la utilidad.