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Teorema de Tychonoff

En matemáticas , el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto ...

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En matemáticas , el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto . El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tikhonov (cuyo apellido a veces se transcribe como Tychonoff ), quien lo demostró por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y en 1935 enunció el teorema completo junto con la observación de que su demostración era la misma que para el caso particular. La primera demostración publicada conocida se encuentra en un artículo de Tychonoff de 1935, "Über einen Funktionenraum" . [ 1 ]

El teorema de Tychonoff es uno de los resultados más fundamentales en topología general. [ 2 ] El teorema también es válido para espacios topológicos basados ​​en conjuntos difusos . [ 3 ]

Definiciones topológicas

El teorema depende fundamentalmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología del producto ; de hecho, el artículo de Tychonoff de 1935 define la topología del producto por primera vez. A la inversa, parte de su importancia radica en brindar la certeza de que estas definiciones particulares son las más útiles (es decir, las que mejor se ajustan a los datos).

De hecho, la definición de compacidad de Heine-Borel —que toda cobertura de un espacio mediante conjuntos abiertos admite una subcobertura finita— es relativamente reciente. Más popular en los siglos XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass, según el cual toda sucesión infinita acotada admite una subsucesión convergente, ahora llamado compacidad secuencial . Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables , pero ninguna implica a la otra en la clase de todos los espacios topológicos.

Es casi trivial demostrar que el producto de dos espacios secuencialmente compactos también lo es: basta con pasar a una subsecuencia para el primer componente y luego a una sub-subsecuencia para el segundo. Un argumento de "diagonalización" ligeramente más elaborado establece la compacidad secuencial de un producto numerable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto de múltiples copias continuas del intervalo unitario cerrado (con su topología usual) no es secuencialmente compacto con respecto a la topología del producto, aunque sí lo sea según el teorema de Tychonoff (véase, por ejemplo, Wilansky 1970 , p. 134 ). 

Esto es un fallo crítico: si X es un espacio de Hausdorff completamente regular , existe una incrustación natural de X en [0,1] C ( X ,[0,1]) , donde C ( X ,[0,1]) es el conjunto de aplicaciones continuas de X a [0,1]. La compacidad de [0,1] C ( X ,[0,1]) muestra, por lo tanto, que todo espacio de Hausdorff completamente regular se incrusta en un espacio de Hausdorff compacto (o puede ser "compactificado"). Esta construcción es la compactificación de Stone-Čech . Recíprocamente, todos los subespacios de espacios de Hausdorff compactos son espacios de Hausdorff completamente regulares, por lo que esto caracteriza a los espacios de Hausdorff completamente regulares como aquellos que pueden ser compactificados. Dichos espacios se denominan ahora espacios de Tychonoff .

Aplicaciones

El teorema de Tychonoff se ha utilizado para demostrar muchos otros teoremas matemáticos. Estos incluyen teoremas sobre la compacidad de ciertos espacios, como el teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad débil-* de la bola unitaria del espacio dual de un espacio vectorial normado , y el teorema de Arzelà-Ascoli que caracteriza las secuencias de funciones en las que cada subsecuencia tiene una subsecuencia uniformemente convergente . También incluyen enunciados menos obviamente relacionados con la compacidad, como el teorema de De Bruijn-Erdős que afirma que todo grafo k -cromático mínimo es finito, y el teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon que proporciona una caracterización topológica de los autómatas celulares .

Como regla general, cualquier tipo de construcción que tome como entrada un objeto bastante general (a menudo de naturaleza algebraica o topológica-algebraica) y produzca un espacio compacto probablemente utilice Tychonoff: por ejemplo, el espacio de Gelfand de ideales maximales de un álgebra C* conmutativa , el espacio de Stone de ideales maximales de un álgebra booleana y el espectro de Berkovich de un anillo de Banach conmutativo .

Demostraciones del teorema de Tychonoff

1) La demostración de Tychonoff de 1930 utilizó el concepto de punto de acumulación completa .

2) El teorema es un corolario rápido del teorema de la subbase de Alexander .

Las demostraciones más modernas se han motivado por las siguientes consideraciones: el enfoque de compacidad mediante la convergencia de subsecuencias conduce a una demostración simple y transparente en el caso de conjuntos de índices numerables. Sin embargo, el enfoque de convergencia en un espacio topológico mediante secuencias es suficiente cuando el espacio satisface el primer axioma de numerabilidad (como los espacios metrizables), pero generalmente no en otros casos. No obstante, el producto de una cantidad incontable de espacios metrizables, cada uno con al menos dos puntos, no es numerable en primer lugar. Por lo tanto, es natural esperar que una noción adecuada de convergencia en espacios arbitrarios conduzca a un criterio de compacidad que generalice la compacidad secuencial en espacios metrizables y que pueda aplicarse con la misma facilidad para deducir la compacidad de productos. Esto se ha confirmado.

3) La teoría de convergencia mediante filtros, debida a Henri Cartan y desarrollada por Bourbaki en 1937, conduce al siguiente criterio: asumiendo el lema del ultrafiltro , un espacio es compacto si y solo si cada ultrafiltro en el espacio converge. Con esto en mano, la demostración se vuelve sencilla: la (filtro generado por la) imagen de un ultrafiltro en el espacio producto bajo cualquier mapa de proyección es un ultrafiltro en el espacio factorial, que por lo tanto converge, al menos a un x i . Entonces se demuestra que el ultrafiltro original converge a x  =  ( x i ).

3) Adaptando la demostración anterior, también es posible dar una demostración directamente a partir del lema de Zorn ; véase el lema de Zorn §  Una demostración del teorema de Tychonoff . (Por ejemplo, en su libro de texto, Munkres ofrece una demostración de este tipo).

4) De manera similar, la teoría de Moore-Smith sobre la convergencia mediante redes, complementada con la noción de red universal de Kelley , conduce al criterio de que un espacio es compacto si y solo si cada red universal sobre dicho espacio converge. Este criterio da lugar a una demostración (Kelley, 1950) del teorema de Tychonoff, que es idéntica, palabra por palabra, a la demostración de Cartan/Bourbaki que utiliza filtros, salvo por la sustitución reiterada de "red universal" por "ultrafiltro". En 1992, Paul Chernoff presentó una demostración que utiliza redes, pero no redes universales; véase más adelante.

5) Para espacios de Hausdorff compactos, el teorema (un producto de espacios de Hausdorff compactos es un espacio de Hausdorff compacto) se puede deducir de un resultado correspondiente para locales: a saber, un producto de locales compactos es compacto. [ 4 ]

Demostración mediante redes

Una demostración aquí, [ 5 ] debida a P. Chernoff, se basa en la siguiente caracterización de la compacidad en términos de redes; a saber,

  • Un espacio es compacto si y solo si cada red en él tiene un punto de agrupación.

Dada una familia de conjuntos compactosincógnitaa{\displaystyle X_{a}}indexado por un conjuntoA{\displaystyle A}para mostrar

∏a∈Aincógnitaa{\displaystyle \prod _{a\in A}X_{a}}

es compacto, por lo tanto podemos mostrar cada red⟨incógnitaα∣α∈I⟩{\displaystyle \langle x_{\alpha }\mid \alpha \in I\rangle }en él tiene un punto de agrupación.

Identificaremos el producto∏a∈Aincógnitaa{\displaystyle \prod _{a\in A}X_{a}}como el conjunto de todos los mapasF:A→∪a∈Aincógnitaa{\displaystyle f:A\to \cup _{a\in A}X_{a}}de tal manera queF(a)∈incógnitaa{\displaystyle f(a)\in X_{a}}De hecho, esta es la definición habitual de un producto de teoría de conjuntos. Entonces, encontrar un punto de agrupamiento requerido equivale a construir un mapa con la propiedad requerida. Para ello, consideremos el conjunto

mi:={F:B→Y∣B⊂A,F(b)∈incógnitab,F un punto de agrupación de incógnitai|B}{\displaystyle E:=\{f:B\to Y\mid B\subset A,f(b)\in X_{b},\,f\,{\text{ un punto de agrupación de }}\,{x_{i}}|_{B}\}}

dóndeY=∪a∈Aincógnitaa{\displaystyle Y=\cup _{a\in A}X_{a}}. A este conjunto le damos el ordenamiento por restricción; es decir,F≤gramo{\displaystyle f\leq g}si y solo siF{\displaystyle f}es la restricción degramo{\displaystyle g}.

Ahora afirmamos que se satisface la hipótesis del lema de Zorn. Para ello, seaFi:Bi→Y{\displaystyle f_{i}:B_{i}\to Y}ser una cadena en lo anteriormi{\displaystyle E}y definirF:B→Y{\displaystyle f:B\to Y}porB=∪iBi{\displaystyle B=\cup _{i}B_{i}}yF|Bi=Fi{\displaystyle f|_{B_{i}}=f_{i}}Para mostrarF{\displaystyle f}es un punto de agrupación deincógnitai|B{\displaystyle {x_{i}}|_{B}}, dejarU{\displaystyle U}ser un vecindario básico deF{\displaystyle f}en∏a∈Bincógnitaa.{\displaystyle \prod _{a\in B}X_{a}.}Por definición, se puede escribir comoU=∏do∈doUdo×∏b∈B−doincógnitab{\displaystyle U=\prod _{c\in C}U_{c}\times \prod _{b\in BC}X_{b}}para algún subconjunto finitodo⊂B{\displaystyle C\subset B}y subconjuntos abiertosUdo⊂incógnitado{\displaystyle U_{c}\subset X_{c}}Ahora, desdedo{\displaystyle C}es finito,do⊂Bi{\displaystyle C\subset B_{i}}para lo suficientemente grandei{\displaystyle i}. Y desde entoncesF|Bi{\displaystyle f|_{B_{i}}}es un punto de agrupación de la redincógnitaα|Bi{\displaystyle x_{\alpha }|_{B_{i}}}, para cadaα∈I{\displaystyle \alpha \in I}, podemos encontrar unβ≥α{\displaystyle \beta \geq \alpha }de tal manera queincógnitaβ|Bi∈∏do∈doUdo×∏b∈Bi−doincógnitab{\displaystyle x_{\beta }|_{B_{i}}\in \prod _{c\in C}U_{c}\times \prod _{b\in B_{i}-C}X_{b}}y por lo tantoincógnitaβ|B∈U{\displaystyle x_{\beta }|_{B}\in U}según sea necesario.

Por lo tanto, mediante el lema de Zorn, podemos encontrar un elemento maximal.F:B→Y{\displaystyle f:B\to Y}enmi{\displaystyle E}Lo demostraremos.B=A{\displaystyle B=A}. Supongamos lo contrario; entonces hay un elementoa∈A−B{\displaystyle a\in AB}. Ahora,F|B{\displaystyle f|_{B}}es un punto de agrupación de⟨incógnitaα|B∣α∈I⟩{\displaystyle \langle x_{\alpha }|_{B}\mid \alpha \in I\rangle }y así podemos encontrar una subredincógnita′:J→I→incógnita∏incógnitaa{\displaystyle x':J\to I{\overset {x}{\to }}\prod X_{a}}de la redincógnita{\displaystyle x}de tal manera queincógnitaα′|B{\displaystyle x'_{\alpha }|_{B}}converge aF|B{\displaystyle f|_{B}}. Desdeincógnitaa{\displaystyle X_{a}}es compacto,incógnitaα′|{a}{\displaystyle x'_{\alpha }|_{\{a\}}}tiene un punto de clúster, y de manera similar podemos encontrar una subredincógnita″{\displaystyle x''}deincógnita′{\displaystyle x'}que converge en{a}{\displaystyle \{a\}}, hasta cierto punto deincógnitaa{\displaystyle X_{a}}Por lo tanto, podemos extenderF{\displaystyle f}agramo{\displaystyle g}ese es un límite deincógnita″|B∪{a}{\displaystyle x''|_{B\cup \{a\}}}, una contradicción a la máxima deF{\displaystyle f}.◻{\displaystyle \square }

El teorema de Tychonoff y el axioma de elección

Todas las demostraciones anteriores utilizan el axioma de elección (AC) de alguna manera. Por ejemplo, la tercera demostración utiliza que todo filtro está contenido en un ultrafiltro (es decir, un filtro maximal), lo cual se observa al invocar el lema de Zorn . El lema de Zorn también se utiliza para demostrar el teorema de Kelley, que establece que toda red tiene una subred universal. De hecho, estos usos del AC son esenciales: en 1950, Kelley demostró que el teorema de Tychonoff implica el axioma de elección en ZF . Cabe señalar que una formulación del AC establece que el producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos es no vacío; pero dado que el conjunto vacío es sin duda compacto, la demostración no puede proceder de forma tan directa. Por lo tanto, el teorema de Tychonoff se une a otros teoremas básicos (por ejemplo, que todo espacio vectorial tiene una base) al ser equivalente al AC.

Por otro lado, la afirmación de que todo filtro está contenido en un ultrafiltro no implica AC. De hecho, es fácil ver que es equivalente al teorema del ideal primo booleano (BPI), un punto intermedio bien conocido entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la teoría ZF aumentada con el axioma de elección (ZFC). Una primera mirada a la segunda demostración de Tychnoff podría sugerir que la demostración no utiliza más que (BPI), en contradicción con lo anterior. Sin embargo, los espacios en los que todo filtro convergente tiene un límite único son precisamente los espacios de Hausdorff. En general, debemos seleccionar, para cada elemento del conjunto de índices, un elemento del conjunto no vacío de límites de la base de ultrafiltros proyectada, y por supuesto esto utiliza AC. Sin embargo, también muestra que la compacidad del producto de espacios de Hausdorff compactos puede probarse utilizando (BPI), y de hecho, lo contrario también es cierto. El estudio de la fuerza del teorema de Tychonoff para diversas clases restringidas de espacios es un área activa en la topología de conjuntos .

El análogo del teorema de Tychonoff en topología sin sentido no requiere ninguna forma del axioma de elección.

Demostración del axioma de elección a partir del teorema de Tychonoff.

Para demostrar que el teorema de Tychonoff en su versión general implica el axioma de elección, establecemos que todo producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos es no vacío. La parte más compleja de la demostración reside en introducir la topología adecuada. Esta topología, como se ha comprobado, es la topología cofinita con una pequeña modificación. Resulta que todo conjunto, dada esta topología, se convierte automáticamente en un espacio compacto. Una vez que tenemos este hecho, podemos aplicar el teorema de Tychonoff; entonces utilizamos la definición de compacidad de la propiedad de intersección finita (PIF). La demostración propiamente dicha (de J.L. Kelley ) es la siguiente:

Sea { A i } una familia indexada de conjuntos no vacíos, para i perteneciente a I (donde I es un conjunto de índices arbitrario). Queremos demostrar que el producto cartesiano de estos conjuntos no es vacío. Ahora, para cada i , tomemos X i como A i con el índice i añadido (renombrando los índices mediante la unión disjunta si es necesario; podemos suponer que i no pertenece a A i , así que simplemente tomamos X i = A i ∪ { i }).

Ahora definamos el producto cartesiano incógnita=∏i∈Iincógnitai{\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} junto con los mapas de proyección natural π i que llevan un miembro de X a su i- ésimo término.

Damos a cada X j la topología cuyos conjuntos abiertos son: el conjunto vacío, el conjunto unitario { i }, el conjunto X i . Esto hace que X i sea compacto, y por el teorema de Tychonoff, X también es compacto (en la topología producto). Las proyecciones son continuas; todos los A i son cerrados, siendo complementos del conjunto abierto unitario { i } en X i . Por lo tanto , las imágenes inversas π i −1 ( A i ) son subconjuntos cerrados de X . Observamos que ∏i∈IAi=⋂i∈Iπi−1(Ai){\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(A_{i})} y demostrar que estas imágenes inversas tienen el FIP. Sea i 1 , ..., i N una colección finita de índices en I . Entonces el producto finito A i 1 × ... × A i N no es vacío (solo hay un número finito de opciones aquí, por lo que no se necesita AC); simplemente consiste en N -tuplas. Sea a = ( a 1 , ..., a N ) una N -tupla de este tipo. Extendemos a a todo el conjunto de índices: tomamos a como la función f definida por f ( j ) = a k si j = i k , y f ( j ) = j en caso contrario. Este paso es donde la adición del punto extra a cada espacio es crucial , ya que nos permite definir f para todo lo que está fuera de la N -tupla de una manera precisa sin opciones (ya podemos elegir, por construcción, j de X j ). π i k ( f ) = a k es obviamente un elemento de cada A i k de modo que f está en cada imagen inversa; por lo tanto tenemos ⋂k=1norteπik−1(Aik)≠∅.{\displaystyle \bigcap _{k=1}^{N}\pi _{i_{k}}^{-1}(A_{i_{k}})\neq \varnothing .}

Según la definición de compacidad de la FIP, toda la intersección sobre I debe ser no vacía, y la demostración está completa.

Véase también

Notas

  1. ^ Tikhonov, Andrey Nikolayevich (1935), "Über einen Funktionraum", Mathematische Annalen (en alemán) (111): 762– 766
  2. ↑ Willard, Stephen (2004), Topología general , Dover, pág. 120, ISBN  978-0-486-43479-7
  3. ↑ Goguen, Joseph (septiembre de 1973), "El teorema de Tychonoff difuso", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 43 (3): 734–742 , doi : 10.1016/0022-247X(73)90288-6
  4. ↑ Cap. III, § 1.10. Johnstone, Peter (1982), Stone Spaces , Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, ISBN  0-521-33779-8
  5. ↑ Teorema 4.42. en Folland, Gerald B. (2007), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª ed.), Wiley 

Referencias

  • Chernoff, Paul R. (1992), "Una demostración sencilla del teorema de Tychonoff mediante redes", American Mathematical Monthly , 99 (10): 932– 934, doi : 10.2307/2324485 , JSTOR 2324485 .
  • Johnstone, Peter T. (1982), Stone spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  3, Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5.
  • Johnstone, Peter T. (1981), "El teorema de Tychonoff sin el axioma de elección", Fundamenta Mathematicae , 113 : 21–35 , doi : 10.4064/fm-113-1-21-35.
  • Kelley, John L. (1950), "Convergencia en topología", Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277– 283, doi : 10.1215/S0012-7094-50-01726-1.
  • Kelley, John L. (1950), "El teorema del producto de Tychonoff implica el axioma de elección", Fundamenta Mathematicae , 37 : 75–76 , doi : 10.4064/fm-37-1-75-76.
  • Munkres, James R. (2000), Topología (2.ª  ed.), Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. , ISBN 978-0-13-181629-9, OCLC 42683260 ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
  • Tychonoff, Andrey N. (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen (en alemán), 102 (1): 544– 561, doi : 10.1007/BF01782364.
  • Wilansky, A. (1970), Topología para el análisis , Ginn and Company
  • Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general , Mineola, NY : Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, OCLC 115240 
  • Wright, David G. (1994), "Teorema de Tychonoff.", Proc. Amer. Math. Soc. , 120 (3): 985– 987, doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2.