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Tipo y cotipo de un espacio Banach

En el análisis funcional , el tipo y el cotipo de un espacio de Banach son una clasificación de los espacios de Banach a través de la teoría de la probabilidad y una medida de c...

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En el análisis funcional , el tipo y el cotipo de un espacio de Banach son una clasificación de los espacios de Banach a través de la teoría de la probabilidad y una medida de cuán lejos está un espacio de Banach de ser un espacio de Hilbert .

El punto de partida es la identidad pitagórica para vectores ortogonales.(mik)k=1norte{\displaystyle (e_{k})_{k=1}^{n}}en espacios de Hilbert

‖∑k=1nortemik‖2=∑k=1norte‖mik‖2.{\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}e_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\|e_{k}\right\|^{2}.}

Esta identidad ya no se cumple en espacios de Banach generales; sin embargo, se puede introducir una noción de ortogonalidad de forma probabilística con la ayuda de variables aleatorias de Rademacher , por esta razón también se habla de tipo de Rademacher y cotipo de Rademacher .

La noción de tipo y cotipo fue introducida por el matemático francés Jean-Pierre Kahane .

Definición

Dejar

  • (incógnita,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\cdot \|)}ser un espacio Banach,
  • (εi){\ Displaystyle (\ varepsilon _ {i})}sea ​​una secuencia de variables aleatorias de Rademacher independientes, es decirPAG(εi=−1)=PAG(εi=1)=1/2{\displaystyle P(\varepsilon _{i}=-1)=P(\varepsilon _{i}=1)=1/2}ymi[εiεmetro]=0{\displaystyle \mathbb {E} [\varepsilon _{i}\varepsilon _{m}]=0}parai≠metro{\displaystyle i\neq m}yVar⁡[εi]=1{\displaystyle \operatorname {Var} [\varepsilon _ {i}]=1}.

La notaciónmiε{\displaystyle \mathbb {E} _ {\varepsilon }}significa que integramos con respecto a la variableε{\displaystyle \varepsilon }.

Tipo

incógnita{\displaystyle X}es de tipopag{\displaystyle p}parapag∈[1,2]{\displaystyle p\in [1,2]}si existe una constante finitado≥1{\displaystyle C\geq 1}de tal manera que

miε[‖∑i=1norteεiincógnitai‖pag]≤dopag(∑i=1norte‖incógnitai‖pag){\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)}

para todas las secuencias finitas(incógnitai)i=1norte∈incógnitanorte{\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}La constante más agudado{\displaystyle C}se llama tipopag{\displaystyle p}constante y denotada comoTpag(incógnita){\displaystyle T_{p}(X)}.

Cotipo

incógnita{\displaystyle X}es de cotipoq{\displaystyle q}paraq∈[2,∞]{\displaystyle q\in [2,\infty ]}si existe una constante finitado≥1{\displaystyle C\geq 1}de tal manera que

miε[‖∑i=1norteεiincógnitai‖q]≥1doq(∑i=1norte‖incógnitai‖q),si2≤q<∞{\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{si}}\;2\leq q<\infty }

respectivamente

miε[‖∑i=1norteεiincógnitai‖]≥1dosorber‖incógnitai‖,siq=∞{\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{if}}\;q=\infty }

para todas las secuencias finitas(incógnitai)i=1norte∈incógnitanorte{\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}La constante más agudado{\displaystyle C}se llama cotipoq{\displaystyle q}constante y denotada comodoq(incógnita){\displaystyle C_{q}(X)}. [ 1 ]

Observaciones

Al tomar elpag{\displaystyle p}-otro ret.q{\displaystyle q}-raíz -ésima se obtiene la ecuación para el BochnerLpag{\displaystyle L^{p}}norma .

Propiedades

  • Cada espacio Banach es de tipo1{\displaystyle 1}(se deduce de la desigualdad triangular ).
  • Un espacio de Banach es de tipo2{\displaystyle 2}y cotipo2{\displaystyle 2}si y solo si el espacio es también isomorfo a un espacio de Hilbert.

Si un espacio de Banach:

  • es de tipopag{\displaystyle p}entonces también es de tipopag′∈[1,pag]{\displaystyle p'\in [1,p]}.
  • es de cotipoq{\displaystyle q}entonces también es de cotipoq′∈[q,∞]{\displaystyle q'\in [q,\infty ]}.
  • es de tipopag{\displaystyle p}para1<pag≤2{\displaystyle 1<p\leq 2}, entonces su espacio dualincógnita∗{\displaystyle X^{*}}es de cotipopag∗{\displaystyle p^{*}}conpag∗:=(1−1/pag)−1{\displaystyle p^{*}:=(1-1/p)^{-1}}( índice conjugado ). Además, sostiene quedopag∗(incógnita∗)≤Tpag(incógnita){\displaystyle C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)}[ 1 ]

Ejemplos

  • ElLpag{\displaystyle L^{p}}espacios parapag∈[1,2]{\displaystyle p\in [1,2]}son de tipopag{\displaystyle p}y cotipo2{\displaystyle 2}, esto significaL1{\displaystyle L^{1}}es de tipo1{\displaystyle 1},L2{\displaystyle L^{2}}es de tipo2{\displaystyle 2}etcétera.
  • ElLpag{\displaystyle L^{p}}espacios parapag∈[2,∞){\displaystyle p\in [2,\infty )}son de tipo2{\displaystyle 2}y cotipopag{\displaystyle p}.
  • El espacioL∞{\displaystyle L^{\infty }}es de tipo1{\displaystyle 1}y cotipo∞{\displaystyle \infty }. [ 2 ]

Literatura

  • Li, Daniel; Queffélec, Hervé (2017). Introducción a los espacios de Banach: análisis y probabilidad . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. pp. 159–209 . doi : 10.1017/CBO9781316675762.009 . 
  • Joseph Diestel (1984). Secuencias y series en espacios de Banach . Springer Nueva York.
  • Laurent Schwartz (2006). Geometría y probabilidad en espacios de Banach . Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-10691-3.
  • Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol.  23. Berlín, Heidelberg: Springer. doi : 10.1007/978-3-642-20212-4_11 .

Referencias

  1. 1 2 Li, Daniel; Queffélec, Hervé (2017). Introducción a los espacios de Banach: análisis y probabilidad . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. pp. 159– 209. doi : 10.1017/CBO9781316675762.009 . 
  2. ^ Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 23. Berlín, Heidelberg: Springer. doi : 10.1007/978-3-642-20212-4_11 .