Grupo unitario

En matemáticas , el grupo unitario de grado $n$ , denotado $\operatorname {U} (n)$ , es el grupo de $n\times n$ Matrices unitarias , con la operación de grupo de multiplicación de matrices . El grupo unitario es un subgrupo del grupo lineal general. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ y tiene como subgrupo el grupo unitario especial , que consiste en aquellas matrices unitarias con determinante $1$ .

En el caso simple $n=1$ , el grupo $\operatorname {U} (1)$ corresponde al grupo circular , isomorfo al conjunto de todos los números complejos que tienen valor absoluto. $1$ , bajo la multiplicación. Todos los grupos unitarios contienen copias de este grupo.

El grupo unitario $\operatorname {U} (n)$ es un verdadero grupo de mentiras de dimensión $n^{2}$ . El álgebra de Lie de $\operatorname {U} (n)$ consta de $n\times n$ matrices antihermíticas , con el corchete de Lie dado por el conmutador .

El grupo unitario general , también llamado grupo de similitudes unitarias , consta de todas las matrices $A$ de tal manera que $A^{*}A$ es un múltiplo no nulo de la matriz identidad , y es simplemente el producto del grupo unitario con el grupo de todos los múltiplos positivos de la matriz identidad.

Los grupos unitarios también pueden definirse sobre cuerpos distintos de los números complejos. El grupo hiperortogonal es un nombre arcaico para el grupo unitario, especialmente sobre cuerpos finitos .

Propiedades

Dado que el determinante de una matriz unitaria es un número complejo con norma $1$ , el determinante da un homomorfismo de grupo $\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).$

El núcleo de este homomorfismo es el conjunto de matrices unitarias con determinante $1$ Este subgrupo se denomina grupo unitario especial , denotado $\operatorname {SU} (n)$ . Entonces tenemos una secuencia corta y exacta de grupos de Lie: $1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.$

El mapa anterior $\operatorname {U} (n)$ a $\operatorname {U} (1)$ tiene una sección: podemos ver $\operatorname {U} (1)$ como subgrupo de $\operatorname {U} (n)$ que son diagonales con $e^{i\theta }$ en la esquina superior izquierda y $1$ en el resto de la diagonal. Por lo tanto $\operatorname {U} (n)$ es un producto semidirecto de $\operatorname {U} (1)$ con $\operatorname {SU} (n)$ .

El grupo unitario $\operatorname {U} (n)$ no es abeliano para $n>1$ . El centro de $\operatorname {U} (n)$ es el conjunto de matrices escalares $\lambda I$ con $\lambda \in \operatorname {U} (1)$ ; esto se deduce del lema de Schur . El centro es entonces isomorfo a $\operatorname {U} (1)$ . Dado que el centro de $\operatorname {U} (n)$ es un $1$ -dimensional subgrupo normal abeliano de $\operatorname {U} (n)$ , el grupo unitario no es semisimple , pero es reductivo .

Topología

El grupo unitario $\operatorname {U} (n)$ está dotado de la topología relativa como un subconjunto de $M(n,\mathbb {C} )$ , el conjunto de todos $n\times n$ matrices complejas, que en sí mismas son homeomorfas a una $2n^{2}$ Espacio euclidiano de -dimensiones .

Como espacio topológico, $\operatorname {U} (n)$ es compacto y conectado . Para demostrar que $\operatorname {U} (n)$ está conectado, recordemos que cualquier matriz unitaria $A$ puede diagonalizarse mediante otra matriz unitaria $S$ Cualquier matriz unitaria diagonal debe tener números complejos de valor absoluto. $1$ en la diagonal principal . Por lo tanto, podemos escribir $A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.$

Un camino en $\operatorname {U} (n)$ de la identidad a $A$ entonces se da por $t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.$

El grupo unitario no está simplemente conectado ; el grupo fundamental de $\operatorname {U} (n)$ es cíclico infinito para todo $n$ : ^{[ 1 ]} $\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbb {Z}.$

Para ver esto, observe la división anterior de $\operatorname {U} (n)$ como producto semidirecto de $\operatorname {SU} (n)$ y $\operatorname {U} (1)$ induce una estructura de producto topológico en $\operatorname {U} (n)$ , de modo que $\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).$

Ahora el primer grupo unitario $\operatorname {U} (1)$ es topológicamente un círculo , que es bien sabido que tiene un grupo fundamental isomorfo a $\mathbb {Z}$ , mientras $\operatorname {SU} (n)$ simplemente está conectado. ^{[ 2 ]}

El mapa determinante $\det \colon \operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {U} (1)$ induce un isomorfismo de grupos fundamentales, con la división $\operatorname {U} (1)\rightarrow \operatorname {U} (n)$ induciendo lo inverso.

El grupo Weyl de $\operatorname {U} (n)$ es el grupo simétrico $S_{n}$ , actuando sobre el toro diagonal mediante la permutación de las entradas: $\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)$

Grupos relacionados

Propiedad de 2 de 3

El grupo unitario es la intersección triple de los grupos ortogonal , complejo y simpléctico : $\operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ).$

Así, una estructura unitaria puede verse como una estructura ortogonal, una estructura compleja y una estructura simpléctica, las cuales deben ser compatibles (lo que significa que se utiliza la misma). $J$ en la estructura compleja y la forma simpléctica, y que esta $J$ es ortogonal; escribir todos los grupos como grupos de matrices fija una $J$ (que es ortogonal) y garantiza la compatibilidad).

De hecho, es la intersección de dos cualesquiera de estas tres; por lo tanto, una estructura ortogonal y compleja compatible induce una estructura simpléctica, y así sucesivamente. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

A nivel de ecuaciones, esto se puede ver de la siguiente manera:

Cualquiera de estas dos ecuaciones implica la tercera.

A nivel de formas, esto se puede observar descomponiendo una forma hermitiana en sus partes real e imaginaria: la parte real es simétrica (ortogonal) y la parte imaginaria es antisimétrica (simpléctica), y estas están relacionadas por la estructura compleja (que es la compatibilidad). En una variedad casi Kähler , esta descomposición se puede escribir como $h=g+i\omega$ , dónde $h$ es la forma hermitiana, $g$ es la métrica riemanniana , $i$ es la estructura casi compleja , y $\omega$ es la estructura casi simpléctica .

Desde el punto de vista de los grupos de Lie , esto se puede explicar en parte de la siguiente manera: $\operatorname {O} (2n)$ es el subgrupo compacto maximal de $\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )$ , y $\operatorname {U} (n)$ es el subgrupo compacto maximal de ambos $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ y $\operatorname {Sp} (2n)$ . Por lo tanto, la intersección $\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ o $\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n)$ es el subgrupo compacto maximal de ambos, por lo tanto $\operatorname {U} (n)$ Desde esta perspectiva, lo inesperado es la intersección $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n)=\operatorname {U} (n)$ .

Grupos unitarios especiales y grupos unitarios proyectivos

Al igual que el grupo ortogonal $\operatorname {O} (n)$ tiene el grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ como subgrupo y el grupo ortogonal proyectivo $\operatorname {PO} (n)$ como cociente, y el grupo ortogonal especial proyectivo $\operatorname {PSO} (n)$ como subcociente , el grupo unitario $\operatorname {U} (n)$ tiene asociado a él el grupo unitario especial $\operatorname {SU} (n)$ , el grupo unitario proyectivo $\operatorname {PU} (n)$ y el grupo unitario especial proyectivo $\operatorname {PSU} (n)$ Estos se relacionan como se muestra en el diagrama conmutativo de la derecha; cabe destacar que ambos grupos proyectivos son iguales: $\operatorname {PSU} (n)=\operatorname {PU} (n)$ .

Lo anterior se refiere al grupo unitario clásico (sobre los números complejos); para grupos unitarios sobre cuerpos finitos , se obtienen de manera similar grupos unitarios especiales y grupos unitarios proyectivos, pero en general $\operatorname {PSU} (n,q^{2})\neq \operatorname {PU} (n,q^{2})$ .

Estructura G: casi hermitiana

En el lenguaje de las G -estructuras , una variedad con una $\operatorname {U} (n)$ -La estructura es una variedad casi hermitiana .

Generalizaciones

Desde el punto de vista de la teoría de Lie , el grupo unitario clásico es una forma real del grupo de Steinberg. ${}^{2}\!A_{n}$ , que es un grupo algebraico que surge de la combinación del automorfismo de diagramas del grupo lineal general (invirtiendo el diagrama de Dynkin) $A_{n}$ , que corresponde a la transpuesta inversa) y el automorfismo de campo de la extensión $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ (es decir, conjugación compleja ). Ambos automorfismos son automorfismos del grupo algebraico, tienen orden $2$ y conmutan, y el grupo unitario son los puntos fijos del automorfismo producto, como un grupo algebraico. El grupo unitario clásico es una forma real de este grupo, que corresponde a la forma hermitiana estándar. $\Psi$ , que es definida positiva.

Esto se puede generalizar de varias maneras:

La generalización a otras formas hermíticas produce grupos unitarios indefinidos. $\operatorname {U} (p,q)$ ;
La extensión del campo puede ser reemplazada por cualquier grado. $2$ álgebra separable, sobre todo un grado $2$ extensión de un campo finito;
La generalización a otros diagramas produce otros grupos de tipo Lie , a saber, los otros grupos de Steinberg. ${}^{2}\!D_{n}$ , ${}^{2}\!E_{6}$ , ${}^{3}\!D_{4}$ , (además de ${}^{2}\!A_{n}$ ) y los grupos Suzuki-Ree
${}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right)$ ;
Si se considera un grupo unitario generalizado como un grupo algebraico, se pueden tomar sus puntos sobre diversas álgebras.

Formas indefinidas

De forma análoga a los grupos ortogonales indefinidos , se puede definir un grupo unitario indefinido considerando las transformaciones que preservan una forma hermitiana dada, no necesariamente definida positiva (pero generalmente considerada no degenerada). Aquí se trabaja con un espacio vectorial sobre los números complejos.

Se le dio una forma hermitiana $\Psi$ en un espacio vectorial complejo $V$ , el grupo unitario $\operatorname {U} (\Psi )$ es el grupo de transformaciones que preservan la forma: la transformación $M$ de tal manera que $\Psi (Mv,Mw)=\Psi (v,w)$ a pesar de $v,w\in V$ . En términos de matrices, representando la forma mediante una matriz denotada $\Phi$ , esto dice que $M^{*}\Phi M=\Phi$ .

Al igual que las formas simétricas sobre los números reales, las formas hermíticas están determinadas por la signatura y son todas unitariamente congruentes a una forma diagonal con $p$ entradas de $1$ en diagonal y $q$ entradas de $-1$ . La suposición de no degeneración es equivalente a $p+q=n$ En una base estándar, esto se representa como una forma cuadrática de la siguiente manera: $\lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2},$

y como una forma simétrica como: $\Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.$

El grupo resultante se denota $\operatorname {U} (p,q)$ .

Campos finitos

Sobre el campo finito con $q=p^{r}$ elementos, $\mathbb {F} _{q}$ , existe un campo de extensión cuadrático único, $\mathbb {F} _{q^{2}}$ , con orden $2$ automorfismo $\alpha \colon x\mapsto x^{q}$ (el $r$ potencia n del automorfismo de Frobenius ). Esto permite definir una forma hermitiana en un $\mathbb {F} _{q^{2}}$ espacio vectorial $V$ , como un $\mathbb {F} _{q}$ -mapa bilineal $\Psi \colon V\times V\to K$ de tal manera que $\Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)$ y $\Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)$ para $c\in \mathbb {F} _{q^{2}}$ Además , todas las formas hermíticas no degeneradas en un espacio vectorial sobre un cuerpo finito son unitariamente congruentes con la forma estándar, representada por la matriz identidad; es decir, cualquier forma hermítica es unitariamente equivalente a $\Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}$ dónde $w_{i},v_{i}$ representan las coordenadas de $w,v\in V$ en algún particular $\mathbb {F} _{q^{2}}$ -base de la $n$ espacio dimensional $V$ . ^{[ 5 ]}

De este modo se puede definir un grupo unitario (único) de dimensión $n$ para la extensión $\mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}$ , denotado como $\operatorname {U} (n,q)$ o $\operatorname {U} (n,q^{2})$ dependiendo del autor. El subgrupo del grupo unitario que consta de matrices de determinante $1$ se denomina grupo unitario especial y se denota $\operatorname {SU} (n,q)$ o $\operatorname {SU} (n,q^{2})$ . Para mayor comodidad, este artículo utilizará el $\operatorname {U} (n,q^{2})$ convención. El centro de $\operatorname {U} (n,q^{2})$ tiene orden $q+1$ y consta de las matrices escalares que son unitarias, es decir, esas matrices $cI_{V}$ con $c^{q+1}=1$ . El centro del grupo unitario especial tiene orden $\gcd(n,q+1)$ y consta de aquellos escalares unitarios que también tienen orden divisor $n$ . El cociente del grupo unitario por su centro se llama grupo unitario proyectivo , $\operatorname {PU} (n,q^{2})$ y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo. $\operatorname {PSU} (n,q^{2})$ . En la mayoría de los casos ( $n>1$ y $(n,q^{2})\not \in \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}$ ), $\operatorname {SU} (n,q^{2})$ es un grupo perfecto y $\operatorname {PSU} (n,q^{2})$ es un grupo simple finito . ^{[ 6 ]}

Álgebras separables de grado 2

De manera más general, dado un campo $k$ y un título- $2$ separable $k$ -álgebra $K$ (que puede ser una extensión de campo, pero no necesariamente), se pueden definir grupos unitarios con respecto a esta extensión.

En primer lugar, hay una característica única. $k$ -automorfismo de $K$ $a\mapsto {\bar {a}}$ lo cual es una involución y fija exactamente $k$ ( $a={\bar {a}}$ si y solo si $a\in k$ ). ^{[ 7 ]} Esto generaliza la conjugación compleja y la conjugación de grado $2$ extensiones de campo finitas, y permite definir formas hermíticas y grupos unitarios como se indicó anteriormente.

Grupos algebraicos

Las ecuaciones que definen un grupo unitario son ecuaciones polinómicas sobre $k$ (pero no más de $K$ ): para la forma estándar $\Phi =I$ , las ecuaciones se dan en matrices como $A^{*}A=I$ , dónde $A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}$ es la transpuesta conjugada . Dada una forma diferente, son $A^{*}\Phi A=\Phi$ . El grupo unitario es, por lo tanto, un grupo algebraico , cuyos puntos sobre un $k$ -álgebra $R$ son dados por: $\operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.$

Para la extensión de campo $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ y la forma hermitiana estándar (definida positiva), estas dan como resultado un grupo algebraico con puntos reales y complejos dados por: ${\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbb {C} /\mathbb {R} )(\mathbb {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbb {C} /\mathbb {R} )(\mathbb {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).\end{aligned}}$

De hecho, el grupo unitario es un grupo algebraico lineal .

Grupo unitario de un módulo cuadrático

El grupo unitario de un módulo cuadrático es una generalización del grupo algebraico lineal. $U$ recién definida, que incorpora como casos especiales muchos grupos algebraicos clásicos diferentes . La definición se remonta a la tesis de Anthony Bak. ^{[ 8 ]}

Para definirlo, primero hay que definir los módulos cuadráticos:

Dejar $R$ ser un anillo con antiautomorfismo $J$ , $\varepsilon \in R^{\times }$ de tal manera que $r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}$ a pesar de $r$ en $R$ y $\varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}$ . Definir ${\begin{aligned}\Lambda _{\min }&:=\left\{r\in R:r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\max }&:=\left\{r\in R:r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}$

Dejar $\Lambda \subseteq R$ ser un subgrupo aditivo de $R$ , entonces $\Lambda$ se denomina parámetro de formulario si $\Lambda _{\min }\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\max }$ y $r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda$ Un par $(R,\Lambda )$ de tal manera que $R$ es un anillo y $\Lambda$ Un parámetro de formulario se llama anillo de formulario .

Dejar $M$ frijol $R$ -módulo y $f$ a $J$ -forma sesquilineal en $M$ (es decir, $f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s$ para cualquier $x,y\in M$ y $r,s\in R$ ). Definir $h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R$ y $q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda$ , entonces $f$ Se dice que define la $\Lambda$ -forma cuadrática $(h,q)$ en $M$ . Un módulo cuadrático sobre $(R,\Lambda )$ es un triple $(M,h,q)$ de tal manera que $M$ es un $R$ -módulo y $(h,q)$ es un $\Lambda$ -forma cuadrática.

A cualquier módulo cuadrático $(M,h,q)$ definido por un $J$ -forma sesquilineal $f$ en $M$ sobre un anillo de forma $(R,\Lambda )$ uno puede asociar el grupo unitario $U(M):=\{\sigma \in \operatorname {GL} (M):\forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.$

El caso especial donde $\Lambda =\Lambda _{\max }$ , con $J$ cualquier involución no trivial (es decir, $J\neq \operatorname {id} _{R}$ , $J^{2}=\operatorname {id} _{R}$ y $\varepsilon =-1$ devuelve el grupo unitario "clásico" (como un grupo algebraico).

Invariantes polinomiales

Los grupos unitarios son los automorfismos de dos polinomios en variables reales no conmutativas: ${\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}$

Estas se ven fácilmente como las partes reales e imaginarias de la forma compleja. $Z{\overline {Z}}$ . Los dos invariantes por separado son invariantes de $\operatorname {O} (2n)$ y $\operatorname {Sp} (2n)$ . Combinados forman los invariantes de $\operatorname {U} (n)$ que es un subgrupo de ambos grupos. Las variables deben ser no conmutativas en estos invariantes; de lo contrario, el segundo polinomio es idénticamente cero.

Espacio de clasificación

El espacio de clasificación para $\operatorname {U} (n)$ se describe en el artículo que clasifica el espacio para $U$ ( n ) .

Véase también

Notas

↑ Hall 2015 Proposición 13.11
↑ Hall 2015 Proposición 13.11
↑ Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (Segunda edición). Springer. pág. 225 .
↑ Baez, John. "Simpléctico, cuaterniónico, fermiónico" . Consultado el 1 de febrero de 2012 .
↑ Grove (2002) , Teorema 10.3.
↑ Grove (2002) , Teoremas 11.22 y 11.26.
↑ Milne, Grupos algebraicos y grupos aritméticos , pág. 103
↑ Bak, Anthony (1969). "Sobre módulos con formas cuadráticas". En Moss, Robert MF; Thomas, Charles B. (eds.). Teoría K algebraica y sus aplicaciones geométricas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 108. Springer. pp. 55– 66. doi : 10.1007/BFb0059990 .

Referencias

Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666

[1] Hall 2015 Proposición 13.11

[2] Hall 2015 Proposición 13.11

[3] Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (Segunda edición). Springer. pág. 225 .

[4] Baez, John. "Simpléctico, cuaterniónico, fermiónico" . Consultado el 1 de febrero de 2012 .

[FOOTNOTEGrove2002Theorem_10.3-5] Grove (2002) , Teorema 10.3.

[FOOTNOTEGrove2002Theorems_11.22_and_11.26-6] Grove (2002) , Teoremas 11.22 y 11.26.

[7] Milne, Grupos algebraicos y grupos aritméticos , pág. 103

[8] Bak, Anthony (1969). "Sobre módulos con formas cuadráticas". En Moss, Robert MF; Thomas, Charles B. (eds.). Teoría K algebraica y sus aplicaciones geométricas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 108. Springer. pp. 55– 66. doi : 10.1007/BFb0059990 .

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