Modelo UPA

En el análisis de redes sociales , el modelo de conexión preferencial uniforme ( UPA, por sus siglas en inglés) es una variación del modelo de Barabási-Albert en la que la conexión preferencial se percibe como de doble naturaleza. Los nuevos nodos que se unen a la red pueden conectarse con nodos de alto grado o con los nodos añadidos más recientemente. Este comportamiento se puede observar en algunos ejemplos de redes sociales, como la red de citas de publicaciones científicas. ^{[ 1 ]}

Para una red UPA con nodos${\displaystyle \{v_{1}....v_{t}\}}$, definimos para un nodo que llega${\displaystyle v_{t+1}}$un subconjunto de nodos${\displaystyle \{v_{t-w+1}...v_{t}\}}$con${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$Este subconjunto se llama ventana , que representa los últimos w nodos insertados en la red. Un nuevo nodo puede conectarse con un nodo del subconjunto de la ventana, con probabilidad p , o con cualquier otro nodo de la red.${\displaystyle \{v_{1}....v_{t}\}}$con probabilidad 1-p . En el primer caso, la distribución de probabilidad del nodo es uniforme: cada nodo tiene una probabilidad${\displaystyle 1/w}$de ser elegido. En este último, la selección de nodos sigue una regla de conexión preferencial, como en el modelo de Barabási-Albert .

El tamaño de la ventana${\displaystyle l}$puede ser constante durante la adición de nuevos nodos, expresado por${\displaystyle w:=w(t)=l}$, dónde${\displaystyle t}$es una variable de tiempo discreta. También puede crecer con el tiempo de acuerdo con${\displaystyle w:=w(t)=\lceil \alpha t\rceil }$, dónde${\displaystyle 0<\alpha <1}$, lo que significa que el crecimiento del tamaño de la ventana es lineal con el tamaño de la red. La red mantiene su comportamiento asintótico de ley de potencias en la distribución de grados para ambos casos.

Tenga en cuenta que cuando${\displaystyle l=1}$y${\displaystyle p=0}$, el modelo UPA se reduce al modelo Barabási-Albert . ^{[ 1 ]}

La distribución de grados para una red UPA es, considerando${\displaystyle t\rightarrow \infty }$y${\displaystyle l=1}$:

${\displaystyle P(k)={\begin{cases}{\dfrac {2(1-p)}{3-p}}&{\mbox{ si }}k=1\\{\dfrac {(1-p)^{2}}{(2-p)(3-p)}}+{\dfrac {p}{2-p}}&{\mbox{ si }}k=2\\({\dfrac {2}{1-p}}+2)({\dfrac {2}{1-p}}+1)B(k,1+{\dfrac {2}{1-p}}){\bar {P}}(2)&{\mbox{ si }}k>2\end{cases}}}$

Y para${\displaystyle l>1}$tenemos:

${\displaystyle P(k)={\begin{cases}{\dfrac {2}{(3-p)}}(1-{\dfrac {p}{l}})^{l}&{\mbox{ si }}k=1\\{\dfrac {2}{2+k(1-p)}}({\dfrac {p}{l}}(H_{k-1}-H_{k})+{\dfrac {(1-p)(k-1)}{2}}P(k-1)&{\mbox{ si }}2\leq k\leq l+1\\{\dfrac {B(k,l+2+{\dfrac {2}{1-p}})}{B(l+1,k+1+{\dfrac {2}{1-p}})}}P(l+1)&{\mbox{ si }}k>l+1\end{cases}}}$

Dónde${\displaystyle B(x,y)}$es la función Beta y${\displaystyle H_{k}}$es:

${\displaystyle H_{k}={\begin{cases}({\dfrac {p}{l}})^{k-1})\sum _{m=1}^{l-(k-1)}{\binom {lm}{lm-(k-1)}}(1-{\dfrac {p}{l}})^{lm-(k-1)}&{\mbox{ si }}1\leq k\leq l\\0&{\mbox{ si }}k>l\end{cases}}}$

La demostración de estas fórmulas implica el análisis de funciones recursivas y la desigualdad de Azuma-Hoeffding . Es observable que para${\displaystyle l=1}$y${\displaystyle p=0}$, la distribución de grados sigue una ley de potencias con exponente${\displaystyle \gamma =-3}$, como se esperaba para el modelo equivalente de Barabási-Albert . También se demuestra que para cada probabilidad${\displaystyle p}$y tamaño de la ventana${\displaystyle l}$, la red sigue asintóticamente una ley de potencias y, por lo tanto, mantiene su comportamiento libre de escala. ^{[ 1 ]}

• En lugar de una naturaleza doble que implique una conexión uniforme y preferencial, una red puede combinar conexiones preferenciales y antipreferenciales. En este modelo de red, los nodos pueden insertarse o eliminarse de la red con el paso del tiempo.${\displaystyle t}$. ^{[ 2 ]}