La conjetura de Ulam sobre el empaquetado

La conjetura de empaquetamiento de Ulam , que lleva el nombre de Stanisław Ulam , es una conjetura sobre la máxima densidad de empaquetamiento posible de sólidos convexos idénticos en el espacio euclidiano tridimensional . La conjetura afirma que la densidad óptima para el empaquetamiento de esferas congruentes es menor que la de cualquier otro cuerpo convexo. Es decir, según la conjetura, la esfera es el sólido convexo que obliga a que la mayor fracción de espacio permanezca vacía en su estructura de empaquetamiento óptima. Esta conjetura está, por lo tanto, relacionada con la conjetura de Kepler sobre el empaquetamiento de esferas . Dado que la solución a la conjetura de Kepler establece que las esferas idénticas deben dejar aproximadamente el 25,95 % del espacio vacío, la conjetura de Ulam es equivalente a afirmar que ningún otro sólido convexo obliga a que quede tanto espacio vacío.

Esta conjetura fue atribuida póstumamente a Ulam por Martin Gardner , quien comenta en una posdata agregada a una de sus columnas de Juegos Matemáticos que Ulam le comunicó esta conjetura en 1972. ^{[ 1 ]} Aunque la referencia original a la conjetura solo afirma que Ulam "sospechaba" que la bola era el peor caso para el empaquetamiento, la afirmación se ha tomado posteriormente como una conjetura.

Los experimentos numéricos con una gran variedad de sólidos convexos han dado como resultado, en cada caso, la construcción de empaquetamientos que dejan menos espacio vacío que el que deja el empaquetamiento compacto de esferas iguales , y por lo tanto, muchos sólidos han sido descartados como contraejemplos de la conjetura de Ulam. ^{[ 2 ]} Sin embargo, existe un espacio infinito de formas posibles que no han sido descartadas.

Yoav Kallus ha demostrado que, al menos entre los cuerpos con simetría puntual , la esfera constituye un máximo local de la fracción de espacio vacío forzado. ^{[ 3 ]} Es decir, cualquier sólido con simetría puntual que no se desvíe demasiado de una esfera puede empaquetarse con mayor eficiencia que las esferas.

El análogo de la conjetura de empaquetamiento de Ulam en dos dimensiones diría que ninguna forma convexa obliga a que más de ≈9,31% del plano permanezca descubierto, ya que esa es la fracción de espacio vacío que queda descubierto en el empaquetamiento más denso de discos . Sin embargo, el octágono regular y el octágono suavizado dan contraejemplos. Se conjetura que los heptágonos regulares obligan a que la mayor fracción del plano permanezca descubierto. ^{[ 4 ]} En dimensiones superiores a cuatro (excluyendo 8 y 24), la situación se complica por el hecho de que los análogos de la conjetura de Kepler siguen abiertos .