Espacio ultraconectado

En matemáticas , se dice que un espacio topológico es ultraconexo si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos disjuntos . [ ^{1 ] De} forma equivalente, un espacio es ultraconexo si y solo si las clausuras de dos puntos distintos siempre tienen una intersección no trivial. Por lo tanto, ningún espacio T ₁ con más de un punto es ultraconexo. ^{[ 2 ]}

Cada espacio ultraconectado${\displaystyle X}$está conectado por caminos (pero no necesariamente conectado por arcos ). Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son dos puntos de${\displaystyle X}$y${\displaystyle p}$es un punto en la intersección${\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}}$, la función${\displaystyle f:[0,1]\to X}$definido por${\displaystyle f(t)=a}$si${\displaystyle 0\leq t<1/2}$,${\displaystyle f(1/2)=p}$y${\displaystyle f(t)=b}$si${\displaystyle 1/2<t\leq 1}$, es un camino continuo entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. ^{[ 2 ]}

Todo espacio ultraconexo es normal , compacto de punto límite y pseudocompacto . ^{[ 1 ]}

Los siguientes son ejemplos de espacios topológicos ultraconectados.

• Un conjunto con topología indiscreta .
• El espacio Sierpiński .
• Un conjunto con la topología de punto excluido .
• La topología del orden correcto en la recta real. ^{[ 3 ]}

• Espacio hiperconectado

• Este artículo incorpora material del espacio Ultraconnected en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X(Edición de Dover).